2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)

2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)xxx公司2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）2．（5分）若集合M＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x∈Z|log5（x+1）≤1}，则M∩N＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2}3．（5分）是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法不正确的是（）A．这10天中有3天空气质量为一级 B．从6日到9日日均值逐渐降低 C．这10天中日均值的中位数是55 D．这10天中日均值最高的是12月6日4．（5分）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺5．（5分）设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊊α，b⊊β，α∥β，则a∥b C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β6．（5分）函数y＝x﹣πsinx的大致图象是（）A． B． C． D．7．（5分）已知G是△ABC的重心，若，则x+y＝（）A．﹣1 B．1 C． D．8．（5分）双曲线的渐近线与抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．29．（5分）已知二项式展开式中含x6项的系数为60，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）已知a，b，c分别是方程的实数解，则（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a11．（5分）△ABC中，，将△ABC沿BC上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为（）A．π B． C．3π D．2π12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），任意x∈（0，π），有f'（x）sinx＞f（x）cosx，且f（x）+f（﹣x）＝0，设，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）椭圆的焦距为2，则a＝．14．（5分）已知a，b∈R+，且a+b＝1，则的最小值为．15．（5分）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当a＜b且b＞c时称为“凸函数”．现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为．16．（5分）已知等比数列{an}的各项都为正数，满足a1＝2，a7＝4a5，设bn＝log2a1+log2a2+…+log2an，则数列的前2019项和S2019．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，共线．（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的面积为，求b+c的最小值．18．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：类型浮动因素浮动比率A1上一年度未发生有责任的道路交通事故下浮10%A2上两年度未发生有责任的道路交通事故下浮20%A3上三年度未发生有责任的道路交通事故下浮30%A4上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%A6上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故上浮30%据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：类型A1A2A3A4A5A6数量40101020155以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；（2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是CC1的中点（1）求证：平面A1DB⊥平面ABB1A1；（2）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求平面A1DB与平面ABC夹角的余弦值．20．（12分）设定点F（0，1），动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切．（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（a∈R）．（1）当a≥1时，求证：f（x）≥0；（2）讨论函数f（x）零点的个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设过点P（1，0）且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于两点A，B，求的值．[选修4-：5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣m（x∈R），且f（x+2）≤0的解集为[﹣1，1]．（1）求实数m的值；（2）设a，b，c∈R+，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．

2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：z＝＝＝1﹣i，故复数z＝（i是虚数单位）在复平面内对应的点是（1，﹣1），故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．（5分）若集合M＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x∈Z|log5（x+1）≤1}，则M∩N＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出集合N的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．【解答】解：由log5（x+1）≤1得0＜x+1≤5，得﹣1＜x≤4，即N＝{0，1，2，3，4}，则M∩N＝{0，1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法不正确的是（）A．这10天中有3天空气质量为一级 B．从6日到9日日均值逐渐降低 C．这10天中日均值的中位数是55 D．这10天中日均值最高的是12月6日【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由图可知，第1，3，4这三天的空气质量为一级，【解答】解：在35μg/m3以下的有3天（第一天，第三天，第四天）故A正确这10天中日均值从小到大排序为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80．中位数为＝43．所以C不正确．故选：C．【点评】本题考查了频率分布折线图，密度曲线，属基础题．4．（5分）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】设此等差数列{an}的公差为d，由已知可得a1+a4+a7＝3a1+9d＝，a1+11d＝，联立解得：d，a1．【解答】解：设此等差数列{an}的公差为d，则a1+a4+a7＝3a1+9d＝，a1+11d＝，解得：d＝﹣1，a1＝．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊊α，b⊊β，α∥β，则a∥b C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交或平行；在C中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，得：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊊α，b⊊α，α∥β，则a与b相交或平行，故B错误；在C中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．（5分）函数y＝x﹣πsinx的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的对称性以及利用极限思想进行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x+πsinx＝﹣（x﹣πsinx）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，利用排除法是解决本题的关键．7．（5分）已知G是△ABC的重心，若，则x+y＝（）A．﹣1 B．1 C． D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】本题可根据三角形的重心的定义和向量的线性运算进行解决．【解答】解：由题意，画图如下：由重心的定义，可知：＝，∴＝＝．∴x+y＝．故选：C．【点评】本题主要考查三角形重心的定义以及向量的线性运算，本题属基础题．8．（5分）双曲线的渐近线与抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．2【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意可得点A（，p）在y＝x上，即可求出b＝2a，再根据c＝＝a，即可求出离心率【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，由抛物线C2的焦点为（，0），当x＝时，y＝±p，∵点A（，p）在y＝x上，∴p＝•，即b＝2a，∴c＝＝a，∴e＝＝，故选：B．【点评】本题考抛物线和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，离心率的求法，属于基础题和易错题9．（5分）已知二项式展开式中含x6项的系数为60，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得含x6项的系数，再根据含x6项的系数等于60，求得实数a的值．【解答】解：∵二项式展开式中的通项公式为Tr+1＝•（﹣a）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得含x6项的系数为•a2＝60，则实数a＝2，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．（5分）已知a，b，c分别是方程的实数解，则（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由指数函数，对数函数的定义域，值域可列出不等式，再逐一解不等式即可得解．【解答】解：由2a＝﹣a＞0，得a＜0，由log2b＝﹣b＜0，得0＜b＜1，由log2c＝＞0，得c＞1，综上可知：a＜b＜c，故选：B．【点评】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法，属中档题．11．（5分）△ABC中，，将△ABC沿BC上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为（）A．π B． C．3π D．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥B﹣ACD补形为正方体求解．【解答】解：如图，∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝2，则BD＝DC＝AD＝1，由题意，AD⊥底面BDC，又二面角B﹣AD﹣C为直二面角，∴BD⊥DC，把三棱锥B﹣ACD补形为正方体，则正方体的对角线长为，则三棱锥B﹣ACD外接球的半径为，则表面积为S＝．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，是中档题．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），任意x∈（0，π），有f'（x）sinx＞f（x）cosx，且f（x）+f（﹣x）＝0，设，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4M：构造法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，令g（x）＝，x∈（0，π），对其求导分析可得g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，再判断a、b、c的大小．【解答】解：根据题意，令g（x）＝，x∈（0，π），则其导数g′（x）＝，又x∈（0，π），且恒有f'（x）sinx＞f（x）cosx，所以g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，π）上单调递增，又f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）为奇函数；且＜＜，所以g（）＜g（）＜g（），即＜＜，2f（）＜f（）＜f（），所以2f（）＜f（）＜﹣f（﹣），即a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数g（x）＝，并借助导数分析其单调性二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）椭圆的焦距为2，则a＝2．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆方程求得长半轴与短半轴长，结合焦距及隐含条件即可求得a值．【解答】解：椭圆的长半轴长为，短半轴长为1，又焦距为2，即c＝1，则有a＝12+12＝2．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题．14．（5分）已知a，b∈R+，且a+b＝1，则的最小值为9．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】+＝（+）（a+b），展开后使用基本不等式可求最小值．【解答】解：∵a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝5+≥5＝9，当且仅当时取等号，由解得a＝，b＝，∴+的最小值为9，故答案为：9．【点评】该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．15．（5分）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当a＜b且b＞c时称为“凸函数”．现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n＝＝24，它为“凸数”包含的基本事件有8个，由此能求出它为“凸数”的概率．【解答】解：现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，基本事件总数n＝＝24，它为“凸数”包含的基本事件有8个，分别为：（1，3，2），（2，3，1），（1，4，2），（2，4，1），（1，4，3），（3，4，1），（2，4，3），（3，4，2），则它为“凸数”的概率为p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知等比数列{an}的各项都为正数，满足a1＝2，a7＝4a5，设bn＝log2a1+log2a2+…+log2an，则数列的前2019项和S2019．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，根据a1＝2，a7＝4a5，可得q2＝4，解得q．利用通项公式、对数运算性质可得bn，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1＝2，a7＝4a5，∴q2＝4，解得q＝2．∴an＝2n，log2an＝n．∴bn＝log2a1+log2a2+…+log2an＝1+2+……+（n﹣1）+n＝．∴＝2．则数列的前2019项和S2019＝2（1﹣+……+）＝2＝．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，共线．（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的面积为，求b+c的最小值．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；HT：三角形中的几何计算．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）根据向量的共线可得2cosBcosC+1﹣2sinBsinC＝0，根据两角和余弦公式和诱导公式即可求出∠A的大小，（2）根据三角形的面积求出bc＝4，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）∵向量，共线，∴2cosBcosC+1﹣2sinBsinC＝0，∴cos（B+C）＝﹣，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝．（2）∵△ABC的面积为，∴bcsinA＝，∴bc＝4，∴b+c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时取等号，故b+c的最小值为4．【点评】本题考查了向量的共线，三角形函数的化简，三角形的面积，基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．18．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：类型浮动因素浮动比率A1上一年度未发生有责任的道路交通事故下浮10%A2上两年度未发生有责任的道路交通事故下浮20%A3上三年度未发生有责任的道路交通事故下浮30%A4上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%A6上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故上浮30%据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：类型A1A2A3A4A5A6数量40101020155以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；（2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）由题意能估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率．（2）ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×（1﹣30%）＝665，950（1﹣20%）＝760，950×（1﹣10%）＝855，950，950（1+10%）＝1045，950（1+30%）＝1235，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由题意估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率：p＝＝．（2）ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×（1﹣30%）＝665，950（1﹣20%）＝760，950×（1﹣10%）＝855，950，950（1+10%）＝1045，950（1+30%）＝1235，P（ξ＝665）＝＝，P（ξ＝760）＝＝，P（ξ＝855）＝＝，P（ξ＝950）＝＝，P（ξ＝1045）＝＝，P（ξ＝1235）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ66576085595010451235PE（ξ）＝665×+760×+855×+950×+1045×+1235×＝893．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是CC1的中点（1）求证：平面A1DB⊥平面ABB1A1；（2）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求平面A1DB与平面ABC夹角的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，从而C1D⊥平面ABB1A1，由此能证明平面C1DB⊥平面ABB1A1．（2）由异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，推导出AC＝BC＝CC1，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面C1DB与平面ABC夹角的余弦值．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是CC1的中点，∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∴C1D⊂平面C1DB，∴平面C1DB⊥平面ABB1A1．解：（2）∵异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，BC1＝AC1，∴AC＝BC＝CC1，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AC＝BC＝CC1＝1，则A1（1，0，1），B1（0，1，1），D（，1），B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），＝（0，﹣1，1），＝（，1），＝（﹣1，1，0），＝（0，0，1），设平面C1DB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣1，1，1），平面ABC的法向量＝（0，0，1），设平面C1DB与平面ABC夹角为θ，则cosθ＝＝，∴平面C1DB与平面ABC夹角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）设定点F（0，1），动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切．（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线．【考点】J3：轨迹方程．【专题】14：证明题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】（1）设出E点坐标，根据圆心到x轴的距离等于圆的半径，列式，化简可得．（2）设出A，B两点坐标，证明kAB＝kAF即可说明A，B，F三点共线．【解答】解：（1）设E点坐标为（x，y），则EF中点为圆心，设为P．则P点坐标为：（，）．∴P到x轴的距离等于，即||＝，化简得：x2＝4y．∴E点轨迹C的方程为：x2＝4y．（2）由（1）知，曲线C为以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝，设A，B两点的坐标分别为（），（），∵曲线方程为y＝，∴y′＝，∴曲线在A，B处切线斜率分别为k1＝，，∴k1k2＝﹣1，∴＝﹣1，∴，∴AB两点连线的斜率为：kAB＝＝﹣，AF两点连线的斜率为：kAF＝＝﹣＝kAB，∴A，B，F三点共线．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、曲线方程的求法、三点共线的证明等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（a∈R）．（1）当a≥1时，求证：f（x）≥0；（2）讨论函数f（x）零点的个数．【考点】52：函数零点的判定定理；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）a≥1时，f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（x＞0），f（1）＝a﹣1．f′（x）＝2ax﹣＝，利用导数研究其单调性即可得出．（2）f′（x）＝2ax﹣，（x＞0）．对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】（1）证明：a≥1时，f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（x＞0），f（1）＝a﹣1．f′（x）＝2ax﹣＝，得：x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）≥f