一文搞定最值系列之“瓜豆原理”

瓜豆原理原理概述俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”：平面内，动点）随着动点P的运动而运动，我们把点P叫做主动点，点Q叫做从动点；当这两个动点与某个定点连线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同瓜豆问题的本质是旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有：（1）确定动点轨迹；（2）求运动路程；（3）求线段最值、面积最值等.基本模型一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分）图1图2如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，连接OP，若Q为直线OP上一点（一般在线段OP上），且Q点到O点的距离与P点到O点的距离之比为定值k（k>0且k/1），即愣=k，此时我们可认为Q、P两点与定点O连线的夹角一定（夹角为0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；如图2,另取一组对应的点P’、Q’，则豫=°Q=k，因而△OQ’Qs^OP'P，相似比为k，可知从动OP'OP点Q在平行于l的直线m上运动.易判断点O到直线m和l的距离之比也等于k.2.图1图2

如图1,已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，将射线OP绕着点O按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度d（0<a<180°），得到射线OM，在射线OM上取一点Q，使算=k（k为大于0的定值），此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；如图2,另取一组对应的点P’、Q’，则Q点的运动轨迹即为直线QQ'，・「NPOQ=NP'OQ’=a，.・.NPOP'=ZQOQ'，又.「O=妲=k，OPOP'.•.△OPP’s^OQQ’.特别的，当k=1时，△OPP'gAOQQ'.k/1时，左。。。'可看做由△OPP’绕着O点旋转并放缩（0<k<1时缩小，k>1时放大）而来.直线QQ'可看做由直线l绕着点O顺时针旋转a角而来，0<a<90。时，两直线的夹角即为2.图1图2典型例题1-1如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B为y轴正半轴上一动点，以AB为一边向下作等边^ABC，连接OC，则线段OC的最小值为.B【分析】B为主动点，C为从动点；r方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关O.4；的线段最值，将线段OA绕着点A顺时针旋转60°，得到线V/段O'A，构造全等三角形可实现线段的转化；C方法二：两动点与定点A连线的夹角为定值（60°），到点A的距离之比为定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B的轨迹为射线，则从动点C的轨迹也为射线，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC得最小值.【解答】方法一：如图1，将线段OA绕着点A顺时针旋转60°，得到线段O'A；连接O'B，易证△AO'B^^AOC，则OC=O'B，即求O'B的最小值；由于O'为定点，点B在y轴正半轴上运动，如图2，由垂线段最短，知O'B±y轴时，O'B最小，连接OO'，贝2图1图2△AOO'为等边三角形，作O'H±OA于H，此时O'B=OH=iOA=2，即OC2图1图2方法二：如图3,当点B位于原点时，对应的点C位于C1（2,-2*3）

2.两种方法中，均有两个等边三角形构成“共点旋转（手拉手）”模型，会伴随产生一组全2.两种方法中，均有两个等边三角形构成“共点旋转（手拉手）”模型，会伴随产生一组全等三角形;方法二中，由于从动点的轨迹为射线，因而先确定其端点，再找一组特殊位置的主动点和从动点（目的是便于计算），即可确定从动点的轨迹；严格来说，y轴的正半轴不包括原点，因此C点的轨迹不包括点C1.运用相似比计算该线段长.运用相似比计算该线段长.【解答】如图1，连接BF、BD和DF，由正方形的性质知da=df二克，图1ZBDA=ZFDE=45°，则ZADE=ZBDF，AADAE^ADBF，ABF^;2AE，当E点位于A点处时，F点位于B点处，当E点位于B点处时，F点的位置如图2,则F点的运动轨迹即为图2中的线段BF，BF=（2AB=4，

即点F经过的路径长为4板2.【小结】1.图1中，ADAB与^DEF构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形（△DAE和^DBD）；2.瓜豆题型的突破口在于找到从动点、主动点和某定点之间的“定角、定比”关系变式训练1-1如图，AABC为等边三角形，AB=4，AD为高，E为直线AD上一动点，连接CE并以CE为边向下作等边^CEF，连接DF；则点E在运动的过程中，线段DF的最小值为.变式训练1-2（原创）如图，在△ABC中，匕A=105°，ZABC=30°，AC=r'2，动点D从A点出发，沿着AC边向终点C作无折返运动，以BD为边向上作^BDE，使ZBDE=ZA，且ZE=45°，则点D运动的整个过程中，点E运动的路径长为；F为直线CE上一动点，连接BF，则线段BF的最小值为.变式训练1-3（多种方法）如图，已知AB=12，点C在线段AB上，且AC=4，以AC为一边向上作等边△ACD，再以CD为直角边向右作Rt^DCE，使ZDCE=90°，F为斜边DE的中点，连接DF，随着CE边长的变化，BF长也在改变，则BF长的最小值为.~C二、种曲线得曲线（主动点与从动点的轨迹都是双曲线或双曲线一部分）其原理与模型一类似，不再赘述，直接看例题：典型例题2-1如图，点A是双曲线y=4在第一象限上的一动点，连接AO并延长，交双曲线的另一支于点B,以AB为斜边作等腰RtAABC,点C落在第二象限内，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在同一函数图像上，则该函数解析式为.【分析】A为主动点，C为从动点；方法一：根据点C坐标判断，连接CO过点C向x轴作垂线段，构建“三垂直”模型，设点A坐标，表示出点C坐标，观察其坐标符合的函数解析式；方法二：根据反比例函数k的几何意义判断；TOC\o"1-5"\h\z方法三：动点A、C与定点O符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，因而点C的轨迹是双曲线的一支，任意的点C均可看做对应的点A绕着点O逆时针旋转90°而来，因而点C的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O逆时针旋转得到..【解答】方法一：连接OC，作CD±x轴于点D，AE±x轴于点E，「[由双曲线的对称性知OA=OB，又•「△ABC为等腰直角三角形，..・心CO±OA，CO=OA，则易证△COD^^OAE，设A(a,#)，则C(-#,—■'―a)，易判断点C在反比例函数y=-4(x<0)上，故答案为：\xy=--4(x<0).x方法二：辅助线同方法一，由反比例函数k的几何意义知S^OE=SAC0D=2，易判断点C在反比例函数y=-4(x<0)上.x方法三：点C的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O逆时针旋转得到，因而新反比例函数的k与原函数k互为相反数，故点C在反比例函数y=-4(x<0)上.x变式训练2-1如图，Rt^ABO中，且AO：BO=1：.五，变式训练2-1如图，Rt^ABO中，且AO：BO=1：.五，B(x，y)的坐标x，图1图2如图1，已知点P为。M上一动点，O为定点（一般在圆外），Q为直线OP上一点（一般在线段OP上）,若国=k（k>0且k/1）,则主动点P、从动点Q与定点O符合“定角（0°）、OP定比”特征，因而Q点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2,连接MP、MO,作QN〃PM，交MO于点网则^OQNs^OPM，从而有瓮=器=M=k，由于M、O为定点，k为定值，「.N为定点，设。M半径为R，0N半径为r，・「NQ=kMP=kR,.・・NQ长为定值，由圆的定义知，点Q在以N为圆心，kR长为半径的圆上运动，即Q点的轨迹是以N为圆心，kR长为半径的圆.如图1，已知点P为。M上一动点，O为定点（一般在圆外），将射线OP绕着点O按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度a（0<a<180°），得到射线OT，在射线OT上有一点Q，满足0Q=k（k为大于0的常数），则主动点P、从动点Q与定点O符合“定角、定OP

比”的特征，因而Q点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2,连接MP、MO,OM将射线OM绕点O顺时针旋转a角，得到射线OS，在射线OS上取一点N，使砰=k,则N为PMOP定点，易证△OQNsOPM，则砰O=k，「・QN=kPM=kR，则QN为定值，由圆的定义知，点Q在以N为圆心，kR长为半径的圆上运动，即Q点的轨迹是以N为圆心，kR长为半径的圆.特别的，当k=1时，△OQNSOPM，ON和0M为等圆，0N可看做由。M绕着点O顺时针旋转a角而来；当k/1时，ON可看做由OM绕点O顺时针旋转a角，且半径放缩k倍（OVkVl时缩小，k>1OMPMOP典型例题3-1如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆TOC\o"1-5"\h\z心4为半径的圆上一动点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的/\最大值为.IK1【分析】方法一：关联三角形法，取AB的中点E，连接EC、EM和AD，\\放到△CEM中求解CM的范围，三点共线时取最大值；方法二：辅助圆法，从动点相关的线段优先转化为主动点相关的线段，V将线段BC加倍延长，借助中位线构造出2CM，即求2CM的最大值；方法三：符合瓜豆原理基本模型，确定从动点M的轨迹圆，进而求CM——的最大值.【解答】方法一：如图1，取AB的中点E，连接EC、EM和AD，・「M为BD的中点，「・EM为△BAD的中位线，..・EM=iAD=2；VZACB=90°，ACE=+AB=5,CMWCE+EM，即CMW7，当且仅当C、E、M共线时（如图2），CM取得最大值7.图1图2图1图2方法二：如图3，延长BC至点F，使CF=BC，则F为定点，连接DF，则CM^△BDF的中位线，.・・FD=2CM，当FD最大时，CM最大；如图4，连接FA并延长，与OA交于点D，此时FD最大，易知AF=AB=1O，则此时FD=14，对应CM的最大值即为7.

方法三：主动点D、从动点M与定点B符合“定角（0°）、定比”特征，因而点M的轨迹为圆；如图5,连接AD，・却为BD的中点，.•.取AB得中点E,连接EM,可知E为定点且EM二+AD=2，根据圆的定义知，点M的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆；如图6,・「C为。E外一定点，..•连接CE并延长，与。E交于点M，此时CM最大，此时CM=CE+EM=7.图5图6图5图6【小结】以上方法中，辅助线均有一举多得之妙，我们可总结出一些常见的辅助线作法：①出现直角三角形：常作斜边的中线；②出现直角三角形：常倍长直角边，构造等腰三角形；③出现线段中点：常取另一线段的中点，构造中位线；④出现线段中点：常倍长另一线段，构造中位线.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"典型例题3-2I（改编）如图，AABC中，AB=3,AC=2，以BC为斜边作等腰RtABCD（与^ABC分布在直线BC的两侧），连接AD，则线段AD的最大值为.'【分析】方法一：.「△BCD为等腰直角三角形，...以AB为斜宣7边向下作等腰直角三角形，与△BCD构成“共点旋转（手拉手）”\/模型，伴随产生一组相似三角形，用“关联三角形”法求出\/AD的最大值.方法二：不妨固定AB边，则主动点C在以A为圆心，2为半丫径的一段圆弧上运动，它与从动点D、定点B符合“定角、'定比”特征，借助模型确定D点的轨迹圆弧，求出AD的最大值.【解答】方法一:如图1，以AB为斜边向下作等腰Rt^BAE，连接DE，^^BAEs^BCD，从而易证△BACs^BED，.dc=be=士，.・.DE=*=r2，又AE=孝=飞，「・ADWAE+DE，即ADW云，如图2，当且仅当A、E、D三点共线时，AD取得最大值，最大值为盘.

图1图2方法二：如图3,假定AB边固定，则主动点C在半圆（不包括端点G、H）上运动，从动点D可看作由主动点C绕着点B顺时—针旋转45°，且到点B的距离缩至号倍而来，则将主动圆心A按照相同的操作可得到从动圆心F，从动圆的半径缩小至主r.动圆半径的号（即构造△bdfs^bca，与构造“手拉手”模型本质相同），D点在如图所示的半圆（不包括端点I、J）上W」运动，A为。F外一定点，...当A、F、D共线时，AD最大，最大值为AF+DF=云.图3【小结】1.方法一与方法二实质相同，只是方法二多了确定主动点轨迹、从动点轨迹的过程;由图2可知，当AD取得最大值时，匕BAC=ZBDE=90°，ZBAD=ZCAD=45°，因而可以变换多种问法，如当AD取得最大值时，求ZBAD.ZBAC的大小，求BC长、BD长等；本题可稍稍加大难度，将“求AD得最大值”改为“求△ABD面积的最大值”（答案为4，4方法见视频讲解）；许多同学误将主动点和从动点的轨迹判断为完整的圆，虽不影响结论，但不够严谨共点旋转与瓜豆可谓形影相伴模型，很多题往往用两种方法均可解答；0，□XB变式训练3-1如图，一次函数y=2x与反比例函数y=弁（k>0）的图象交于A，尤0，□XBB两点，点P在以C（-2,0）为圆心，1为半径的OC上，连接AP，Q是AP的中点，连接OQ，已知OQ长的最大值为3，则k的值为2'BQ的最大值为.变式训练3-2（原创）如图，在平面直角坐标系中，圆心在x轴正半轴上的。M交x轴的负半轴于点A（-1,0），交y轴正半轴于点B（0，<3），交y轴负半轴于点C，动点P从点B出发，沿着。M顺时针向终点C做无折返运动，D（-2,0），在点P运动过程中，连接DP，Q为线段DP上一点且始终满足PQ=2DQ，则在整个运动过程中，点Q经过的路径长为;线段DQ扫过的区域面积为.

变式训练3-3（原创）如图，在平面直角坐标系中,A（2,0）,B（-1,0）,以OA为直径的圆上有两个动点C、D，连接BC，并以BC为直角边向逆时针方向作RtABCE,使匕CBE=90°,ZBEC=30。，连接CD、ED和BD，则C、D两点的位置在变化的过程中，△BCE面积的最大值与最小值之差为;线段DE的最小值为；当ZEBD最大时，线段BE和CD的数量关系是.中考真题如图，点入是双曲线y=-&在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于尤点B，以AB为底作等腰^ABC，且ZACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y二七上运动，则k的值为（）尤A.1B.2C.3D.42•如图，抛物线y=『-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（）

TOC\o"1-5"\h\zA.3B.C.号D.4如图，在矩形ABCD中，AB=4,ZDCA=30。，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF,以DF为斜边作ZDFE=30。的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是.DC如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=2\&，如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=2\&，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿着半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长为如图，在矩形ABCD中，AB=_.&AD=3,点P是AD边上的一个动点，连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q,当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为.APD如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边^EFG，连接CG，则CG的最小值为.AD如图，正方形ABCD中，AB=2'%，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90。得DF，连接AE，CF.(备用图)求证:AE=CF；若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长.(备用图)求线段OF长的最小值.

参考答案变式训练1-11.变式训练1-2,2广6；2•2I'6.22变式训练1-36.变式训练2-1y=-:.变式训练3-1I羽，2T45I5.变式训练3-28#9'3I8n.TOC\o"1-5"\h\z9；27变式训练3-34p3；3-73；BEf'3CD.中考真题BC23