工程测量之测量误差及测量数据初步处理

第四章测量误差及测量数据初步处理

本章主要讲述测量误差问题。内容涉及测量误差概念、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差、由最或然误差求观测值中误差、观测值函数的中误差及其应用等。第四章测量误差及测量数据初步处理

[重点]中误差、极限误差、相对误差的计算方法，算术平均值及其中误差的计算方法

初步掌握测量误差的来源，误差的分类及偶然误差的统计特性；了解平均误差的概念；熟悉中误差、极限误差、相对误差的计算方法；掌握算术平均值及其中误差的计算方法；掌握由最或然误差求观测值中误差的方法，熟悉由观测值中误差计算倍数函数、和差函数、一般函数中误差的方法。通过本章教学，要求学生熟悉测量误差概念、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差、由最或然误差求观测值中误差、观测值函数的中误差及其应用等；掌握中误差、极限误差、相对误差的计算方法，算术平均值及其中误差的计算方法。第四章测量误差及测量数据初步处理§4-1测量误差及测量精度§

4-2误差传播定律§

4-3算术平均值及其中误差

在进行重复观测中，我们会发现，观测量之间往往存在差异，或几个观测量应满足某一理论关系式但实际不满足。如同一段距离丈量若干次，量得长度常常互有差异；同一水平角，上下半测回的角值不完全相同；水准测量中闭合路线的高差总和往往不等于零；测量一个三角形的三内角，三内角和不等于180°。这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。我们要处理这些误差，求得未知量的最可靠值，并评定测量成果的精度。其中为真值：任何一个观测量存在一个代表其大小的理论数值。有些可求，有些不可求。1.误差概念：观测值与真值之差。4.1.1误差来源2.来源a.人:感觉器官、技术水平限制。b.仪器：精密度、校正不完善c.外界条件影响：温度、湿度、风观测条件为观测值：每次观测所获得的结果。在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其真值之间存在的差异。观测条件好，成果质量就会高一些，产生误差可能性小些。观测条件差，成果质量就会低一些，产生误差可能性大些。等精度观测：在相同观测条件下所进行的一组观测。不等精度观测：在不同观测条件下所进行的一组观测。3.研究误差的目的误差是测量中不可避免的。误差反映了观测成果质量和观测条件的好坏。研究误差是为了消除或减弱测量中的误差，提高观测成果的质量。测量误差主要来自以下三个方面：

(1)外界条件：主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。

(2)仪器条件：仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。

(3)观测者的自身条件：由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。

通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。4.1.2误差分类1.系统误差：即在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，误差的出现在符号和大小相同或按一定规律变化、或保持为常数。

措施：一般在观测方法和程序上采取一定措施削弱其影响或利用公式对观测值进行改正。

2.偶然误差：即在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，误差的出现在符号和大小均不一致，没有什么规律性，偶然误差又称为随机误差。措施：多次观测取平均值可抵消部分，提高精度。粗差：即由于粗心大意造成的错误。4.1.3偶然误差特性单个误差，符号大小无规律，呈现随机性；但随观测次数的增加，呈现出一定统计规律。有四大统计特性。1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。

（有界性）2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。（有序性）3.绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。（对称性）4.随着观测次数无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。

E()=0（无偏性）即Lim——ni=1nni=Limn——n[]=0系统误差的特性：对观测成果有累积影响，但可消除或减弱。通常由偶然误差的大小和分布状态来评定成果的精度。4.1.4误差的消除或减弱方法

系统误差通过计算进行改正,比如:钢尺尺长改正；2、分析它对观测的影响规律，采取措施来消除或者减小它对观测成果的影响。

偶然误差进行多余观测，通过测量平差、数据处理理论，确定被认为是最可靠的结果。

粗差尽量避免或剔除4.1.5测量精度指标精度是指对某一个量进行的多次同精度观测中，其偶然误差分布的密集或离散的程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。

误差分布的密集或离散程度可用误差分布表、误差分布直方图或误差分布曲线来表示。

用图表方式来表示精度虽然直观，但应用起来不方便。为了衡量观测结果精度的高低，常用数字指标来表示。例：在相同的观测条件下，对一三角形的全部内角独立观测358次。真误差=观测值—真值

测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。误差频率分布表

误差区间备注0″～2″450.1260.0630460.1280.0640d△=2″2″～4″400.1120.0560410.1150.05754″～6″330.0920.0460330.0920.04606″～8″230.0640.0320210.0590.02958″～10″170.0470.0280160.0450.022510″～12″130.0360.0180130.0360.018012″～14″60.0170.008550.0140.007014″～16″40.0110.005520.0060.003016″以上000000.0001810.5051770.495误差分布直方图误差分布曲线f(△)0468-8-6-4△1中误差在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次等精度的独立观测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m表示，即：(1)用真误差计算中误差的公式标准差公式：真误差：中误差公式为：一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。也就是说，中误差仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个观测值的精度。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。m小误差分布密集，观测值差异小，精度高。m大误差分布离散，观测值差异大，精度低。[]取和(2).用改正数计算中误差的公式当观测值的真值未知时：利用“改正数”来求中误差。所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v表示，设某未知量的观测值为：则该量的算术平均值为：

则该量的改正数：计算得：观测值的中误差（白塞尔公式：就是用观测值的改正数计算中误差的实用公式）2.平均误差

在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次等精度的独立观测，所得各个真误差绝对值的算术平均值，称为平均误差，用表示，即：平均误差不如中误差可靠例如：有2个组对一三角形分别进行水平角观测，每次观测计算的三角形内角和真误差为：第1组：+3″，-2″，-4″，+2″第2组：0″，-1″，-7″，显然，m1精度高于m23、相对误差（距离测量有、角度无）绝对误差：真误差、中误差、容许误差。例如：观测1000m观测800m中误差中误差

中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m，另一段为200m，但中误差皆为±0.02m。显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。相对误差：中误差的绝对值与相应观测值之比，用K表示。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。4、极限误差（容许误差、限差

）

应用：限差检核，判断成果是否合格。

若误差超过限差，称为超限，超限要重测。

含义：观测中的偶然误差出现大于容许误差的概率极小，如果发生，则为非偶然因素造成，测量结果认为不合格。

依据：由偶然误差的特性（有界性）知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。概率论中知误差落在：取极限误差(容许误差)：或：误差超过2m、3m为小概率事件容许相对误差（距离测量）§4-1测量误差及测量精度§

4-2误差传播定律§

4-3算术平均值及其中误差第四章测量误差及测量数据初步处理

上面介绍的是观测值的精度,实际测量中，有些量不能直接测得，而是由直接观测值通过函数计算获得，如何求函数的中误差?例如：S2S1S4S3SS=S1+S2+S3+S4问题：已知观测值S1、S2、S3、S4的中误差，问S的中误差？误差传播定律：观测值中误差与函数中误差之间关系的定律。4.2.1倍函数例1：如地图上量距误差倍函数的中误差等于观测值的中误差乘以常数k。1:500地形图，图上距离s=64.6mm±0.2mm，过S和mS。设M为比例尺分母,函数关系:S=s*M=32.3m

应用定律:mS=M*ms=±0.1m4.2.2和（或差）函数如测回法观测水平角测量误差()例2：如水准测量测段高差中误差水准测量，n站，得高差

,每站高差中误差m站=±3mm，各站观测条件一样；求测段高差中误差及容许误差。函数关系:应用定律:推广：和差函数的中误差等于各观测值中误差平方和的平方根。

容许误差:4.2.3线性函数

如测量长方形的长和宽求周长中误差

(p=2a+2b)推广：相互独立，条件：观测值其中误差为

线性函数的中误差等于各观测值中误差与其乘数乘积的平方和的平方根。4.2.4一般函数（非线性函数）函数形式：全微分：用真误差替代函数中误差：

上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例，所以该式具有普遍意义。应用步骤：（1）建立函数关系并全微分；（2）应用误差传播定律；（3）注意单位统一。例4：如测量斜距和竖直角（高差）化算平距

测AB斜距L=200±0.05m和倾角α=15°±20″，HA=150m，求HB、mHB?函数关系:非线性函数，全微分得：应用定律:§4-1测量误差及测量精度§

4-2误差传播定律§

4-3算术平均值及其中误差第四章测量误差及测量数据初步处理4.3.1算术平均值1.定义：同精度观测值之和与观测值个数之比，称为~。2.多次观测取平均值的意义设有等精度观测值为未知量的真值为,其真误差为：则有：从而有因此算术平均值是观测值的最或然值（最可靠值、最接近真值）1.改正数：算术平均值与观测值之差。改正数特性2.由改正数、真误差计算观测值中误差4.3.2算术平均值的中误差就是用观测值的改正数计算中误差的实用公式－－不知道真误差△，则用改正数v－－知道真误差△改正数3.算术平均值的中误差结论：算术平均值的中误差为观测值中误差的1/，

M＜m。算术平均值的精度比各观测值的精度提高了倍。实际应用：增加观测次数，以算术平均值为观测结果可提高精度。同精度观测例：经纬仪测量某角度6个测回，求观测值中误差、算术平均值的中误差。观测次序

观测值改正数vv计算145°42′49″-4162