天津市武清区杨村一中2020-2021学年高三(下)开学考数学试题

天津市武清区杨村一中2020-2021学年高三（下）开学考数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题已知集合A={x\x2-3x+2<Q},B=^xeZ\2x>1^,则A[}B=()(1,2)B.(1,2]c.[1,2]D.{1,2}已知命题p:Vxgr,sinxQ,贝ijA.—sinx^lB.sinx^lC.—i/?:3xgr,sinx>1D.siiix>l3•要得到函数y=2V3cos2x+sin2x-V3的图象，只需将函数V=2sin2x的图彖（）A.向左平移冬个单位B.向右平移冬个单位TOC\o"1-5"\h\z33C.向左平移工个单位D.向右平移三个单位664.已知各项不为0的等差数列｛。”｝满足①一2。；+2鸟=0,数列｛仇｝是等比数列且b7=a19则®%等于（）D.A.D.5.设p:/(x)=%3+2x2+mx+1在(-oo,+oo)内单调递增,（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数/（X）=In（JF+I+x），设°二/（logs0.1）,b=f（3-02）,c=/（311）,则（）A.a>b>cE.b>ci>cC.c>a>bD.ob>a7•中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”・“礼”，主要指德育「乐”,主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动：“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有()A.120种156A.120种156种188种240种AABC的内角4,B,C的对边为b,5若b=2®且MBC的面积为,则ci+c,则ci+c的最人值为(TOC\o"1-5"\h\zA・1E.2C・3D・4—x2(0<x<2)rc16'已知函数y=f(x)为/?上的偶函数，当xno时，函数=,+(”>2)AZ/若关于X的方程[/(切『+0(x)+b=O(a,beR)有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范国是()(51)B.A・,B.I24)D.D.二、填空題TOC\o"1-5"\h\z已知复数：Z满足z=—(j为虚数单位)，则Z的虚部为;1若(1-2x)2019=aQ+atx+a2x2+•••+^2010x2019(xeR)f则号■+》+...+黑|_=12.已知四棱锥P-ABCD满足PA=PB=PC=PD=AB=2,且底面ABCD为正方形,则该四棱锥的外接球的体积为.y13v13・已知实数儿v满足x>0，y>0,且X+—+—+—=5,贝ij3x+y的最小值为3xy已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点(人>号)是抛物线C上一点,以M为圆心的圆与线段MF相交于点4,且被直线x=L截得的弦长为2-IA/A..>/3|AM|,若—=2,则A鬥二.已知函数/U)=smcox-coscox^co>0),若集合A={xg[0,^)|/(x)=-1}只含有3个元素，则实数Q的取值范闱是三、解答题已知函数/(x)=sin—cos—+-s/3cos2————3332求/XQ的最小正周期及其对称中心：如果三角形ABC的三边a、b、c满足b-=ac,且边b所对角为x,试求x的范围及此时函数/(3x)的值域.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA,ZPDA=~,平面ADPQ丄平面ABCD,且AD=PD=2QA=2.2P(1)求证：0B//平面PDC;求二面角C-PB-Q的正弦值；已知点H在棱PD上，且异面直线AH与P3所成角的余弦值为也，求线段15的长.各项均为正数的数列｛。”｝的前〃项和为S”，且满足冬=4,此产6S”+9〃+1/wNl各项均为正数的等比数列｛$｝满足人=认=a2,求证｛。”｝为等差数列并求数列｛©｝、｛$｝的通项公式；若c”=(3//-2)•bn,数列｛c｝的前"项和Tn.求人;若对任意n>2,neN\均有(7；,-5)//?>6〃'—31〃+35恒成立，求实数m的取值范用.已知椭圆C：—+^=l(a>b>0)的离心率为丁，左、右焦点分别为片，尺，点Dcr2在椭圆C上，ADF/2的周长为6.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线1经过点4（2,1）,且与椭圆C交于不同的两点M、N,若\AM\,^\OA\,\AN\（0为坐标原点）成等比数列，判断直线/的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.20.已知函数/（x）=xsinx+cosx+#ax‘，xg7t\（1）当。=0时，求f（x）的单调区间；（2）当。＞0,讨论/（X）的零点个数；参考答案D【分析】分别解出两个集合，注意集合B中元素全为整数，然后求出交集.【详解】解F_3x+2<0,即(x—1)(—2)50,所以A={x\l<x<2}t解2r>l=2°,xeZ,所以B={x\x>0.xeZ}所以的3={1,2}故选：D【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件.C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以，只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C.考点：全称命题与特称命题的否定.C【分析】化简函数y=2jJcos2x+sm2x-妇，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.故只需将函数【详解】故只需将函数依题意y=2-\/3cos'x+sin2x-石=2sinJ=2sm2x的图象向左平移£个单位.所以选C.6【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.C【解析】由题意可得:a5—2a^+2d$=(①_2d)—2d；+2(©+d)=3a?-2a；=0,39*.*ci-,h0,a?=—»贝(J：=by=ci..=—.本题选择c选项.B【分析】先将命题"中函数单增转化为广(X)>0在(YO,+CQ)上恒成立，求出参数加取值范围，即可求解【详解】对函数求导可得，f(x)=3x2+4x+m,•••/(x)在(Y),g)内单调递增，则f\x)>0在(y>,g)上恒成立.即3x2+4x+/k>04恒成立，从而△=16—12加50,A/«>-,34又显然"是9的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查命题必要不充分条件判断，考查了利用导数研究函数单调性的方法，属于基础题D【分析】先判断/(x)的奇偶性，再证明单调性，判断出a,b,c对应自变量的人小关系，利用/(x)单调性比，即町得出答案.【详解】・・・/(x)=ln(J〒+l+x),・・./(—x)=ln(&+l—x)・•・/(x)+/(-x)=0,・・・/(-x)=-/(%),・•・函数/(x)是奇函数，.••当时，易得/(x)=ln(W+l+x)为增函数，故/(x)在R上单调递增,Vlog30.1<0,0<3~O2<b3口>3,•・J（311）>/（3®）>/（10別0.1）,：.c>b>a.故选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.A【分析】该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.【详解】当“数”排在第一节时有•血=48排法；当“数”排在第二节时有£・念・左=36种排法；当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有=种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有=24种排法，所以满足条件的共有48+36+12+24=120种排法，故选：A.【点睛】在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论,再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.D【分析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到-acsinB=-^accosB,求出B=j,223再由（2>/3）2=b2=a2+c2-laccosB=+c）2-ac,结合基本不等式，即可求出结果.【详解】-acsinB=--acsinB=-2f"COSB,因此y2/r2+c2-b2^由余弦定理可得：cr+c2-b2+c2-b2^所以(2厠=戻=a2+c2一2accosB=(a+c)2-ac$(a+c)2一十")=-(a+c)2,443即-(a+c)2^2y/3)24・・・(a+c)M16,即a+c<4,当且仅当Q=c时，等号成立，故編+c的最人值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.B【分析】作出函数y=/W的图像，设f(x)=t,从而可化条件为方程t2+at+b=0有两个根，利用数形结合可得t.=-,0<t.<-,根据韦达定理即可求出实数a的取值范用•4'4【详解】由题意，作出函数y=f(x)的图像如下,•••关于•••关于X的方程[/W]2+af(x)+Z?=0g/?)有且仅有6个不同的实数根,取X=0取X=0，则q)=l=-1设/(x)=f,:.t2+at+b=0有两个根，不妨设为心；<O<O1-4=

且+

fl=124丿故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范圉，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.-1；【分析】求出乙的值再判断即可.【详解】?=土=上工=故乙的虚部为—1ii~-1故答案为：—1【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与虚部的定义，属于基础题型.-1【分析】取X=0计算心，取A=计算得到答案.【详解】(l-2x)2019=ci0+aLx+a2x2+•••+a2QlQx2019(xeR)取则0=do+勺+竺+...+22取则0=do+勺+竺+...+222①0192^019=>鱼+生+…+22"2^019故答案为-113.13.3【点睛】本题考查了二项式的计算，取特殊值是解题的关键.12.亜.3【分析】计算出四棱锥P-ABCD的外接球半径，由球的体积公式：V=-^即可求解.3由已知，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，设外接球半径为作PO丄底面ABCD•.・PA=PB=PC=PD=AB=2,:.po=bo=£同理可得AO=CO=DO=PO=>/2所以R=y[i所以外接球的体积为V=—/?3=墜兰,33故答案为：5匡3【点睛】本题主要考查立体几何的内切外接问题，解此题的关键找到外接球的球心和半径，同时要熟记球的体枳公式，属于中档题.【分析】

变形“中丄+d牛2+丄+丄=5,则5（3“护冲^+6+2+空，利用基5xy3xy3xy本不等式，建立关于3x+y的一元二次不等式，求解即可.【详解】因为x+^+-+-=因为x+^+-+-=3xy沁：+丄+二53xy所以5(3x+y)=y6+上+艺》出2：+6+2厲=色少+12,3xy33、3当且仅当y=3x=6^-时，取等号.上式可化为(3x+y)2-15(3x4-y)+36<0,解得3<(3x+刃<12,所以3x+y的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了均值不等式，一元二次不等式，考查了变形推理运算能力，属于难题.14.1【分析】根据题意得出关于X。、"的方程组，求岀儿和”的值，利用抛物线的定义可求得|4F|.【详解】由题意，M（a0,25/2）在抛物线上，则8=2/如，则皿=4,①44442(2(TOC\o"1-5"\h\z99(n\^\MA\=2\AF\=-\MF\=-+g'‘I厶)•.•被直线X=#截得的弦长为a/3|MA|,则\DE\=£|MA卜£(竝+彳由|M4|=|ME|二厂，在Rt^MDE中，IDE|2+|D/W|2=pWE|2,即丄|\+上]+卜0-£]=-[^o+-]，代入整理得4+P2=20,②32丿\2丿9(2)由①②，解得x°=2,卩=2,卜鬥=：xQ+-^—=1,故答案为：1-【点睛】本题考查抛物线焦半径的计算，涉及抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.【分析】7T7t7t由题意7T7t7t由题意/W=>/2smcox-^-(6?>0),由兀丘0"，可得COX-—E-—.0)7：-—I4丿444再根据f(X)=一1只有3个解可得—<COTT-,即可得解.444【详解】由题意/(x)=sincox-cosa)x=y/2siiicox——(q>0),I4丿71COX——G4—.COTT——44丿又集合A={xE[0^）\f（x）=-l}只含有3个元素，且JIsm（—彳=一1,71COX——G4—.COTT——44丿又集合A={xE[0^）\f（x）=-l}只含有3个元素，且JIsm（—彳=一1,匹5上空,解得2J皐,4442•••实数Q的取值范閑是（2,[故答案为：（2,亍【点睛】本题考查了三角函数图象和性质的应用以及辅助角公式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题・16・(1)T=5对称中心为(3k兀龙c\八、.._亍°(Rwz)；⑵[0,1].【详解】试题分析：（1）首先利用三角函数的二倍角公式及两角和与差的三角函数公式将函数/（X）化成只含一个角的三角函数，从而利用三角函数的性质求/（X）的最小正周期及其对称中心;（2）先利用余弦定理求岀cosx的范制再由余弦函数的单调性求出x的范制最后利用（1）的结果求出函数/（3x）的值域.试题解析：解：（1）/（x）=sincos^-+cosrr12X亡—空1.2无丄戶1+©可73」'2322.2x兀2兀.7U2尤兀、=sin——cos—+cos——sin—=sini——+—)・3S3333(*")・A/W的最小正周期为2/r、…a2+c2-b2a2+c2-ac、2ac一ac1(2)lr=ac・•・cosx==>=一・2qc2ac2cic2又xe(O^)xe(0;l]而/(3x)=5Z7?2x+—3丿TOC\o"1-5"\h\z■Y71(由"(0*21，得2x+—g—J3(3」/(3x)=5//?^2x+yje[0,1].考点：1、三角函数的恒等变形；2、三角函数的图象及性质；3、余弦定理.3(1)详见解析；(2)-:(3)2【分析】由面面垂直的性质可得直线PD丄平面ABCD,建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面PDC的一个法向量，直线0〃的方向向量富，由QBAD=0即可得证：求出平面PBC的一个法向量耳，平面PBQ的一个法向量仏，利用cos<几石〉,再利用同角三角函数的平方关系即可得解：-1^11-1^1设H(0,0M)(0S<2),由题意COSV丙，丽>|=也即严I=雲,1152*,4+h2匕3解出h=—后即可得解.2【详解】(1)证明：•.•平面ADPQ丄平面ABCD^平面ADPQc平面ABCD=AD,PDu平面ADPQ,PD丄AD,•••直线PD丄平面ABCD,由题意，以点D为原点，分别以丽，DC,Dp的方向为X轴，y轴，z轴的正向建立如图空间直角坐标系,

4(200),0(2,OJ),P(0O2),依题意易得AD=（-2,0,0）是平面PDC的一个法向量,4(200),0(2,OJ),P(0O2),又QB=(0.2-1),..QBAD=0,又・••直线03U平面PDC,/.QB〃平面PDC；(2)•••两=(2,2,-2)，PC=(0.2,-2),西=(2,0,-1),设耳=（心儿©）为平面PEC的一个法向量,2x.4-2v.-2z.=0一2)「2冷’令"TZ)设n2=（兀，E）为平面PBQ的一个法向量,则頁鹫°,即］\n^PB=02x.-Z.=0一则頁鹫°,即］\n^PB=0・•・COS<77.,77^>=_•"MM®•.二面角C-PB-Q的正弦值为|1一J.2氐+2汀2屮・•・COS<77.,77^>=_•"MM®•.二面角C-PB-Q的正弦值为|1一J.2(3)设//(0,0^)(0</z<2),则丽=(_2。力,又丙=(2,2厂2),…cos<…cos<TOC\o"1-5"\h\z1152苗.丁4+，158・•・6X—25力+24=0,解得h=-或h==（舍去）.33故所求线段期的长为产【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行、求解二面角、表示异面直线所成的角，属于中档题.318.(1)an=3n-29bn=2^1(2)①7；,=(3n-5)-2/r+5;®m>—2【分析】(1)利用已知条件转化求解数列｛色｝是等差数列，求解首项公差,利用等比数列求数列｛仇｝的首项和公比.⑵①化简C”=(3/7-2).bn,利用错位相减法求解数列｛c”｝的前"项和Tn.②转化求出与n的不等式,利用最值求解m的范附即可.【详解】⑴T。二=6S”+9”+1,・•・6f；=6\_1+9(/?-l)+l(H>2).二-尤=6©+9(心2),・・・盗+产(％+3)2,又仇｝各项为正，••・％+—+3,(心2),・•・你开始成等差，丈a、=4，4"=6勺+9+1q=1,••・冬一4=3・・・｛厲｝为公差为3的等差数列，an=3“一2,片=1,代=4,••也=2心.⑵c”=(3“—2).2i,@7；i=1-20+4-21+...+(3/7-2)-2,,_1,27；=12】+4才+...+(%—2)・2",・•・-7；=1+3(2」+2,+...+2心)一(3〃—2)•2”，-7；=1+6(2”t-1)-(3〃-2)•2”，-人=(5-3〃).2"_5,Tn=⑶l5)2"+5.

②（3m-5）・2"•m>②（3m-5）・2"•m>6n2一3In+35恒成立,…、6n2—31〃+35_（3n-5）（2〃—7）2〃—7（3〃-5）.2"（3/7-5）2"2/；一7即＞——恒成立，2/r设k,『-7Tk+kj-2-79-2〃2〃+i2“2"+】当7?<4M,knU>kn；当77>5时，knU<kn32【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，数列求和，以及数列与不等式的关系，考查函数思想的应用,属于中档题.J119⑴T+f=1（2）直细的斜率为定值,该定值智【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于abc的方程组，求得cibc的值，即可得到椭圆的标准方程:（2）设直线/的方程为y=^（x-2）+l,设M（s），Ngy）联立方程组,利用根与系数的关系，求得召+X,=弘（2'二1）产=16L—16*—8,再由1-3+4〃1-3+4L\AM[\AN\=^\OA^求得k的值，即可得到结论.【详解】

亍J⑴由题意，得-=-2a+2c=6解得冷=*,⑴由题意，得-=-2a+2c=6I43c=1（2）由题意，可设直线/的斜率为4则直线/的方程为）u£（x—2）+1，设nCwJ・—+—=1联立方程，得|43y=R(x_2)+l消去儿整理得(3+4L)亍一弘(2R—l)x+16T—16R—8=0,由根与系数的关系，得人+耳=昨-1)_由根与系数的关系，得人+耳=昨-1)_3+氽內16T—16R—83+4T由厶=96x(2k+l)>0,得k>_t，因为如V|成等比数列，所以|AM|*N|=£|Q4f,所以AM•丽=扌,即（x1-2）（x2-2）+（X-1）（儿一1）=寸‘即X]疋一2(兀+xJ+4](l+R')=所以i6F-16所以i6F-16^8-2x3+4"竺也岂+43+4/（皿）拧整理得士竺=」，所以/=丄，3+4"44因为R>—丄，所以k=丄，22故直线/的斜率为定值，该定值为丄.2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

20.（120.（1）y*（x）单调递减区间为：——,o,71争;单调递增区间为：—爲一彳，°,彳79⑵当0VaWr时，/（x）在［一兀兀］上有2个零点，当«>—时，/（x）在［一兀兀］上7T7T无零点・【分析】