复变函数积分的概念课件

第一节复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及其计算法二、积分的性质四、小结与思考1第一节复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及2一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定3简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:

在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.3简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向42.积分的定义:42.积分的定义:5(5(6关于定义的说明:6关于定义的说明:7二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式7二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不8性质(4)的证明两端取极限得[证毕]8性质(4)的证明两端取极限得[证毕]9三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,9三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数101011根据线积分的存在定理,11根据线积分的存在定理,12当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,12当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,13在形式上可以看成是公式13在形式上可以看成是公式142.积分的计算法142.积分的计算法15在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.15在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C16例1解直线方程为16例1解直线方程为17这两个积分都与路线C无关17这两个积分都与路线C无关18例2解(1)积分路径的参数方程为y=x18例2解(1)积分路径的参数方程为y=x19(2)积分路径的参数方程为y=x19(2)积分路径的参数方程为y=x20y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为20y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数21例3解积分路径的参数方程为21例3解积分路径的参数方程为22例4解积分路径的参数方程为22例4解积分路径的参数方程为23重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.23重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.24例5解根据估值不等式知24例5解根据估值不等式知252526四、小结与思考

本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.26四、小结与思考本课我们学习了积分的定义、27思考题27思考题28思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出.28思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出29作业：P57

例4.P792.3.6.29作业：P57例4.第一节复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及其计算法二、积分的性质四、小结与思考30第一节复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及31一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定32简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:

在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.3简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向332.积分的定义:42.积分的定义:34(5(35关于定义的说明:6关于定义的说明:36二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式7二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不37性质(4)的证明两端取极限得[证毕]8性质(4)的证明两端取极限得[证毕]38三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,9三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数391040根据线积分的存在定理,11根据线积分的存在定理,41当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,12当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,42在形式上可以看成是公式13在形式上可以看成是公式432.积分的计算法142.积分的计算法44在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.15在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C45例1解直线方程为16例1解直线方程为46这两个积分都与路线C无关17这两个积分都与路线C无关47例2解(1)积分路径的参数方程为y=x18例2解(1)积分路径的参数方程为y=x48(2)积分路径的参数方程为y=x19(2)积分路径的参数方程为y=x49y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为20y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数50例3解积分路径的参数方程为21例3解积分路径的参数方程为51例4解积分路径的参数方程为22例4解积分路径的参数方程为52重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.23重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.53例5解根据估值不等式知24例5解根据估值不等式知542555四、小结与思考

本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.26四、小结与思考本课