多元复合函数的求导法则课件

一元复合函数：求导法则：微分法则：一元复合函数：求导法则：微分法则：第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导的链式法则多元复合函数的全微分第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则1.中间变量均为一元函数的情形证一、多元复合函数求导的链式法则1.中间变量均为一元函数的情多元复合函数的求导法则课件上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数

称为全导数.上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导若定理中在点说明:

例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,

则定理结论不一定成立.若定理中在点说明:例如:易知:但复合函数偏导数连偏导数不连续偏导数不连续

上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：2.中间变量均为多元函数的情形上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情链式法则如图示链式法则如图示

类似地，设u=(x,y)、v=(x,y)、w=(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数,则复合函数z=f[(x,y),(x,y),(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算：类似地，设u=(x,y)、v=(x,3.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3

若u=(x,y)在点(x,y)可导，v=(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导，则复合函数z=f[(x,y),

(y)]在点(x,y)可导，且3.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3若特殊地即令其中两者的区别区别类似“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”特殊地即令其中两者的区别区别类似“分段用乘,分叉用加,单路全解解例2.解:例2.解:例3.

设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例3.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分为简便起见,引入记号例4.

设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,(当在二、三象限时,)二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则例5.设(当在二、三象限时,多元复合函数的求导法则课件

已知注意利用已有公式已知注意利用同理可得同理可得设函数的全微分为：可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,

其全微分表达

形式都一样,

这性质叫做全微分形式不变性.二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为：可见无论u,v是自变量还是中间变量例1.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以例6.例1.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以例6.

思考题1.

已知求解:由两边对x

求导,得思考题1.已知求解:由两边对x求导,得求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)2.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)2.内容小结1.

复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性对不论

u,v是自变量还是因变量,内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单一元复合函数：求导法则：微分法则：一元复合函数：求导法则：微分法则：第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导的链式法则多元复合函数的全微分第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则1.中间变量均为一元函数的情形证一、多元复合函数求导的链式法则1.中间变量均为一元函数的情多元复合函数的求导法则课件上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数

称为全导数.上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导若定理中在点说明:

例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,

则定理结论不一定成立.若定理中在点说明:例如:易知:但复合函数偏导数连偏导数不连续偏导数不连续

上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：2.中间变量均为多元函数的情形上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情链式法则如图示链式法则如图示

类似地，设u=(x,y)、v=(x,y)、w=(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数,则复合函数z=f[(x,y),(x,y),(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算：类似地，设u=(x,y)、v=(x,3.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3

若u=(x,y)在点(x,y)可导，v=(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导，则复合函数z=f[(x,y),

(y)]在点(x,y)可导，且3.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3若特殊地即令其中两者的区别区别类似“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”特殊地即令其中两者的区别区别类似“分段用乘,分叉用加,单路全解解例2.解:例2.解:例3.

设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例3.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分为简便起见,引入记号例4.

设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,(当在二、三象限时,)二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则例5.设(当在二、三象限时,多元复合函数的求导法则课件

已知注意利用已有公式已知注意利用同理可得同理可得设函数的全微分为：可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,

其全微分表达

形式都一样,

这性质叫做全微分形式不变性.二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为：可见无论u,v是自变量还是中间变量例1.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以例6.例1.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以例6.

思考题1.

已知求解:由两边对x

求导,得思考题1.已知求解:由两边对x求导,得求在点处可微,