2022-2023学年九年级数学上学期期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练

期末高分必刷专题《一元二次方程与二次函数》强化训练1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x-y2=1 B．x2．用配方法解一元二次方程x2A．x-922=53．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（）A．-1 B．3 C．-1或3 D．-34．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m＞14 B．m＜14 C．m≥15．下列关于一元二次方程3xA．有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根6．已知4是关于x的方程x2-m+1x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰A．7 B．7或10 C．10或11 D．117．若实数a、ba≠0满足bA．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根C．无实数根 D．两个实数根8．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n-m+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：-3☆2=(-3)2×2-(-3)+2=23．根据以上知识请判断方程：x☆2=0的根的情况（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根9．若α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A．2015 B．2013 C．﹣2015 D．403010．已知x1，x2是一元二次方程x2A．-27 B．27 C．11．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到49万元．设平均月增长率为x，根据题意可列方程是（）A．25(1+x%)2=49 B．25(1+x)2=49C．25(1+x2)=49 D．25(1-x)2=4912．某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（）A．15 B．18 C．21 D．3513．某商场销售一种新文具，进价为20元/件，市场调查发现，每件售价35元，每天可销售此文具250件，在此基础上，若销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件，针对这种文具的销售情况，若销售单价定为x元时，每天可获得4000元的销售利润，则x应满足的方程为（）A．(x-35)[250C．(x-20)[25014．下列关系式中,属于二次函数的是A．y=18x2 B．y=15．若函数y=3A．3 B．-3 C．±16．下列二次函数中，图像的开口向上的是（）A． B．C． D．17．抛物线y=-A． B．(1,4) C．(1,-4) D．18．抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，4） B．（1，4） C．（0，5） D．（4，0）19．已知二次函数y=-A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是1,3C．当x<1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点20．已知关于x的二次函数的图像与x轴总有交点，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣4且m≠﹣3 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣421．在平面直角坐标系xoy中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为()A． B．y=2(x+3)C．y=2(x-322．若A（-134，y1），B（-54，y2），C（14，y3）为二次函数A．y1<y2<y23．已知二次函数y=-x2A．有最大值6，有最小值-3 B．有最大值5，有最小值-3C．有最大值6，有最小值5 D．有最大值6，有最小值-124．函数．当x=1与x=2018时，函数值相等，则当x=2019时，函数值等于（）A．－3 B．-32 C．25．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（）A．125cm2 B．225cm2 C．200cm2 D．250cm226．二次函数y=axA．a>0 B．b>0 C．c>0 D．b2-4ac>027．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=-1，且过点-3,0，说法：①abc<0；②2a-b=0；③a+c<0；A．1 B．2 C．3 D．428．已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，给出以下结论：①abc<0；②当x=-1时，函数有最大值；③方程ax²+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3；④4a+2b+c>0，⑤2a-b=0，其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．429．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2A． B． C． D．30．如图，已知△ABC中，是BC边上一个动点，过点P作PD⊥BC，交△ABC其他边于点D．若设PD为x，△BPD的面积为y，则A． B． C． D．二、解答题1．（2021·山东安丘·九年级期末）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．2．（2021·广东郁南·九年级期末）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．3．（2021·河北卢龙·九年级期末）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？4．（2021·山东郓城·九年级期末）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．5．（2021·河北曲阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．判断点是否在直线上．并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．6．（2021·海南海口·九年级期末）如图，已知二次函数的图象经过，两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．7．（2021·山东禹城·九年级期末）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．8．（2021·广西玉林·九年级期末）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．D符合一元二次方程定义的是，故选：D.2．A∵，∴，则，即，故选：A.3．B由题意，得且，

∴且，

∴．

解得．

故选：B．4．C∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴≥0，解得：m≥，故选：C．5．C解：∵△=22-4×1×3=-8＜0，

∴方程没有实数根．

故选：C．6．C解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，

解得m=6，

则原方程为x2-7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，

①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△ABC的周长为10或11．

故选C．7．A∵∴∆=4-4a×=4+，∵，∴ab>0，∴∆=4+>0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选A．8．C解：∵x☆2=0，

∴2x2-x+2=0，∵a=2，b=-1,，c=2，∴△=b²-4ac=1-16=-15<0，∴无实数根，故选C．9．B解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x2+2x﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B．10．A∵，是一元二次方程的两个实数根，∴+=2，=-1，∴=，故选：A.11．B解：依题意得七月份的利润为25（1+x）2，

∴25（1+x）2=49．

故选：B．12．C解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C．13．C由题意知：销售单价定为元，∵进价为20元/件，每件售价35元，每天可销售此文具250件，∴销售利润=（35-20）×250=3750＜4000∴销售利润为4000时，＞35，又∵销售单价每上涨1元，每天销售量将减少10件∴可得方程为．故选C．14．A根据二次函数的定义：，可判断出只有A符合二次函数的定义，故选：A．15．C由题意得：，解得，故选：C．16．B解：A.，开口方向向下；B.，开口方向向上；C.，开口方向向下；D.，开口方向向下．故答案为B．17．D解：顶点坐标为．故选：D．18．A把x＝0代入得y＝-（-1）2+5，即y＝4，∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，4）．故选：A．19．C解：，抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，令，则，解方程解得，，△，抛物线与轴有两个交点．故选：．20．B解：∵关于x的二次函数的图像与x轴总有交点，∴△===≥0解得：m≥﹣4又∵m+3≠0∴m≠-3∴实数m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3．故选B．21．D解：∵抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，∴所得到的抛物线的表达式为，故选：D．22．B解：∵∴该函数图像开口方向向上，对称轴为x=∵|-2|=，|-2|=3.25，|-2|=1.75，∴1.75＜3.25＜∴y3＜y2＜y1．故答案为B．23．A∵∴二次函数图像的对称轴为：∵，且∴当时，函数取最大值又∵在右侧，y随着x的增大而减小；在左侧，y随着x的增大而增大∴当时，当时，∵∴，二次函数取最小值-3故选：A．24．D解：∵当x=1与x=2018时，函数值相等，故该函数为二次函数，∴对称轴为：x=

∴x=2019与x=0的函数值相等，

∵当x=0时，y=3，

∴当x=2019时，y=3，

故选：D．25．B解：设矩形的长为xcm，则宽为cm，∴矩形的面积S＝()x＝−x2＋30x．∵a＝−1＜0，∴S最大＝＝＝225（cm2）．故矩形的最大面积是225cm2．故选：B．26．D解：由函数图象，可得：函数开口向下，则a＜0，对称轴在y轴左侧，则b＜0，图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac＞0，故错误的结论是A、B、C，正确的结论是D．故选：D．27．C解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线对称轴是直线，∴，则，故②正确，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴，∴，故①正确，∵当时，，且图象关于直线对称，∴当时，，即，∵，∴，故③正确，∵点离对称轴要比点离对称轴远，∴，故④错误．故选：C．28．C∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x==-1，∴b=2a<0，2a-b=0，故⑤正确，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc>0，所以①错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，函数有最大值，所以②正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，而对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−3，0)，∴当x=1或x=-3时，函数y的值都等于0，∴方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=-3，所以③正确；∵x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，所以④错误，综上，正确的有②③⑤故选：C．29．D解：解法一：逐项分析；A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数的图象可知，二次函数的对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，，，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，，，对称轴，这时二次函数图象的对称轴在轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选：D．30．C解：（1）当时，在中，，，，；，，函数图象开口向上；（2）当，同理证得；，；，函数图象开口向下；综上，答案的图象大致符合．故选：．二：解答题1解析：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵，方程的两实根为，，且，∴，，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．2解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是（万座）.答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为，由题意可得：，解得：，（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为．3解析：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品应降价x元，由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x＝60.即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.4：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，∴实数k的取值范围为k≤．（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k的值为﹣2．5【详解】（1）点在直线上，理由如下：将A（1，2）代入得，解得m=1，∴直线解析式为，将B（2，3）代入，式子成立，∴点在直线上；（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A，C两点，将A，C两点坐标代入得，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，∵顶点在直线上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．6（1）把，代入得，解得.∴这个二次函数解析式为.（2）∵抛物线对称轴为直线，∴的坐标为，∴，∴.7解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（