二次函数y=a(xh)2+k的图象性质课件

二次函数的图像与性质立新中学禚度娥二次函数的图像与性质立新中学禚度娥思考1例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²(5)y=-x(6)v=10πr²1x__x²1__例1：若函数为二次函数，则m的值为

。

思考1例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项探究新知你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x…-3-2-1012

3…y=x2……9411049新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！探究新知你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x23xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=4

议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？(3)函数有最大值和最小值吗？当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是5当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！当x<0(在对称轴的当x>0(在对称轴的当x=-2时，y6(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？

做一做(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…在学中做—在做中学新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？做一做(27做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2?新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-228观察这两个图像，看看有什么异同观察这两个图像，看看有什么异同9归纳y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x<0时（即在对称轴左侧）y随着x的增大而减小。当x>0时（即在对称轴左侧）y随着x的增大而增大。

当x<0时,（即在对称轴左侧）y随着x的增大而增大。当x>0时（即在对称轴左侧）y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.归纳y=ax2(a≠0)a>0a<0图开口方向顶点坐标对称做一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,在对称轴

侧,y随着x的增大而增大；在对称轴

侧,y随着x的增大而减小,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方(除顶点外).(0,0)y轴右左00上做一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是试一试：2、函数y=8x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

3、函数y=-3x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

试一试：2、函数y=8x2的图象的开口二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2的图像解:先列表然后描点画图,得到y=x2＋1,y=x2的图像.x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………52125二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=xx…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………y=x2y=x2+152125函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.操作与思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1二次函数的图像12345x12345678910yo-1-2-3-4-5(1)抛物线y=x2+1,y=x2的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2+1与抛物线y=x2有什么关系?讨论抛物线y=x2+1:开口向上,顶点为(0,1).对称轴是y轴,抛物线y=x2:开口向上,顶点为(0,0).对称轴是y轴,y=x2+1y=x2二次函数的图像12345x12345678910yo-1-2二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2-2和y=x2的图像解:先列表x…-3-2-10123…y=x2-2y=x2…72-1-2-127……9410149…然后描点画图,得到y=x2-2,y=x2的图像.二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22-1-2-12函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?操作与思考函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2二次函数的图像(1)抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2-2与抛物线y=x2有什么关系?讨论抛物线y=x2-2:开口向上,顶点为(0,-2).对称轴是y轴,抛物线y=x2:开口向上,顶点为(0,0).对称轴是y轴,二次函数的图像(1)抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向二次函数的图像例3.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-x2

和y=-x2+3，y=-x2-2的图像二次函数的图像例3.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-xy=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,k)(0,k)y轴y轴当x<0时，y随着x的增大而减小。当x>0时，y随着x的增大而增大。

当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时，y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐

函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状

，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到。上加下减相同上k下|k|函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到。上5下11小试牛刀(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象(2)将函数y=-3x2+4的图象向

平移

个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向

平移

个单位得到可由y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向

平移

个单位可得到y=x2+2的图象。下4上7上9小试牛刀(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是

。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是

。y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数（4）抛物线y=-3x2+5的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。向下y轴(0,5)减小增大0大5小试牛刀（4）抛物线y=-3x2+5的开口，对称轴是（5）抛物线y=7x2-3的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。向上y轴(0,-3)减小增大0小-3小试牛刀（5）抛物线y=7x2-3的开口，对称轴是(6).二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为

。若点C(-2,m),D（n,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为

点D的坐标为

.y=2x2-3(-2,5)或小试牛刀(6).二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A（1（1）抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是

,对称轴是

，在___

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x=_____

时，函数y的值最大，最大值是

,它是由抛物线y=−2x2线怎样平移得到的__________.练习（2）抛物线y=x²-5

的顶点坐标是____，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的

；在对称轴的右侧，y随着x的

，当x=____时，函数y的值最___，最小值是

.（1）抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（）B2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和B3、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，练习：3、按下列要求求出二次函数的解析式：（2）形状与y=-2x2比较函数与的图象(2)在同一坐标系中作出这两个二次函数的图象⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?x-3-2-101234

2712303122748

2712303122748

4827123031227比较函数与图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.顶点坐标是点(1,0).二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1个单位(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数相同a>0,开口都向上.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?

图象是轴对称图形顶点坐标二次函数y=3(x-1)2(3)函数在对称轴(直线:x=1)左侧(即x<1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少,.顶点是最低点,函数有最小值.当x=1时,最小值是0..二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的增减性类似.(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=1)左侧(即x>1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而增大,.想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?

在对称轴(直线:x=1)左侧顶点是最低点,函数二次函数y=3真知从实践走来?1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？

真知从实践走来?1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?x-4-3-2-1012342712303122727123031227

27123031227

27123031227

函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y图象是轴对称图形.对称轴是平行于y轴的直线:x=-1.顶点坐标是点(-1,0).二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1个单位.1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数相同a>0,开口都向上.想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?图象是轴对称图形.顶点坐标二次函数y=3(x+1)21.函数2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.y3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时,y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时,y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.X=-1X=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.X=hX=h4.越大,开口越小,

越小,开口越大.二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了个单位(当h>0时,向右移个单位;当h<0时,向左移个单位)得到的.1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2(a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：

越小,开口越大.

越大,开口越小.二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置总结(2)抛物线的性质：①时,开口向上；时，开口向下；抛物线的图象可由的图象左右平移得到,

,向右平移,,向左平移,平移个单位.②对称轴是直线；③顶点坐标是.总结(2)抛物线练习:1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：

观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？练习:1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：观察三1、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（

）.

A．向上平移1个单位；

B．向下平移1个单位；C．向左平移1个单位；

D．向右平移1个单位．B试一试自己的能力2.抛物线y=2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线.向下平移3.4个单位呢?3、把抛物线y=2x2-4x+2化成y=a(x-h)2的形式,并指出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值?是多少?1、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1复习练习二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质具体探究内容导读图象特征复习练习二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质具体探究1说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:回忆一下1)y=ax22)y=ax2+c3)y=a(x-h)21说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化抛物线开口方向对称轴顶点最值增减情况y=ax²a>0,向上X=0(0,0)当x=0时,y有最小值0x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大a<0,向下X=0(0,0)当x=0时,y有最大值0x<0时,y随x的增大而增大;x>0时,y随x的增大而减小.y=ax²+ka>0,向上X=0(0,k)当x=0时,y有最小值kx<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大a<0,向下X=0(0,k)当x=0时,y有最大值kx<0时,y随x的增大而增大;x>0时,y随x的增大而减小.y=a(x-h)²a>0,向上X=h(h,0)当x=h时,y有最小值0x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大a<0,向下X=h(h,0)当x=h时,y有最大值0x<h时,y随x的增大而增大;x>h时,y随x的增大而减小.抛物线开口方向对称轴顶点最值增减情况y=ax²a>0,向上X2.说出（1）抛物线y=2x²+3和抛物线y=2x²-3如何由抛物线y=2x²平移而来；式形

+

向上

-向下式形

+

向左

-向右（2）二次函数y=2(x-3)²与抛物线y=2(x+3)²如何由抛物线y=2x²

平移而来。2.说出式形+向上当k>0时，将抛物线y=ax²向上平移｜k｜个单位,当k<0时，将抛物线y=ax²向下平移｜k｜个单位得抛物线y=ax²+c返回3.请说出二次函数y=ax²+k与y=ax²的平移关系。

y=a(x-h)2与y=ax²的平移关系当h>0时，将抛物线y=ax²向右平移｜h｜个单位,当h<0时将抛物线y=ax²向左平移｜h｜个单位得抛物线y=a(x-h)²当k>0时，将抛物线y=ax²向上平移｜k｜个单位,返回3.学习目标:1探讨二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x-1)²+1的图象的平移关系,确定它们的图象的三大特征;并判断增减情况.

2探索上面三个函数之间的相同点,不同点和联系.3总结抛物线y=a(x-h)²+k的特征,给出它的开口方向,对称轴和顶点坐标与a,h,k的值的关系,以及最值和增减情况与a,h,k的值的关系.返回学习目标:2探索上面三个函数之间的相同点,不同点和联系.1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xyy=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x21.2.3.-1-2-.3.4.-1xyy=21.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xyy=2x2y=2(x-1)2

1.2.3.-1-2-.3.4.-1xyy=21.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xyy=2(x-1)2

y=2(x-1)2+11.2.3.-1-2-.3.4.-1xyy=21.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xyy=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x21.2.3.-1-2-.3.4.-1xyy=21.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x2X=11.2.3.-1-2-.3.4.-1xy5y=1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xyy=2(x-1)2+1y=2(x-1)2

y=2x2X=1(1，1)(0，0)(1，0)1.2.3.-1-2-.3.4.-1xyy=2抛物线开口方向对称轴顶点y=2x2向上y轴(0，0)y=2(x-1)2向上X=1

(1，0)y=2(x－1)2＋1向上X=1（1，1）抛物线开口方向对称轴顶点y=2x2向上y轴(0，0)y=联系：将函数y=2x²的图象向右平移1个单位,就得到函数y=2(x-1)²的图象;再向上平移1个单位,就得到函数y=2(x-1)²+1的图象.相同点:(1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.(2)都是轴对称图形.(3)顶点都是最低点.(4)在对称轴左侧,y值都随x值的增大而减小,

在对称轴右侧,y值都随x值的增大而增大.不同点:(1)对称轴不同.(2)顶点不同.(3)最小值不相同.联系：将函数y=2x²的图象向右平移1个单位,就得y=a(x-h)²+k开口方向对称轴顶点最值增减情况a>0a<0|a|越大开口越小，反之开口越大.返回二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征向上向下x=h(h,k)x=h时,有最小值y=kx=h时,有最大值y=kx<h时,y随x的增大而减小;x>h时,y随x的增大而增大.x<h时,y随x的增大而增大;x>h时,y随x的增大而减小.x=h(h,k)y=a(x-h)²+k开口方向对称轴顶点最值增减情况a>0a1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2(x-1)2+1y=2x2

+1y=2x2返回X=11.2.3.-1-2-.3.4.-1xy5y=练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。

1)y=2(x+3)2+5 2)y=4(x-3)2+73)y=-3(x-1)2-24)y=-5(x+2)2-6 练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是()

Ay=-2x2-2By=2x2-2Cy=-2(x+2)2-2Dy=-5(x-2)2-6C牛刀小试练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。延伸题1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是（）2)如何将抛物线y=2(x-1)2+3经过平移得到抛物线y=2x2重点把握y=2x²y=2(x-1)²+3向右平移1个单位，向上平移3个单位向左平移1个单位，向下平移3个单位延伸题1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个3）抛物线的顶点为(3,5)此抛物线的解析式可设为()Ay=a(x+3)2+5By=a(x-3)2+5Cy=a(x-3)2-5Dy=a(x+3)2-5B

教科书12页例3巳知函数y=-1/2x²、y=-1/2(x+1)²、y=-1/2(x+1)²-1的图像(1)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-1/2x²得到抛物线y=-1/2(x+1)²和y=-1/2(x+1)²-13）抛物线的顶点为(3,5)此抛物线的解析式可设为(二次函数的图像与性质立新中学禚度娥二次函数的图像与性质立新中学禚度娥思考1例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²(5)y=-x(6)v=10πr²1x__x²1__例1：若函数为二次函数，则m的值为

。

思考1例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项探究新知你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x…-3-2-1012

3…y=x2……9411049新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！探究新知你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x265xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=66

议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？(3)函数有最大值和最小值吗？当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是67当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！当x<0(在对称轴的当x>0(在对称轴的当x=-2时，y68(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？

做一做(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…在学中做—在做中学新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？做一做(269做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2?新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-2270观察这两个图像，看看有什么异同观察这两个图像，看看有什么异同71归纳y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x<0时（即在对称轴左侧）y随着x的增大而减小。当x>0时（即在对称轴左侧）y随着x的增大而增大。

当x<0时,（即在对称轴左侧）y随着x的增大而增大。当x>0时（即在对称轴左侧）y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.归纳y=ax2(a≠0)a>0a<0图开口方向顶点坐标对称做一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,在对称轴

侧,y随着x的增大而增大；在对称轴

侧,y随着x的增大而减小,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方(除顶点外).(0,0)y轴右左00上做一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是试一试：2、函数y=8x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

3、函数y=-3x2的图象的开口

，对称轴是

，顶点是

；在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

；

试一试：2、函数y=8x2的图象的开口二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2的图像解:先列表然后描点画图,得到y=x2＋1,y=x2的图像.x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………52125二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=xx…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………y=x2y=x2+152125函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.操作与思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1二次函数的图像12345x12345678910yo-1-2-3-4-5(1)抛物线y=x2+1,y=x2的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2+1与抛物线y=x2有什么关系?讨论抛物线y=x2+1:开口向上,顶点为(0,1).对称轴是y轴,抛物线y=x2:开口向上,顶点为(0,0).对称轴是y轴,y=x2+1y=x2二次函数的图像12345x12345678910yo-1-2二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2-2和y=x2的图像解:先列表x…-3-2-10123…y=x2-2y=x2…72-1-2-127……9410149…然后描点画图,得到y=x2-2,y=x2的图像.二次函数的图像例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22-1-2-12函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?操作与思考函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2二次函数的图像(1)抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2-2与抛物线y=x2有什么关系?讨论抛物线y=x2-2:开口向上,顶点为(0,-2).对称轴是y轴,抛物线y=x2:开口向上,顶点为(0,0).对称轴是y轴,二次函数的图像(1)抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向二次函数的图像例3.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-x2

和y=-x2+3，y=-x2-2的图像二次函数的图像例3.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-xy=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,k)(0,k)y轴y轴当x<0时，y随着x的增大而减小。当x>0时，y随着x的增大而增大。

当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时，y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.及时小结y=ax2+k(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐

函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状

，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到。上加下减相同上k下|k|函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到。上5下11小试牛刀(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象(2)将函数y=-3x2+4的图象向

平移

个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向

平移

个单位得到可由y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向

平移

个单位可得到y=x2+2的图象。下4上7上9小试牛刀(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是

。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是

。y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数（4）抛物线y=-3x2+5的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。向下y轴(0,5)减小增大0大5小试牛刀（4）抛物线y=-3x2+5的开口，对称轴是（5）抛物线y=7x2-3的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧，y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。向上y轴(0,-3)减小增大0小-3小试牛刀（5）抛物线y=7x2-3的开口，对称轴是(6).二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为

。若点C(-2,m),D（n,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为

点D的坐标为

.y=2x2-3(-2,5)或小试牛刀(6).二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A（1（1）抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是

,对称轴是

，在___

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x=_____

时，函数y的值最大，最大值是

,它是由抛物线y=−2x2线怎样平移得到的__________.练习（2）抛物线y=x²-5

的顶点坐标是____，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的

；在对称轴的右侧，y随着x的

，当x=____时，函数y的值最___，最小值是

.（1）抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（）B2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和B3、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，练习：3、按下列要求求出二次函数的解析式：（2）形状与y=-2x2比较函数与的图象(2)在同一坐标系中作出这两个二次函数的图象⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?x-3-2-101234

2712303122748

2712303122748

4827123031227比较函数与图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.顶点坐标是点(1,0).二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1个单位(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数相同a>0,开口都向上.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?

图象是轴对称图形顶点坐标二次函数y=3(x-1)2(3)函数在对称轴(直线:x=1)左侧(即x<1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少,.顶点是最低点,函数有最小值.当x=1时,最小值是0..二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的增减性类似.(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线:x=1)左侧(即x>1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而增大,.想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?

在对称轴(直线:x=1)左侧顶点是最低点,函数二次函数y=3真知从实践走来?1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？

真知从实践走来?1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?x-4-3-2-1012342712303122727123031227

27123031227

27123031227

函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y图象是轴对称图形.对称轴是平行于y轴的直线:x=-1.顶点坐标是点(-1,0).二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1个单位.1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?二次项系数相同a>0,开口都向上.想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?图象是轴对称图形.顶点坐标二次函数y=3(x+1)21.函数2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.y3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时,y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时,y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.X=-1X=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.X=hX=h4.越大,开口越小,

越小,开口越大.二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了个单位(当h>0时,向右移个单位;当h<0时,向左移个单位)得到的.1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2(a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：

越小,开口越大.

越大,开口越小.二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置总结(2)抛物线的性质：①时,开口向上；时，开口向下；抛物线的图象可由的图象左右平移得到,

,向右平移,,向左平移,平移个单位.②对称轴是直线；③顶点坐标是.总结(2)抛物线练习:1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：

观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？练习:1.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：观察三1、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（

）.

A．向上平移1个单位；

B．向下平移1个单位；C．向左平移1个单位；

D．向右平移1个单位．B试一试自己的能力2.抛物线y=2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线.向下平移3.4个单位呢?3、把抛物线y=2x2-4x+2化成y=a(x-h)2的形式,并指出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值?是多少?1、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1复习练习二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质具体探究内容导读图象特征复习练习二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质具体探究1说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:回忆一下1)y=ax22)y=ax2+c3)y=a(x-h)21说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化抛物线开口方向对称轴顶点最值增减情况y=ax²a>0,向上X=0(0,0)当x=0时,y有最小值0x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大a<0,向下X=0(0,0)当x=0时,y有最大值0x<0时,y随x的增大而增大;x>0时,y随x的增大而减小.y=ax²+ka>0,向上X=0(0,k)当x=0时,y有最小值kx<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大a<0,向下X=0(0,k)当x=0时,y有最大值kx<0时,y随x的增大而增大;x>0时,y随x的增大而减小.y=a(x-h)²a>0,向上X=h(h,0)当x=h时,y有最小值0x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大a<0,向下X=h(h,0)当x=h时,y有最大值0x<h时,y随x的增大而增大;x>h时,y随x的增大而减小.抛物线开口方向对称轴顶点最值增减情况y=ax²a>0,向上X2.说出（1）抛物线y=2x²+3和抛物线y=2x²-3如何由抛物线y=2x²平移而来；式形

+

向上

-向下