备战中考数学易错题精选-圆的综合练习题附详细答案

1515(2丿求证：gC2二(2丿求证：gC2二CD-BE・【答案】(1)结论：DE是O的切线，理由见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】°连接OD，只要证明OD丄DE即可；只要证明：AC=BD，CDBsDBE即可解决问题.【详解】(1)解：结论：DE是O的切线.△△理由：连接OD.一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，AB为O的直径，弦CD//AB,E是AB延长线上一点，ZCDB=ZADE.DE是O的切线吗？请说明理由；ZCDB=ZADE，/.ZADC=ZEDB,..CD//AB，/.ZCDA=ZDAB，・・OA=OD，/ZOAD=ZODA,・・・ZADO=ZEDB,■AB是直径，ADB二90，ADB二ZODE二90，DE丄OD，。・DE是O的切线.（2）CD//AB,/.ZADC=ZDAB,ZCDB=ZDBE,•-AC二BD，AC=BD,ZDCB=ZDAB,ZEDB=ZDAB,:.ZEDB=ZDCB,:.CDB〜DBE,CDDB•——'~BD~~BE，BD2=CD-BE,AC2=CD-BE.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，在ABC中，ZACB=90,ZBAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE丄AD交AB于点E,以AE为直径作O.（1）求证：BC晟O的切线；o（2）若AC=3，占C=4，求tanZEDB的值.【答案】（1【答案】（1）见解析；（2）tanZEDB=【解析】【分析】（1）连接OD,如图，先证明OD//AC，再利用AC丄BC得到OD丄BC,然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先利用勾股定理计算出AB=5，设。的半径为r，则OA=OD=r，OB=5—r,再证明BDO〜再证明BDO〜BCA，利用相似比得到r：3=（5—r）：5，解得r=，接着利用勾8531股定理计算BD=—，则CD=—，利用正切定理得tanZ1=—，然后证明222z1=ZEDB，从而得到tanzEDB的值.【详解】(1z1=ZEDB，从而得到tanzEDB的值.【详解】(1)证明：连接OD,如图，AD平分ZBAC,:.Z1=Z2,・.OA=OD,；Z2=Z3,.•・Z1=Z3,••・ODIIAC,AC丄BC,・•・OD丄BC,BC是O的切线；（2）解：在Rtacb中,ab—32+42=5,设O的半径为厂，则OA=OD=r,OB=5-r,ODIIAC,A・•・电DOsBCA,OD:AC=BO:ba,即&：3=（5—丫）：5,解得r=-,8OD15~8OB25~8在RtODB中,込亦亦=I,CD=BC—BD△在RtACD中tanZl=CD=2=1，AC?2AE为直径，/.ZADe=90,:・,zEDB+ZADC=90,Z1+ZADC=90,。股定理得：股定理得：AB=Q22(2*3)2=4,AZABO=30°.股定理得：股定理得：AB=Q22(2*3)2=4,AZABO=30°.11,\Z1=ZEDB,tanZEDB=—2【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．3.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（X],y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1^x2,y1^y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的"坐标菱形（1）已知点A（2，0），B（0，2总），则以AB为边的"坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2）,点D在直线y=5上，以CD为边的"坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；（3）OO的半径为叮2，点P的坐标为（3,m）.若在OO上存•在一点Q,使得以QP为【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=-x+3；（3）1<m<5或-5WmW-1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的"坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4,可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D（4,5）或（-2,5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：先作直线尸x,再作圆的两条切线，且平行于直线尸x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求PB=BD=1,PB=5，写出对应P的坐标；先作直线尸-x,再作圆的两条切线，且平行于直线尸-x,如图4,同理可得结论.详解：（1）点A（2,0）,B（0,2丁3）,•••0A=2,0B=2爲.在Rt^AOB中，由勾T四边形ABCD是菱形，AZABC=2ZABO=60°.TABIICD,AZDCB=180°-60°=120°,A以AB为边的"坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为：60°；(2)如图2.T以CD为边的"坐标菱形"为正方形，A直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE丄DE于E,AD(4,5)或(-2,5),A直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；(3)分两种情况：先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线$=乂，如图3.•••°。的半径为J2，且△OQD是等腰直角三角形，AOD=\：''2OQ'=2,aPD=3-2=1.T△PDB是等腰直角三角形，aPB=BD=1,aP(0,1),同理可得：OA=2,AAB=3+2=5.T△ABP是等腰直角三角形，aPB=5,AP(0,5),A当1<m<5时，以QP为边的"坐标菱形”为正方形；先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4.TOO的半径为V2，且△OQ‘D是等腰直角三角形,AOD=、辽OQ=2,ABD=3-2=1.T△PDB是等腰直角三角形,APB=BD=1,AP(0,-1),同理可得：OA=2,AAB=3+2=5.T△ABP是等腰直角三角形，APB=5,AP(0,-5),A当-5<m<-1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1<m<5或-5<m<-1.点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2）,点C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量X、y,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作RtAABM.设点M坐标为（x,丫），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2^5【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtAABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+空5,1+空5），代入直线y=-x+m,可得m=4+2弋'5，即可得出x+y的最大值为4+2p5.详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，交x轴与E,如图所示，连接OD，CD.TA(6,0)、B(0,2)，D(3,丄)，OD=寸］23=\/10,二CD=10.根据CD丄EF可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为.5,二C(3+\；5,1+\：'5)，代入直线y=-x+m，可得：1+.5=-(3+斗5)+m，解得：m=4+2*'5,「•x+y的最大值为4+2、：5.故答案为：4+275.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解．5．(1)问题背景如图①，BC是O0的直径，点A在OO上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合)，求证：^2PA=PB+PC.小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至厶QAB(如图①)；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．(2)类比迁移如图②，OO的半径为3,点A,B在OO上,C为OO内一点，AB=AC,AB丄AC，垂足为A,求OC的最小值.(3)拓展延伸如图③，OO的半径为3,点A,B在OO上,C为OO内一点，AB=|AC,AB丄AC，垂足为A,则OC的最小值为.

L3【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是沢2-3；（3）-.【解析】试题分析：（1）将厶PAC绕着点A顺时针旋转90°至厶QAB（如图①），只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA,将厶OAC绕点O顺时针旋转90°至厶QAB，连接OB,OQ,在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题.作AQ丄OA,使得AQ=3OA,连接OQ,4BQ,OB.由△QAB-OAC，推出BQ=3OC，当BQ最小时，0C最小；试题解析：（1）将厶PAC绕着点A顺时针旋转90°至厶QAB（如图①）；TBC是直径，二ZBAC=90°,TAB=AC,•••ZACB=ZABC=45°,由旋转可得/QBA=ZPCA,ZACB=ZAPB=45°,PC=QB,TZPCA+ZPBA=180°,•••ZQBA+ZPBA=180°,二Q,B,P三点共线,ZQAB+ZBAP=ZBAP+ZPAC=90°,QP2=AP2+AQ2=2AP2,二QP=\，；-AP=QB+BP=PC+PB,.•.迈AP=PC+PB.（2）如图②中，连接OA,将厶OAC绕点A顺时针旋转90°至厶QAB，连接OB,OQ,TAB丄AC,.ZBAC=90°,

由旋转可得QB=OC,AQ=OA,ZQAB=ZOAC,AZQAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°,•••在RtAOAQ中，OQ=3*；2,AO=3,A在厶OQB中，BQ>OQ-OB=3p2-3,即OC最小值是3J2-3；连接OQ，连接OQ，BQ，OB．(3)如图③中，作AQ丄0A,使得AQ=3OA,ABAB4—9AC3•••ZQAO=ZBAC=90°,ZQAB=ZOAC,VQAOA4△QAB~OAC,•BQ=—°C,当BQ最小时，OC最小，易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ>OQ-OB,•OQ>2,]BQ的最小值为2,33•OC的最小值为一X2=,423故答案为2•【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.6.如图1,已知OO是AADB的外接圆，ZADB的平分线DC交AB于点M,交OO于点C,连接AC,BC.求证：AC=BC；如图2,在图1的基础上做OO的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作OO的切线AH,若AH//BC，求ZACF的度数；在(2)的条件下，若AABD的面积为6€—,AABD与AABC的面积比为2：9,求CD的长.

HAAC；cooEDDB02【答案】HAAC；cooEDDB02【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)2^33【解析】分析：(1)运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；连接AO并延长交BC于丨交OO于J,由AH是OO的切线且AHIIBC得AI丄BC,易证ZIAC=30°,故可得ZABC=60°=ZF=ZACB，由CF是直径可得/ACF的度数；过点D作DG丄AB,连接AO,知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtAAEO中，求出AO的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：(1)TDC平分ZADB，ZADC=ZBDC，二AC=BC.(2)如图，连接AO并延长交BC于I交O0于JTAH是O0的切线且AHIIBC，AI丄BC，.BI=IC，TAC=BC，•IC1.IC=2AC，.ZIAC=30°，.ZABC=60°=ZF=ZACB.TFC是直径，.ZFAC=90°，ZACF=180°-90°-60°=30°.(3)过点D作DG丄AB，连接AO由(1)(2)知ABC为等边三角形TZACF=30°,.AB丄CF,.AE=BE，.S二二AB2二27订3,AABC4.AB=6、：3,.AE二3运.在RtAAEO中，设EO=x，则A0=2x,AO2=AAO2=A2.x=6,OO的半径为6,.CF=12.tS=ABxDGx—=6\:3xDGx—=6、Q3,aabd22.DG=2.如图，过点D作DG丄CF，连接OD.TAB丄CF,DG丄AB，.CF//DG，•••四边形GZDGE为矩形，.GE=2,CG'=GE+CE=6+3+2=11,在RtAOGD中，OG'=5,OD=6,DG'=<11,CD=JDGS+CG‘2=、+112=2®点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念垂径定理勾股定理圆周角定理等

相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.7.如图，已知AB是OO的直径，P是BA延长线上一点，PC切OO于点C,CD丄AB,垂足为D足为D．求证：ZPCA=ZABC；过点A作AEIIPC交OO于点E,交CD于点F,交BC于点M,若ZCAB=2ZB,CF=〔3，求阴影部分的面积.答案】(1)详见解析；【解析】【分析】如图，连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得ZPCA=ZOCB,利用等量代换可得ZPCA=ZABC.(2)先求出△OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出e、S扇形boeSAABM的值，利用S二S二S+S-S阴影部分AA0E扇形BOEAABM【详解】然后通过计算即可解答.解：(解：(1)证明：连接OC,如图,•••PC切OO于点C,OC丄PC,ZPCA+ZACO=90°,TAB是OO的直径，.ZACB=ZACO+OCB=9O°.ZPCA=ZOCB,TOC=OB,.ZOBC=ZOCB,.ZPCA=ZABC；(2)连接OE，如图,

•••△•••△ACB中，ZACB=90,ZCAB=2ZB,.\ZB=30,ZCAB=60,・・・A0CA是等边三角形,•••CD丄AB,AZACD+ZCAD=ZCAD+ZABC=90,/ACD=/B=30,PCIIAE,A/PCA=/CAE=30,・FC二FA,同理，CF=FM,・・・AM=2CF=2*3,RtAACM中，易得AC==3=OC,2/B=/CAE=30,・/AOC=/COE=60,/EOB=60,・/EAB=/ABC=30,・MA=MB,OA=OB,・・M0IAB,AMO=OAxtan30二,△CDO©△EDO(AAS),AEG=CD=ACxsin60=-<32AS1ABMOABM2同样，易求SAOE9爲~T~S同样，易求SAOE9爲~T~S扇形BOE60323360~2・SSS阴影部分AOE扇形BOESABM42点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.8.如图，四边形ABCD内接于⑥O,/BAD=90°AD、BC的延长线交于点F,点E在CF44上，且/DEC=ZBAC.求证：DE是OO的切线；当AB=AC时，若CE=2,EF=3，求OO的半径.【答案】(1)证明见解析；(2)主5.4【解析】【分析】先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD丄DE,即可得出结论；根据余角的性质和等腰三角形的性质得到/F=ZEDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CDDE2-CE2=、百，证明△CDE-△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)如图，连接BD．TZBAD=90°，.•.点O必在BD上，即：BD是直径，二ZBCD=90°，二ZDEC+ZCDE=90°.TZDEC=ZBAC，.ZBAC+ZCDE=90°.TZBAC=ZBDC，.ZBDC+ZCDE=90°，.ZBDE=90°,即：BD丄DE.T点D在OO上，.DE是OO的切线；(2)TZBAF=ZBDE=90°，.ZF+ZABC=ZFDE+ZADB=90°．TAB=AC，.ZABC=ZACB．TZADB=ZACB，.ZF=ZFDE，.DE=EF=3．TCE=2,ZBCD=90°，.ZDCE=90°，.CD=加左2—CE2=、怎.TZBDE=90°，CD丄BE,.ZDCE=ZBDE=90°.TZDEC=ZBED,.△CDE-△DBE,.=,.BD=11^1二.OO的半CEDE22【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE=EF是解答本题的关键．9.如图，点A,B,C,D,E在OO上，AB丄CB于点B,tanD=3,BC=2,H为CE延长线上一点，且AH=\；T0,CH=5迈.（1）求证：ah是OO的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F,求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）J10-迈【解析】【分析】（1）连接AC,由AB丄CB可知AC是OO的直径，由圆周角定理可得ZC=ZD,于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt^ABC中，由勾股定理得：AC2=40,从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC丄AH,问题得证；（2）连接DE、BE,由弦切角定理可知/ABD=ZHAD,由D是CE的中点，可得ZCED=ZEBD,再由圆周角定理可得ZABE=ZADE，结合三角形的外角即可证明ZHAF=ZAFH，从而可证得ah=hf；（3）由切割线定理可得EH=J2，由（2）可知AF=FH=7T0，从而可得EF=FH-EH=jI0-【详解】（1）如图1所示：连接AC.•:AB丄CB,•••AC是OO的直径，ZC=ZD,/.tanC=3,/.AB=3BC=3x2=6,在Rt^ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40,又:AH2=10,CH2=50,•••AC2+AH2=CH2,•••△ACH为直角三角形，AC丄AH,AH是圆O的切线；(2)如图2所示：连接DE、BE,TAH是圆O的切线,ZABD=ZHAD,TD是CE的中点,CDED,ZCED=ZEBD,又:ZABE=ZADE,ZABE+ZEBD=ZADE+ZCED,Z