电路分析基础(马颖-西电版)第2章-电路的基本分析方式课件

第2章电路的基本分析方式2.1电路等效的基本概念2.2电阻电路的等效2.3两种电源模型的等效2.4支路电流法2.5回路电流法2.6节点电位法本章小结阅读材料：电气图识读知识实验4电压源与电流源的等效变换第2章电路的基本分析方式2.1电路等效的基本概念2.1电路等效的基本概念

等效是电路分析中一个非常重要的概念，等效变换是电路分析中常用的一种方法。

只有两个端钮与其他电路相连接的网络，叫做二端网络或单口网络。如果单口网络内含有电源，称为电源单口网络；如果单口网络内不含电源，则称为无源单口网络。每一个二端元件便是无源单口网络的最简单形式。

图2-1给出了二端网络的一般符号。二端网络的端子电流I、端子间电压U分别叫做端口电流、端口电压，图中U、I的参考方向对二端网络为关联参考方向。2.1电路等效的基本概念

等效是电路分析中一图2-1二端网络图2-1二端网络如果两个二端网络的端口电压、电流关系相同，我们称这两个网络为等效网络。两个等效网络的内部结构虽然不同，但对外部而言，它们的影响完全相同。即等效网络互换后，它们对任意外电路中的电流、电压、功率是等效的，故等效是指对外等效。

通过上述分析，可以得出以下结论——电路等效变换的条件：相互等效的两个网络具有完全相同的对外电压、电流关系；电路等效变换的对象：外电路中的电压、电流及功率；电路等效变换的目的：用一个简单的等效电路代替原来较复杂的网络，使对电路的分析计算更加简单。如果两个二端网络的端口电压、电流关系相同，我们称这两个网2.2电阻电路的等效

2.2.1电阻的串联及应用

电路中的若干电阻首尾依次相连，各电阻流过同一电流(中间无分支)的电路连接方式称为电阻的串联。图2-2(a)所示为n个电阻串联的电路模型，串联的n个电阻可用一个等效电阻R表示，如图2-2(b)所示。2.2电阻电路的等效

2.2.1电阻的串联图2-2电阻的串联图2-2电阻的串联因为流经各电阻的电流为同一电流I。根据KVL，外加电压等于各个电阻上电压之和，即

U=U1+U2+…+Un=IR1+IR2+…+IRn

=I(R1+R2+…+Rn)=IR(2-1)

因此

式(2-2)表明：电阻串联电路的等效电阻等于各串联电阻之和。R=R1+R2++Rn=(2-2)因为流经各电阻的电流为同一电流I。根据KVL，外加电压等电阻串联电路中每个电阻上的电压分别为

式(2-3)表明：串联电路中，当外加电压一定时，各电阻端电压的大小与它的电阻值成正比。式(2-3)称为分压公式。在应用该式时，需考虑各电压的参考方向。(2-3)电阻串联电路中每个电阻上的电压分别为

式(如将式(2-1)两端同乘以电流I，则有

P=IU=I2R1+I2R2+…+I2Rn

=P1+P2+…+Pn(2-4)

式(2-4)表明：电阻串联电路中，总功率等于各个电阻吸收的功率之和；各个电阻吸收的功率与它的电阻值成正比。如将式(2-1)两端同乘以电流I，则有

P=IU【例2-1】一个电流为0.2A，电压为1.5V的小灯泡，接到4.5V的电源上，应该串联多大的电阻，才能使小灯泡正常发光？

电阻串联的应用很多，例如：为了扩大电压表的量程，就可以给电压表(或电流表)串联一个适当的电阻来实现；当负载的额定电压低于电源电压时，可以通过串联一个电阻来分压；为了调节电路中的电流，通常可在电路中串联一个变阻器。解【例2-1】一个电流为0.2A，电压为1.5V的小灯泡【例2-2】如图2-3所示，要将一个满刻度偏转电流IS为50μA，电阻Rg为2kΩ的电流表，制成量程为50V/100V的直流电压表，应串联多大的附加电阻R1、R2？【例2-2】如图2-3所示，要将一个满刻度偏转电流IS图2-3例2-2图图2-3例2-2图解满刻度时，表头所承受的电压为

Ug=IgRg=50×10－6×2×103=0.1V

为了加大量程，必须串联附加电阻来分压，可以列出以下方程

50=Ig(Rg+R1)100－50=IgR2

代入已知条件，可得

R1=998kΩ,R2=1000kΩ解满刻度时，表头所承受的电压为

Ug=IgR2.2.2电阻的并联及应用

电路中若干个电阻连接在两个公共点之间，各个电阻承受同一电压，这样的连接方式称为电阻的并联。图2-4(a)所示为n个电阻并联的电路模型，并联的n个电阻可用一个等效电阻R表示，如图2-4(b)所示。

因各个电阻的端电压均为外加电压U，根据KCL可得，电阻并联，各电阻分得的电流之和等于总电流，即(2-5)2.2.2电阻的并联及应用

电路中若干个电阻连接在两图2-4电阻的并联图2-4电阻的并联式(2-5)表明：并联电阻具有分流作用，阻值越大的电阻分配的电流越小，阻值越小的电阻分配电流越大。

由式(2-5)可得

式(2-6)表明：并联电阻的等效电阻的倒数等于各个并联电阻的倒数之和。

由电阻R与电导G的关系可得(2-6)(2-7)式(2-5)表明：并联电阻具有分流作用，阻值越大的电阻分配的式(2-7)表明：n个电导并联，等效电导等于各个电导之和。将式(2-5)两边同乘以电压U，则有

式(2-8)表明：n个电阻并联的总功率等于各个电阻吸收的功率之和；各电阻的功率与它的电阻值成反比。即电阻值越大，吸收功率越少；电阻值越小，吸收功率越大。(2-8)式(2-7)表明：n个电导并联，等效电导等于各个电导之和。【例2-3】额定值为“220V，100W”和“220V，40W”的两个灯泡接到220V的电源上使用。问：

(1)串联时实际消耗的功率是多少？或者说哪个灯亮些？

(2)并联时实际消耗的功率是多少？或者说哪个灯亮些？

解首先分别计算两个灯泡的电阻值【例2-3】额定值为“220V，100W”和“220(1)串联时，灯泡消耗的功率与其阻值成正比，因此额定值为“220V，40W”的灯泡亮些。

(2)并联时，两个灯泡的电压都是额定值220V，所以实际消耗的功率等于额定功率，即P100=100W，P40=40W，因此额定值为“220V，100W”的灯泡亮些。

电阻并联电路的应用很多，下面以电流表扩大量程为例说明。(1)串联时，灯泡消耗的功率与其阻值成正比，因此额定值为【例2-4】如图2-5所示，要将一个满刻度偏转电流Ig=50μA，内阻Rg=2kΩ的表头制成量程为50mA的直流电流表，并联分流电阻RS应多大？

解由并联电路分流作用可得

分流电阻为【例2-4】如图2-5所示，要将一个满刻度偏转电流Ig图2-5例2-4图图2-5例2-4图2.2.3电阻的混联

既含有串联，又含有并联的电路称为混联电路。这一类电路可以用串、并联公式化简，图2-6就是一个电阻混联电路。

经过化简，可得等效电阻为

在计算串联、并联及混联电路的等效电阻时，关键在于识别各电阻的串、并联关系，可按如下步骤进行：2.2.3电阻的混联

既含有串联，又含有并联的电路称图2-6电阻的混联图2-6电阻的混联(1)几个元件串联还是并联是根据串、并联特点来判断。串联电路所有元件流过同一电流；并联电路所有元件承受同一电压；

(2)将所有无阻导线连接点用节点表示；

(3)在不改变电路连接关系的前提下，可根据需要改画电路，以便更清楚地表示出各元件的串、并联关系；

(4)对于等电位之间的电阻支路，必然没有电流通过，所以可看作开路；

(5)采用逐步化简的方法，按照顺序简化电路，最后计算出等效电阻。(1)几个元件串联还是并联是根据串、并联特点来判断。串联【例2-5】电路如图2-7所示，已知R1=6Ω，R2=15Ω，R3=R4=5Ω，试求a、b两端和c、d两端间的等效电阻。

解a、b两端的等效电阻为

c、d两端的等效电阻为【例2-5】电路如图2-7所示，已知R1=6Ω，R2=2.2.4Y形与△形电路的等效互换

在分析电路时，将串联、并联、混联电阻化简为等效电阻的方法，解决了一大类电阻电路的问题。但是在一些电路中，常常会遇到三个电阻的一端连在同一点上，另一端分别接到三个不同端子上，如图2-8(a)所示，这种连接方式称为电阻的星形(Y形)连接。如果将三个电阻分别接到每两个端子之间，如图2-8(b)所示，称为电阻的三角形(△形)连接。2.2.4Y形与△形电路的等效互换

在分析电路时，图2-8电阻的Y形连接与△形连接图2-8电阻的Y形连接与△形连接这三个电阻既非串联、又非并联，不能用串、并联简化，但可以通过电阻的Y-△等效变换来简化。若图2-8(a)、(b)两个网络等效，则三个对应端a、b、c的电流Ia、Ib、Ic及三个对应端之间的电压Uab、Ubc、Uca应相等。

对星形连接和三角形连接的电阻，如令a端子断开，那么图2-8(a)中b、c端子间的等效电阻应等于图2-8(b)中b、c端子间的等效电阻，即这三个电阻既非串联、又非并联，不能用串、并联简化，但可以同时，分别令b、c端子对外断开，则另两端子间的等效电阻也应有

将上面三式相加，化简后可得同时，分别令b、c端子对外断开，则另两端子间的等效电阻也应有将以上各式联立求解可得

式(2-9)为已知三角形连接电阻计算等效星形连接电阻的关系式。

如果已知星形连接电阻，那么将式(2-9)中各式两两相乘再相加，化简整理得(2-9)将以上各式联立求解可得

式(2-9)为已知三角

将式(2-10)分别除以式(2-9)中各式，可得

式(2-11)就是已知星形连接电阻求等效三角形连接电阻的关系式。(2-10)(2-11)

将式(2-10)分别除以式(2-9)中各式，可得

为了便于记忆，可利用下面所列文字公式

当Rab=Rbc=Rca=R△，称为对称三角形连接电阻，则等效星形连接的电阻也是对称的，有Ra=Rb=Rc=RY=R△，反之，则有R△=3RY。

由于画法不同，电阻星形连接有时又称作T形连接，电阻三角形连接也称作Π形连接。为了便于记忆，可利用下面所列文字公式

当R【例2-6】已知图2-9(a)所示电路中R1=3Ω，R2=1Ω，R3=2Ω，R4=5Ω，R5=4Ω，试求a、b端的等效电阻Rab。

解把R1、R2、R3看作一个星形连接，将其等效成图2-9(b)虚线框内的电阻，则【例2-6】已知图2-9(a)所示电路中R1=3Ω，R图2-9例2-6图图2-9例2-6图由图2-9(b)得R12与R4并联、R23与R5并联，然后二者再串联，最后与R13并联，即

Rab=(R12∥R4+R23∥R5)∥R13=3.21Ω

应用星形电路与三角形电路等效变换的目的是为了简化电路的分析。选择电路中的元件构成三角形或星形电路时，要仔细观察电路的连接关系，否则变换后可能使下一步的分析更复杂。由图2-9(b)得R12与R4并联、R23与R5并联，然2.3两种电源模型的等效

在实际电路中，经常需要多个电源以串联或并联的方式供电。这种以多个电源供电的电路可以用一个等效的电源来代替。

2.3.1理想电源的串联与并联

1.理想电压源串联

根据基尔霍夫电压定律，当n个理想电压源串联时，可以用一个电压源等效替代，这时其等效电压源的端电压等于各串联电压源端电压的代数和，即

US=US1±US2±…±USn(2-12)2.3两种电源模型的等效

在实际电路中，经常【例2-7】使用等效变换的方法简化图2-10(a)所示的电路。

解根据KVL，图2-10(a)所示电路等效为图2-10(b)后，有

US=US3-US2-US1

注意：(1)数值不同的理想电压源不能并联，否则违背了基尔霍夫电压定律，只有电压值相等、方向一致的电压源才允许并联，并且并联后的等效电压源仍为原值。

(2)凡与理想电压源并联的元件，对外等效时都可以忽略不计。【例2-7】使用等效变换的方法简化图2-10(a)所示图2-10例2-7图图2-10例2-7图2.理想电流源并联

根据基尔霍夫电流定律，当n个理想电流源并联时，可以用一个电流源等效替代，这时其等效电流源的电流等于各并联电流源电流的代数和，即

IS=IS1±IS2±…±ISn(2-13)

2.理想电流源并联

根据基尔霍夫电流定律，当n个理【例2-8】使用等效变换的方法简化图2-11(a)所示的电路。

解根据KCL，图2-11(a)所示电路等效为图2-11(b)后，有

IS=IS1-IS2+IS3

注意：(1)数值不同的理想电流源不能串联，否则违背了基尔霍夫电流定律，只有电流值相等、方向一致的电流源才允许串联，并且串联后的等效电流源仍为原值。

(2)凡与理想电流源串联的元件，对外等效时都可以忽略不计。【例2-8】使用等效变换的方法简化图2-11(a)所示图2-11例2-8图图2-11例2-8图2.3.2实际电源的串联与并联

前文已介绍过实际电压源与实际电流源间相互转换的方法，即:当实际电压源等效变为实际电流源时，电流源的内阻RS2等于电压源的内阻RS1，电流源的电流IS=US/RS1;当实际电流源等效变为实际电压源时，电压源的内阻RS1等于电流源的内阻RS2，电压源的电压US=ISRS2。

1.实际电源串联

在实际电源串联结构中，根据基尔霍夫电压定律，实际电流源需等效变换成实际电压源后再进行合并，最终等效为一个实际电源。2.3.2实际电源的串联与并联

前文已介绍过实际电压【例2-9】使用实际电源等效变换的方法简化图2-12(a)所示的电路。

解由图2-12(a)可知，电路为串联结构，由一个实际电流源和一个实际电压源串联而成，先将实际电流源转换为实际电压源，如图2-12(b)所示，然后可将两个实际电压源合并为一个实际电压源，如图2-12(c)所示。【例2-9】使用实际电源等效变换的方法简化图2-12(图2-12例2-9图图2-12例2-9图2.实际电源并联

在实际电源并联结构中，根据基尔霍夫电流定律，实际电压源需等效变换成实际电流源后再进行合并，最终等效为一个实际电源。

【例2-10】使用实际电源等效变换的方法简化图2-13(a)所示的电路。

解由图2-13(a)可知，电路为并联结构，由一个实际电流源和一个实际电压源并联而成，先将实际电压源转换为实际电流源，如图2-13(b)所示，然后可将两个实际电流源合并为一个实际电流源，如图2-13(c)所示。2.实际电源并联

在实际电源并联结构中，根据基尔霍图2-13例2-10图图2-13例2-10图2.4支路电流法

为了完成一定的电路功能，在一个实际电路中，总是将元件组合连接成一定的结构形式，当组成电路的元件不是很多，但又不能用串联和并联方法计算等效电阻时，可采用电路方程法来实现电路参数计算。

支路电流法是线性电路解题最基本的方法，它是以支路电流作为待求的变量，通过基尔霍夫电流定律(KCL)列写电流方程，通过基尔霍夫电压定律(KVL)列写电压方程，联立方程求解支路电流，再利用支路的伏安关系等来求解其他电量(如电压、功率、电位等)的一种方法。

下面以具体电路为例，说明支路电流法的求解过程。2.4支路电流法

为了完成一定的电路功能，【例2-11】电路如图2-15所示，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=5Ω，US1=13V，US2=6V，求各支路的电流及电压源US1发出的功率。

解选定各支路电流I1、I2和I3的参考方向如图2-15所示；在两个节点a、b中任选其中一个，由KCL列出节点电流方程。

对于节点a

I1+I2-I3=0(2-14)

根据KVL，列出回路电压方程。各个回路的绕行方向如图2-15所示，在3个回路当中只需要选取两个回路列出电压方程，一般选Ⅰ、Ⅱ这两个网孔。【例2-11】电路如图2-15所示，已知R1=10Ω，图2-15例2-11图图2-15例2-11图对于回路Ⅰ

I1R1+I3R3-US1=0(2-15)

代入数据得

10R1+5R3-13=0

对于回路Ⅱ

-I3R3-I2R2+US2=0

代入数据得

-5I3-5I2+6=0(2-16)

将以上三式联立解得I1=0.8A，I2=0.2A，I3=1A。对于回路Ⅰ

I1R1+I3R3-US1=0由于电压源US1的电压与电流的参考方向为非关联方向，所以

PS1=-US1I1=-13×0.8=-10.4W

电压源US1发出的功率为10.4W。

结论：对于一个不含电流源(理想电流源和受控电流源)的平面电路，如该电路有n个节点，m个网孔，b条支路，需列出b=m+(n-1)个方程联立求解。其中KCL独立方程：n-1个，KVL独立方程：m个。由于电压源US1的电压与电流的参考方向为非关联方向，所以支路电流法的具体步骤如下：

(1)选定各支路电流的参考方向。若已经给出则不必再选，未给出可任意选取。

(2)应用KCL列出n-1个独立的节点电流方程(n为节点个数)。

(3)选取m=b-(n-1)个独立回路，设定这些回路的绕行方向，标明在电路图上，应用KVL列出回路电压方程(m为网孔数，b为支路数)。

(4)联立求解以上列写的b个独立方程，求出待求的各支路电流。

(5)利用伏安关系和功率公式等求解其他待求电学物理量。支路电流法的具体步骤如下：

(1)选定各支路电流的应当指出：n-1个独立节点的选取比较方便。而回路方程通常可按网孔列出，以便方程独立。

用支路电流法分析含有理想电流源的电路时，由于理想电流源所在支路的电流已知，而电流源的端电压是未知的，在选择回路时应避开理想电流源支路。当需要求解电流源的电压或功率时，就必须将电流源的端电压列入回路电压方程，这样电路就增加了未知变量，应当补充相应的辅助方程。应当指出：n-1个独立节点的选取比较方便。而回路方程通常【例2-12】电路如图2-16所示，已知US1=10V，US2=8V，R1=6Ω，R2=4Ω，IS=3A，用支路电流法求解支路电流I1、I2。

解电路有两个节点，两个网孔，3条支路，其中1条支路含有电流源，所以列出3-1=2个方程联立求解即可。

其中KCL独立方程：n-1=1个

对于节点a

I1+I2+IS=0

代入数据得

I1+I2+3=0(2-17)【例2-12】电路如图2-16所示，已知US1=10V图2-16例2-12图图2-16例2-12图KVL独立方程：2-1=1个，由于两个网孔共用的支路中含有电流源，则另选大回路Ⅲ列回路电压方程，选择顺时针绕行方向。

I1R1-US1+US2-I2R2=0

代入数据得

6I1-10+8-4I2=0(2-18)

将以上两式联立解得

I1=-1A，I2=-2A。KVL独立方程：2-1=1个，由于两个网孔共用的支路中含结论：对于含有电流源的支路，若电路中有k条含有电流源的支路，则列出b-k个方程联立求解。其中KCL独立方程n-1个，KVL独立方程m-k个(不列含有电流源支路的网孔，如遇到两个网孔共用的支路中含有电流源，则另选一回路列方程)。结论：对于含有电流源的支路，若电路中有k条含有电流源的支

2.5回路电流法

2.5.1网孔电流法

网孔电流法也是分析电路的基本方法，它是以假想的网孔电流为未知量，通过列写网孔的回路电压方程，求出网孔电流，再根据网孔电流与支路电流的关系，求得各支路电流，进而求出电路中的其他待求量。

现以图2-17为例进行说明。2.5回路电流法

2.5.1网孔电流法图2-17网孔电流法分析用图图2-17网孔电流法分析用图为了求得各支路电流，先选择一组独立回路，这里选择的是两个网孔。假设每个网孔中有一个网孔电流IA和IB沿着网孔的边界顺/逆时针流动。需要指出的是，IA和IB是假想的电流，电路中实际存在的电流仍然是支路电流I1、I2、I3。从图2-17可以看出两个网孔电流和3个支路电流之间存在以下关系式

IA=I1IB=I2I3=IA＋IB(2-19)

对于节点a列KCL方程得

I3=I1＋I2(2-20)为了求得各支路电流，先选择一组独立回路，这里选择的是两个选取网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，对于网孔A、B分别列KVL方程得

将式(2-20)代入式(2-21)得

整理后，得(2-21)选取网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，对于网孔A、B分其中R1、R3和US1、US3是网孔A的两个电阻和两个电源，R2、R3和US3、US2是网孔B的两个电阻和两个电源，R3和US3是两个网孔公共支路的电阻和电源。将式(2-19)代入上式，方程改写为

再整理为(2-22)其中R1、R3和US1、US3是网孔A的两个电阻和两个电源，可以看出：

(1)R11=R1+R3，R22=R2+R3，R11和R22称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。

(2)R12=R21=R3，R12和R21称为网孔互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号。

(3)US11和US22分别为各网孔中全部电压源电压的代数和。绕行方向由“＋”极到“－”极的电压源取正号，反之取负号。可以看出：

(1)R11=R1+R3，R22=R2+R注意：以网孔电流为未知量列写电路方程的分析方法仅适用于平面电路。

根据以上分析，应用网孔电流法的分析步骤可归纳如下：(1)在电路图上标明网孔电流及其参考方向；

(2)按通用公式列出各网孔的m个方程：

某网孔电流×自电阻±相邻网孔电流×互电阻±该网孔中电压源电压的代数和=0注意：以网孔电流为未知量列写电路方程的分析方法仅适用于平自电阻总为正；互电阻有正有负，两网孔电流流过互电阻时，方向相同时取正，方向相反时取负。若全部网孔电流均选为顺时针(或反时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。

各网孔中全部电压源电压的代数和，按绕行方向由“＋”极到“－”极的电压源取正号，反之取负号。

(3)解方程得各网孔电流；

(4)公共支路上的电流=相邻网孔电流的代数和。方向相同时取正，方向相反时取负。自电阻总为正；互电阻有正有负，两网孔电流流过互电阻时，方【例2-13】电路如图2-18所示，已知US1=3V,US2=12V,用网孔电流法求解电路中各支路电流。

解根据网孔电流法，分别对于网孔A、B、C列写方程

代入数据整理得【例2-13】电路如图2-18所示，已知US1=3V,图2-18例2-13图图2-18例2-13图解得

IC=-0.28A,IA=1.03A,IB=0.89A

由图2-18可知

I1=IA=1.03AI2=IB=0.89A

I3=IA-IC=1.31AI4=IB+IC=0.61AI5=-IC=0.28A解得

IC=-0.28A,IA=1.03A,I2.5.2回路电流法

回路电流法是网孔电流法的扩展应用。

对于一个含有电流源的电路，若电路中有m个网孔，有k条含有电流源的支路，则列出m-k个KVL独立方程联立求解。遇到两个网孔共用的支路中含有电流源时，设其中一个网孔电流为电流源的电流IS，然后另选一回路列回路电压方程。

【例2-14】根据图2-19所示电路的回路电流参考方向，列出回路电压方程及支路电流方程。2.5.2回路电流法

回路电流法是网孔电流法的扩展应图2-19例2-14图图2-19例2-14图解图2-19所示电路中含有电流源，选取网孔电流IB，回路电流IA，可写出一个网孔电流方程和一个回路电压方程。回路电压方程为

IA(R1+R2)＋IBR2－US1＋US2=0

网孔电流方程为

IB=IS

则支路电流方程为

I1=IA，I2=-IA-IB解图2-19所示电路中含有电流源，选取网孔电流IB，回2.6节点电位法

当用电压表测量电子电路中各元件端钮间的电压时，常将底板或机壳作为测量基准，把电压表的公共端或“-”端接到底板或机壳上，用电压表的另一端依次测量各元件端钮上的电压，即电位，则任意两端钮间的电压可由相应两个端钮的电位差计算得到。

在具有n个节点的电路中，可以选其中一个节点作为电位参考点或零电位点，其余n-1个节点相对参考点的电压，称为各节点电位。2.6节点电位法

当用电压表测量电子电路节点电位法就是以电路中各节点电位为未知量，通过列写节点电流方程，联立求解出各个节点电位。

节点电流方程的列写以图2-20为例进行说明，选d点为参考点，分别求a、b、c三个节点的电位Va、Vb、Vc，求出各点电位后再计算各支路电流。

首先根据基尔霍夫电流定律，列出节点电流方程

对于节点a

I1-I3-I4=0

对于节点b-I1-I2+I5=0

对于节点c

I2+I3-I6=0节点电位法就是以电路中各节点电位为未知量，通过列写节点电图2-20节点电位法分析用图图2-20节点电位法分析用图根据支路电压与电流的关系，得根据支路电压与电流的关系，得将上述方程代入节点电流方程组，整理后得将上述方程代入节点电流方程组，整理后得根据电阻与电导的关系，将上式变为下列形式，即得节点电位方程

Va(G1+G3+G4)－VbG1－VcG3=－US1G1+US3G3－US4G4Vb(G1+G2+G5)－VaG1－VcG2=US1G1+US2G2

Vc(G2+G3+G6)－VaG3－VbG2=－US2G2－US3G3

节点电位方程中的几个概念:

(1)自导(自电导)：过某节点的所有支路的电导之和，但与理想电流源串联的电导和与理想电压源并联的电导除外。自导总是正值。

节点a的自导为(G1+G3+G4)，节点b的自导为(G1+G2+G5)，节点c的自导为(G2+G3+G6)。根据电阻与电导的关系，将上式变为下列形式，即得节点电位方程(2)互导(互电导)：两节点间所有支路的电导之和，但与理想电流源串联的电导和与理想电压源并联的电导除外。互导总是负值。

节点a、b的互导为G1，节点a、c的互导为G3，节点b、c的互导为G2。

由此可以归纳出节点电位方程的一般形式为:

节点电位×该节点自导－∑相邻节点电位×两节点互导=流入该节点电流源电流的代数和

用公式表示为

GjjVj－∑GjkVk=ISjj(2-23)(2)互导(互电导)：两节点间所有支路的电导之和，但与理式(2-23)中的下标j表示第j个节点，k表示与节点j有公共支路的相邻的第k个节点(j≠k)。

注意：

(1)列节点方程时，自电导总是正值，互电导总是负值。(2)ISjj表示流入节点j的等效电流源电流的代数和，流入节点j的电流取正号，流出节点的j电流取负号。

(3)选择参考点时应考虑以下因素：其一，原则上选择任何一个节点均可以，但习惯上使参考点与尽量多的节点相邻，这样求出各个节点的电位后计算支路电流比较方便；其二，如果电路含有理想电压源支路，应选择理想电压源所连的两个节点之一作参考点，则另一点的电位等于理想电压源的电压,使方程数减少。如果二者发生矛盾,优先考虑第二点。式(2-23)中的下标j表示第j个节点，k表示与节点j有公共(4)与理想电流源串联的电阻不影响各个节点的电位(因为理想电流源的内阻为无穷大)。

(5)与理想电压源并联的电阻两端电压恒定，对其他支路的电流和各节点的电位不产生任何影响。

(6)对含有受控源的电路，在列节点方程时应将它与独立源同样对待，需要时再将控制量用节点电位表示。

(7)节点电位法和回路电流法都可以减少方程数，简化解题过程，规律性较强，对于同一个题究竟用哪种方法解答，要视情况而定。一般来说，节点数少于网孔数时，用节点电流法；反之用回路电流法。但是，当电路中具有公共节点的理想电压源，且支路较多时，用节点电位法，如果电路中含有电流源支路较多时，用回路电流法。(4)与理想电流源串联的电阻不影响各个节点的电位(因为理【例2-15】电路如图2-21所示，已知US1=3V、US2=12V,用节点电位法求解电路中各支路的电流。

分析：图中a、b、c、d都是可以作为参考点的，我们这里假设c点为参考点，而US2是一个理想电压源，其中流过的电流未知，我们假设电流为I,方向如图所示。

解用节点电位法，设电路中c点为零电位点,则

Va=3V

对节点b、d分别列节点电压方程为【例2-15】电路如图2-21所示，已知US1=3V、图2-21例2-15图图2-21例2-15图代入数据整理得到

又因为

Vb=Vd+12

以上各式联立求解可得

Vd=－4.875V

Vb=7.125V代入数据整理得到

又因为

Vb=对于各支路，由欧姆定律可得对于各支路，由欧姆定律可得综上所述，使用节点电位法求解电路参数的具体步骤如下:

(1)选定参考节点，其余节点与参考节点之间的电压为节点电位；

(2)对n-1个独立节点，以节点电位为未知量，列写节点电位方程；

(3)当电路中含有受控源或理想电压源时需另行处理；(4)求解方程，得到n-1个节点电压；

(5)求各支路电流(用节点电压表示)；

(6)求其他电学物理量。综上所述，使用节点电位法求解电路参数的具体步骤如下:

本章小结

本章主要介绍了直流电阻电路的基本分析与计算方法，主要有等效变换法、支路电流法、网孔电流法、节点电位法等。

1.等效变换法

等效网络：两个二端网络的端口电压、电流关系相同时，其内部结构虽然不同，但对外部而言，它们的影响完全相同。我们称这两个网络为等效网络。本章小结

本章主要介绍了直流电阻1)电阻串联电路的等效

(1)三个特点：等效电阻等于各电阻之和；电路中电流处处相同；电路端电压等于各电阻电压代数和。

(2)两个性质：各电阻端电压的大小与它的电阻值成正比；总功率等于各个电阻吸收的功率之和；各个电阻吸收的功率与它的电阻值成正比。

2)电阻并联电路的等效

(1)三个特点：等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和；各个电阻承受同一电压；电路总电流等于各支路电流代数和。1)电阻串联电路的等效

(1)三个特点：等效电阻等(2)两个性质：各电阻流经电流的大小与它的电阻值成反比；总功率等于各个电阻吸收的功率之和；各个电阻吸收的功率与它的电阻值成反比。

电阻并联电路的等效可由电阻串、并联等效方法计算得出。

电阻Y形连接与△形连接可以等效变换，对称情况下等效变换条件是：R△=3RY。

两种电源模型的串联、并联及混联均可以相互等效变换。(2)两个性质：各电阻流经电流的大小与它的电阻值成反比；2.支路电流法

以支路电流作为待求的变量，通过基尔霍夫电流定律(KCL)列写电流方程，通过基尔霍夫电压定律(KVL)列写电压方程，联立方程求解支路电流的方法称为支路电流法。

支路电流法的解题步骤如下：

(1)选定各支路电流的参考方向。若已经给出则不必再选，未给出可任意选取。

(2)应用KCL列出n-1个独立的节点电流方程(n为节点数)。

(3)选取m=b-(n-1)个独立回路，设定这些回路的绕行方向，标明在电路图上，应用KVL列出回路电压方程(m为网孔数，b为支路数)。2.支路电流法

以支路电流作为待求的变量，通过基尔(4)联立求解以上列写的b个独立方程，求出待求的各支路电流。

(5)利用伏安关系和功率公式等求解其他待求电学物理量。

3.网孔电流法

以假想的网孔电流为未知量，通过列写网孔的回路电压方程，求出网孔电流，再根据网孔电流与支路电流的关系，求得各支路电流，进而求出电路中的其他待求量的方法称为网孔电流法。回路电流法是网孔电流法的扩展应用。

网孔方程的一般形式：

网孔电流×自电阻±相邻网孔电流×互电阻±该网孔中电压源电压的代数和=0(4)联立求解以上列写的b个独立方程，求出待求的各支路电4.节点电位法

以电路中各节点电位为未知量，通过列写节点电流方程，联立求解出各个节点电位，再根据节点电位与支路电流的关系，求得各支路电流，进而求出电路中的其他待求量的方法称为节点电位法。

节点电位方程的一般形式：

节点电位×该节点自导－∑相邻节点电位×两节点互导=流入该节点电流源电流的代数和。4.节点电位法

以电路中各节点电位为未知量，通过列

阅读材料：电气图识读知识

1.电气工程图的分类

按电气工程图表达的性质和功能，一般分为：电气系统图、电气平面图、电路原理图、接线图、设备布置图等。

2.工程图纸图号阅读材料：电气图识读知识

1.电气工程图其中：工程代号由公司技术主管领导统一给出；图纸序号由各工程负责人员按本工程图纸序列安排自行决定。

为了统一编排图纸类别，特作如下规定：

TM——图样目录Y——原理图

SB——材料清单D——端子图

Z——装配图J——接线图

ZH——组合图B——部件图

L——零件图

注：符号牌、标示牌等均归属零件类。其中：工程代号由公司技术主管领导统一给出；图纸序号由各工程负3.电气工程图的图面形式

1)图面构成

电气工程图的图面由边框线、图框线、标题栏、会签栏组成，如图2-22所示。其中会签栏是供各专业相关的设计人员会审图样时签名和标注日期用。

2)幅面及尺寸

电气工程图的幅面尺寸及代号如表2-1所示。3.电气工程图的图面形式

1)图面构成

电气图2-22电气工程图图面构成图2-22电气工程图图面构成表2-1幅面尺寸及代号

表2-1幅面尺寸及代号3)标题栏

标题栏用于标识图纸信息，一般位于图纸右下角，通常包括图纸的名称、比例、图号、设计单位、设计人、制图人、审核人、专业负责人、完成日期等内容。图2-23为学校制图作业用的简化标题栏。

4.相关制图的国家标准

(1)GB/T4728.1~.13—2005电气图形符号

(2)GB/T5094—1985电气技术项目代号

(3)GB/T6988.1、2、3、6~93—1997电气技术用文字的编制

(4)GB/T18135—2000电气制图规则3)标题栏

标题栏用于标识图纸信息，一般位于图纸右图2-23制图作业用简化标题栏图2-23制图作业用简化标题栏实验4电压源与电流源的等效变换

1.实验目的

(1)掌握电源外特性的测试方法。

(2)验证电压源与电流源等效变换的条件。

2.实验器材

直流稳压电源、直流恒流源、电阻、可调电阻箱、直流电流表、直流电压表、万用表。

如做仿真实验使用Multisim仿真软件。实验4电压源与电流源的等效变换

1.实验目的3.实验原理

(1)理想电压源其输出电压不随负载电流而变。理想电流源其输出电流不随负载电阻而变。

(2)在实验中，可以用一个理想电压源与一个电阻串联的组合来模拟一个实际的电压源；或者用一个理想电流源与一个电阻相并联的组合来模拟一个实际的电流源。

(3)如果这两种实际电源能向同样大小的负载提供同样大小的电流和电压，则称这两个电源是等效的，即具有同样的外特性。一个电压源与一个电流源等效变换的条件为：

内阻不变，串、并联互换；电流IS和电动势US之间的关系根据欧姆定律确定。3.实验原理

(1)理想电压源其输出电压不随负载电4.实验内容和步骤

1)测定理想电压源和实际电压源的外特性

(1)按图2-24(a)接线。调节电位器令其阻值由大到小变化，使电流表的读数与表2-1的参数一致，然后将此时对应的电压表的读数填入表2-2。

(2)为理想电压源串联内阻RS，等效为实际电压源，如图2-24(b)所示，并按照步骤(1)的方法调节电位器，记录电压表的读数，填入表2-2。4.实验内容和步骤

1)测定理想电压源和实际电压源图2-24电压源的外特性测量电路图2-24电压源的外特性测量电路表2-2理想电压源的外特性参数

表2-2理想电压源的外特性参数2)测定电流源的外特性

按图2-25连接电路。调节直流恒流源输出电流为10mA,令内阻分别为1kΩ和无穷大(即接入和断开电阻RS)，调节电位器，测出这两种情况下的电压表和电流表读数。自拟数据表格，记录实验数据。2)测定电流源的外特性

按图2-25连接电路。调节图2-25电流源外特性测试电路图2-25电流源外特性测试电路3)验证电源等效变换的条件

先按图2-26(a)连接电路，记录电压表和电流表的读数。然后按图2-26(b)接线，调节恒流源的大小，使电压表和电流表的读数与图2-26(a)时的数值相等，记录此时电流源的输出电流值：

实际电压源电路中的电流表读数为＿＿＿＿＿A，电压表读数为＿＿＿＿＿V，满足变换条件时，电流源的输出电流IS＿＿＿＿＿A。

根据以上结果，验证等效变换条件的正确性。3)验证电源等效变换的条件

先按图2-26(a)连图2-26电源等效变换的测量电路图2-26电源等效变换的测量电路5.软件仿真

1)测定理想电压源和实际电压源的外特性

(1)采用Multisim软件绘图时，首先执行菜单命令：选项→GlobalPreferences(首选项)→零件→符号标准→DIN，设置符号标准为“DIN”形式，再按图2-27(a)接线，图中的电压源符号在仿真软件中的名称为DC_POWER,电位器的名称为POTENTIOMETER_RATED。5.软件仿真

1)测定理想电压源和实际电压源的外特图2-27电压源的外特性测量电路图2-27电压源的外特性测量电路调节电位器阻值由大到小变化，具体参数如表2-3所示，调节方法：按下键盘上对应的控制键(如图示为A键)，增加电位器阻值(反向减小则同时按下Shift+A)。记录电压表U1、电流表I1的读数，填入表2-3。

(2)按图2-27(b)所示电路接上内阻R0(R0=51Ω)。按要求调节电位器阻值，将U2、I2的读数填入表2-3。调节电位器阻值由大到小变化，具体参数如表2-3所示，调节表2-3电压源的外特性参数

表2-3电压源的外特性参数2)测定电流源的外特性

按图2-28连接电路。设置恒流源(DC_CURRENT)的输出电流为10mA。用单刀单掷开关(SPST)通过控制键Space来切换并联的内阻，分别使内阻为1kΩ(实际电流源)和无穷大(

即断开电阻R0，为理想电流源)。

调节电位器数值如表2-4所示，测出这两种情况下电压表和电流表的读数，填入表2-4。2)测定电流源的外特性

按图2-28连接电路。设置图2-28电流源的外特性测量电路图2-28电流源的外特性测量电路表2-4电流源的外特性参数

表2-4电流源的外特性参数3)验证电源等效变换的条件

(1)按图2-29(a)连接电路，记录电压表U1和电流表I1的读数如下：电压表U1读数为＿＿＿＿V，电流表I1读数为＿＿＿＿A。

(2)按图2-29(b)接线，设置合适的恒流源输出电流IS，使电路满足变换条件，即使电压表U2和电流表I2的读数与图2-29(a)记录的数值相等。此时，电流源的输出电流

IS=＿＿＿＿A。根据以上结果，验证等效变换条件的正确性。3)验证电源等效变换的条件

(1)按图2-29(a图2-29电源等效变换的测量电路图2-29电源等效变换的测量电路6.实验注意事项

(1)设某器件伏安特性曲线的函数式为i=f(u)，试问在逐点绘制曲线时，其坐标变量应如何设置？

(2)直流测量仪表的接入应注意极性与量程。

7.预习思考题

(1)通常直流稳压电源的输出端不允许短路，直流恒流源的输出端不允许开路，为什么？

(2)电压源与电流源的外特性为什么呈下降变化趋势，稳压源和恒流源的输出在任何负载下是否保持恒值？6.实验注意事项

(1)设某器件伏安特性曲线的函数8.实验报告要求

(1)根据各实验结果数据，分别在方格纸上绘制出光滑的电源输出特性曲线，或通过Excel表格输出特性曲线。

(2)根据实验结果，总结、归纳被测的理想电源与实际电源的特性。8.实验报告要求

(1)根据各实验结果数据，分别在第2章电路的基本分析方式2.1电路等效的基本概念2.2电阻电路的等效2.3两种电源模型的等效2.4支路电流法2.5回路电流法2.6节点电位法本章小结阅读材料：电气图识读知识实验4电压源与电流源的等效变换第2章电路的基本分析方式2.1电路等效的基本概念2.1电路等效的基本概念

等效是电路分析中一个非常重要的概念，等效变换是电路分析中常用的一种方法。

只有两个端钮与其他电路相连接的网络，叫做二端网络或单口网络。如果单口网络内含有电源，称为电源单口网络；如果单口网络内不含电源，则称为无源单口网络。每一个二端元件便是无源单口网络的最简单形式。

图2-1给出了二端网络的一般符号。二端网络的端子电流I、端子间电压U分别叫做端口电流、端口电压，图中U、I的参考方向对二端网络为关联参考方向。2.1电路等效的基本概念

等效是电路分析中一图2-1二端网络图2-1二端网络如果两个二端网络的端口电压、电流关系相同，我们称这两个网络为等效网络。两个等效网络的内部结构虽然不同，但对外部而言，它们的影响完全相同。即等效网络互换后，它们对任意外电路中的电流、电压、功率是等效的，故等效是指对外等效。

通过上述分析，可以得出以下结论——电路等效变换的条件：相互等效的两个网络具有完全相同的对外电压、电流关系；电路等效变换的对象：外电路中的电压、电流及功率；电路等效变换的目的：用一个简单的等效电路代替原来较复杂的网络，使对电路的分析计算更加简单。如果两个二端网络的端口电压、电流关系相同，我们称这两个网2.2电阻电路的等效

2.2.1电阻的串联及应用

电路中的若干电阻首尾依次相连，各电阻流过同一电流(中间无分支)的电路连接方式称为电阻的串联。图2-2(a)所示为n个电阻串联的电路模型，串联的n个电阻可用一个等效电阻R表示，如图2-2(b)所示。2.2电阻电路的等效

2.2.1电阻的串联图2-2电阻的串联图2-2电阻的串联因为流经各电阻的电流为同一电流I。根据KVL，外加电压等于各个电阻上电压之和，即

U=U1+U2+…+Un=IR1+IR2+…+IRn

=I(R1+R2+…+Rn)=IR(2-1)

因此

式(2-2)表明：电阻串联电路的等效电阻等于各串联电阻之和。R=R1+R2++Rn=(2-2)因为流经各电阻的电流为同一电流I。根据KVL，外加电压等电阻串联电路中每个电阻上的电压分别为

式(2-3)表明：串联电路中，当外加电压一定时，各电阻端电压的大小与它的电阻值成正比。式(2-3)称为分压公式。在应用该式时，需考虑各电压的参考方向。(2-3)电阻串联电路中每个电阻上的电压分别为

式(如将式(2-1)两端同乘以电流I，则有

P=IU=I2R1+I2R2+…+I2Rn

=P1+P2+…+Pn(2-4)

式(2-4)表明：电阻串联电路中，总功率等于各个电阻吸收的功率之和；各个电阻吸收的功率与它的电阻值成正比。如将式(2-1)两端同乘以电流I，则有

P=IU【例2-1】一个电流为0.2A，电压为1.5V的小灯泡，接到4.5V的电源上，应该串联多大的电阻，才能使小灯泡正常发光？

电阻串联的应用很多，例如：为了扩大电压表的量程，就可以给电压表(或电流表)串联一个适当的电阻来实现；当负载的额定电压低于电源电压时，可以通过串联一个电阻来分压；为了调节电路中的电流，通常可在电路中串联一个变阻器。解【例2-1】一个电流为0.2A，电压为1.5V的小灯泡【例2-2】如图2-3所示，要将一个满刻度偏转电流IS为50μA，电阻Rg为2kΩ的电流表，制成量程为50V/100V的直流电压表，应串联多大的附加电阻R1、R2？【例2-2】如图2-3所示，要将一个满刻度偏转电流IS图2-3例2-2图图2-3例2-2图解满刻度时，表头所承受的电压为

Ug=IgRg=50×10－6×2×103=0.1V

为了加大量程，必须串联附加电阻来分压，可以列出以下方程

50=Ig(Rg+R1)100－50=IgR2

代入已知条件，可得

R1=998kΩ,R2=1000kΩ解满刻度时，表头所承受的电压为

Ug=IgR2.2.2电阻的并联及应用

电路中若干个电阻连接在两个公共点之间，各个电阻承受同一电压，这样的连接方式称为电阻的并联。图2-4(a)所示为n个电阻并联的电路模型，并联的n个电阻可用一个等效电阻R表示，如图2-4(b)所示。

因各个电阻的端电压均为外加电压U，根据KCL可得，电阻并联，各电阻分得的电流之和等于总电流，即(2-5)2.2.2电阻的并联及应用

电路中若干个电阻连接在两图2-4电阻的并联图2-4电阻的并联式(2-5)表明：并联电阻具有分流作用，阻值越大的电阻分配的电流越小，阻值越小的电阻分配电流越大。

由式(2-5)可得

式(2-6)表明：并联电阻的等效电阻的倒数等于各个并联电阻的倒数之和。

由电阻R与电导G的关系可得(2-6)(2-7)式(2-5)表明：并联电阻具有分流作用，阻值越大的电阻分配的式(2-7)表明：n个电导并联，等效电导等于各个电导之和。将式(2-5)两边同乘以电压U，则有

式(2-8)表明：n个电阻并联的总功率等于各个电阻吸收的功率之和；各电阻的功率与它的电阻值成反比。即电阻值越大，吸收功率越少；电阻值越小，吸收功率越大。(2-8)式(2-7)表明：n个电导并联，等效电导等于各个电导之和。【例2-3】额定值为“220V，100W”和“220V，40W”的两个灯泡接到220V的电源上使用。问：

(1)串联时实际消耗的功率是多少？或者说哪个灯亮些？

(2)并联时实际消耗的功率是多少？或者说哪个灯亮些？

解首先分别计算两个灯泡的电阻值【例2-3】额定值为“220V，100W”和“220(1)串联时，灯泡消耗的功率与其阻值成正比，因此额定值为“220V，40W”的灯泡亮些。

(2)并联时，两个灯泡的电压都是额定值220V，所以实际消耗的功率等于额定功率，即P100=100W，P40=40W，因此额定值为“220V，100W”的灯泡亮些。

电阻并联电路的应用很多，下面以电流表扩大量程为例说明。(1)串联时，灯泡消耗的功率与其阻值成正比，因此额定值为【例2-4】如图2-5所示，要将一个满刻度偏转电流Ig=50μA，内阻Rg=2kΩ的表头制成量程为50mA的直流电流表，并联分流电阻RS应多大？

解由并联电路分流作用可得

分流电阻为【例2-4】如图2-5所示，要将一个满刻度偏转电流Ig图2-5例2-4图图2-5例2-4图2.2.3电阻的混联

既含有串联，又含有并联的电路称为混联电路。这一类电路可以用串、并联公式化简，图2-6就是一个电阻混联电路。

经过化简，可得等效电阻为

在计算串联、并联及混联电路的等效电阻时，关键在于识别各电阻的串、并联关系，可按如下步骤进行：2.2.3电阻的混联

既含有串联，又含有并联的电路称图2-6电阻的混联图2-6电阻的混联(1)几个元件串联还是并联是根据串、并联特点来判断。串联电路所有元件流过同一电流；并联电路所有元件承受同一电压；

(2)将所有无阻导线连接点用节点表示；

(3)在不改变电路连接关系的前提下，可根据需要改画电路，以便更清楚地表示出各元件的串、并联关系；

(4)对于等电位之间的电阻支路，必然没有电流通过，所以可看作开路；

(5)采用逐步化简的方法，按照顺序简化电路，最后计算出等效电阻。(1)几个元件串联还是并联是根据串、并联特点来判断。串联【例2-5】电路如图2-7所示，已知R1=6Ω，R2=15Ω，R3=R4=5Ω，试求a、b两端和c、d两端间的等效电阻。

解a、b两端的等效电阻为

c、d两端的等效电阻为【例2-5】电路如图2-7所示，已知R1=6Ω，R2=2.2.4Y形与△形电路的等效互换

在分析电路时，将串联、并联、混联电阻化简为等效电阻的方法，解决了一大类电阻电路的问题。但是在一些电路中，常常会遇到三个电阻的一端连在同一点上，另一端分别接到三个不同端子上，如图2-8(a)所示，这种连接方式称为电阻的星形(Y形)连接。如果将三个电阻分别接到每两个端子之间，如图2-8(b)所示，称为电阻的三角形(△形)连接。2.2.4Y形与△形电路的等效互换

在分析电路时，图2-8电阻的Y形连接与△形连接图2-8电阻的Y形连接与△形连接这三个电阻既非串联、又非并联，不能用串、并联简化，但可以通过电阻的Y-△等效变换来简化。若图2-8(a)、(b)两个网络等效，则三个对应端a、b、c的电流Ia、Ib、Ic及三个对应端之间的电压Uab、Ubc、Uca应相等。

对星形连接和三角形连接的电阻，如令a端子断开，那么图2-8(a)中b、c端子间的等效电阻应等于图2-8(b)中b、c端子间的等效电阻，即这三个电阻既非串联、又非并联，不能用串、并联简化，但可以同时，分别令b、c端子对外断开，则另两端子间的等效电阻也应有

将上面三式相加，化简后可得同时，分别令b、c端子对外断开，则另两端子间的等效电阻也应有将以上各式联立求解可得

式(2-9)为已知三角形连接电阻计算等效星形连接电阻的关系式。

如果已知星形连接电阻，那么将式(2-9)中各式两两相乘再相加，化简整理得(2-9)将以上各式联立求解可得

式(2-9)为已知三角

将式(2-10)分别除以式(2-9)中各式，可得

式(2-11)就是已知星形连接电阻求等效三角形连接电阻的关系式。(2-10)(2-11)

将式(2-10)分别除以式(2-9)中各式，可得

为了便于记忆，可利用下面所列文字公式

当Rab=Rbc=Rca=R△，称为对称三角形连接电阻，则等效星形连接的电阻也是对称的，有Ra=Rb=Rc=RY=R△，反之，则有R△=3RY。

由于画法不同，电阻星形连接有时又称作T形连接，电阻三角形连接也称作Π形连接。为了便于记忆，可利用下面所列文字公式

当R【例2-6】已知图2-9(a)所示电路中R1=3Ω，R2=1Ω，R3=2Ω，R4=5Ω，R5=4Ω，试求a、b端的等效电阻Rab。

解把R1、R2、R3看作一个星形连接，将其等效成图2-9(b)虚线框内的电阻，则【例2-6】已知图2-9(a)所示电路中R1=3Ω，R图2-9例2-6图图2-9例2-6图由图2-9(b)得R12与R4并联、R23与R5并联，然后二者再串联，最后与R13并联，即

Rab=(R12∥R4+R23∥R5)∥R13=3.21Ω

应用星形电路与三角形电路等效变换的目的是为了简化电路的分析。选择电路中的元件构成三角形或星形电路时，要仔细观察电路的连接关系，否则变换后可能使下一步的分析更复杂。由图2-9(b)得R12与R4并联、R23与R5并联，然2.3两种电源模型的等效

在实际电路中，经常需要多个电源以串联或并联的方式供电。这种以多个电源供电的电路可以用一个等效的电源来代替。

2.3.1理想电源的串联与并联

1.理想电压源串联

根据基尔霍夫电压定律，当n个理想电压源串联时，可以用一个电压源等效替代，这时其等效电压源的端电压等于各串联电压源端电压的代数和，即

US=US1±US2±…±USn(2-12)2.3两种电源模型的等效

在实际电路中，经常【例2-7】使用等效变换的方法简化图2-10(a)所示的电路。

解根据KVL，图2-10(a)所示电路等效为图2-10(b)后，有

US=US3-US2-US1

注意：(1)数值不同的理想电压源不能并联，否则违背了基尔霍夫电压定律，只有电压值相等、方向一致的电压源才允许并联，并且并联后的等效电压源仍为原值。

(2)凡与理想电压源并联的元件，对外等效时都可以忽略不计。【例2-7】使用等效变换的方法简化图2-10(a)所示图2-10例2-7图图2-10例2-7图2.理想电流源并联

根据基尔霍夫电流定律，当n个理想电流源并联时，可以用一个电流源等效替代，这时其等效电流源的电流等于各并联电流源电流的代数和，即

IS=IS1±IS2±…±ISn(2-13)

2.理想电流源并联

根据基尔霍夫电流定律，当n个理【例2-8】使用等效变换的方法简化图2-11(a)所示的电路。

解根据KCL，图2-11(a)所示电路等效为图2-11(b)后，有

IS=IS1-IS2+IS3

注意：(1)数值不同的理想电流源不能串联，否则违背了基尔霍夫电流定律，只有电流值相等、方向一致的电流源才允许串联，并且串联后的等效电流源仍为原值。

(2)凡与理想电流源串联的元件，对外等效时都可以忽略不计。【例2-8】使用等效变换的方法简化图2-11(a)所示图2-11例2-8图图2-11例2-8图2.3.2实际电源的串联与并联

前文已介绍过实际电压源与实际电流源间相互转换的方法，即:当实际电压源等效变为实际电流源时，电流源的内阻RS2等于电压源的内阻RS1，电流源的电流IS=US/RS1;当实际电流源等效变为实际电压源时，电压源的内阻RS1等于电流源的内阻RS2，电压源的电压US=ISRS2。

1.实际电源串联

在实际电源串联结构中，根据基尔霍夫电压定律，实际电流源需等效变换成实际电压源后再进行合并，最终等效为一个实际电源。2.3.2实际电源的串联与并联

前文已介绍过实际电压【例2-9】使用实际电源等效变换的方法简化图2-12(a)所示的电路。

解由图2-12(a)可知，电路为串联结构，由一个实际电流源和一个实际电压源串联而成，先将实际电流源转换为实际电压源，如图2-12(b)所示，然后可将两个实际电压源合并为一个实际电压源，如图2-12(c)所示。【例2-9】使用实际电源等效变换的方法简化图2-12(图2-12例2-9图图2-12例2-9图2.实际电源并联

在实际电源并联结构中，根据基尔霍夫电流定律，实际电压源需等效变换成实际电流源后再进行合并，最终等效为一个实际电源。

【例2-10】使用实际电源等效变换的方法简化图2-13(a)所示的电路。

解由图2-13(a)可知，电路为并联结构，由一个实际电流源和一个实际电压源并联而成，先将实际电压源转换为实际电流源，如图2-13(b)所示，然后可将两个实际电流源合并为一个实际电流源，如图2-13(c)所示。2.实际电源并联

在实际电源并联结构中，根据基尔霍图2-13例2-10图图2-13例2-10图2.4支路电流法

为了完成一定的电路功能，在一个实际电路中，总是将元件组合连接成一定的结构形式，当组成电路的元件不是很多，但又不能用串联和并联方法计算等效电阻时，可采用电路方程法来实现电路参数计算。

支路电流法是线性电路解题最基本的方法，它是以支路电流作为待求的变量，通过基尔霍夫电流定律(KCL)列写电流方程，通过基尔霍夫电压定律(KVL)列写电压方程，联立方程求解支路电流，再利用支路的伏安关系等来求解其他电量(如电压、功率、电位等)的一种方法。

下面以具体电路为例，说明支路电流法的求解过程。2.4支路电流法

为了完成一定的电路功能，【例2-11】电路如图2-15所示，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=5Ω，US1=13V，US2=6V，求各支路的电流及电压源US1发出的功率。

解选定各支路电流I1、I2和I3的参考方向如图2-15所示；在两个节点a、b中任选其