统计质量控制的基本原理和常用工具课件

第七章

统计质量控制的

基本原理和常用工具

第一节统计质量控制的基本原理

第二节统计过程控制的常用工具第七章

1学习目标1．认识统计质量控制的基本原理；2．熟悉统计质量控制中常用的几个随机变量的定义、特点、计算和相互关系；3．了解统计过程控制中常用的几种工具的概念和使用方法。学习目标2第一节统计质量控制的基本原理一、质量波动及其统计规律质量差异是生产制造过程的固有本性，质量的波动具有客观必然性；从引起质量波动的原因来看，质量波动可分为：

偶然性波动和系统性波动两类。1.偶然性波动——大量的、微小的不可控因素的作用而引起，这种波动具有随机性。

其特点：偶然性波动对工序质量的影响比较小，在现有生产技术条件下也难以识别和消除。因此，偶然性波动也称为正常波动。工序质量控

制的任务是使正常波动维持在适度的范围内。第一节统计质量控制的基本原理3

2.系统性波动——由少量的、但较显著的可控因素的作用而引起，这种波动不具有随机性。

其特点：（1）系统性波动也称为异常波动。（2）系统性波动在未查明原因、采取纠正措施前始终具有系统性，往往导致生产过程的失控，对工序质量的影响十分显著，甚至是破坏性的。（3）系统性波动虽然常由突发性因素引起，但在现有生产技术条件下一般易于识别和消除。

工序质量控制的任务是及时发现异常波动，查明原因，采取有效的技术组织措施消除系统性波动，使生产过程重新回到受控状态。2.系统性波动——由少量的、但较显著的可控因4偶然性和系统性、正常和异常之间的关系是相对而言的：

1.对微小的、不可控的随机性因素缺少有效的控制，常会累积成或诱发出系统性因素，导致异常波动，使生产过程失控。2.由于技术和管理的进步，使原来难以识别和消除的正常波动变得可以识别并消除。这时，原来的正常波动在新的生产技术条件下将被转化为异常波动。为了不断提高生产过程质量控制的水平，在有效控制正常波动，及时消除异常波动的基础上，应当通过质量改进，使一些不可控随机性因素逐渐成为可控的系统性因素，不断推进质量管理的水平。偶然性和系统性、正常和异常之间的关系是相对而5生产制造质量是产品设计、工艺选择、计划调度、人员培训、工装设备、物资供应、计量检验、安全文明、人际关系、劳动纪律等工作在生产现场的综合反映，工序质量是诸多因素的综合作用。常将影响工序质量的因素归纳为“5M1E”，即：1.操作者（man）；2.机器设备（machine）；3.材料（material）；4.工艺方法（method）；5.测试手段（measure）；6.环境条件（environment）。工序质量控制常表现为对“5M1E”这六大因素的控制。生产制造质量是产品设计、工艺选择、计划调度、6在工序质量控制中，由于产品及工艺的不同，工序质量取决于：1.有时是产品质量特性。如尺寸、重量、精度、纯度、强度、额定电流或电压等；2.有时是工艺质量特性。如生产装置的温度、压力、浓度、时间等；3.有时也可表现为物耗或效率等。因此，工序质量波动的具体表现就是生产过程中这些质量特性的波动。在工序质量控制中，由于产品及工艺的不同，工序质7质量特性值的波动具有统计规律性。所谓统计规律，是指对于随机现象应用分布（distribution）来进行描述，从分布中可以知道波动的范围，以及出现大波动的可能性（概率，probability）有多大；在受控状态下的大量观测结果必然呈现某种统计意义上的规律性。这种统计规律性是统计质量控制的必要前提和客观基础。质量特性值的波动具有统计规律性。8统计质量控制——就是对生产过程中工序质量特性值

总体进行随机抽样，通过所得样本对总体作出统计推断，采取相应对策，保持或恢复工序质量的受控状态。在统计质量控制中，工序质量特性值的观测数据是工序质量的表现，不仅反映了工序质量的波动性，也反映了这种波动的规律性。根据质量特性值的属性，质量数据可分成：1.计数值（计件值、计点值）——离散型；2.计量值——————连续型；在统计质量控制（SPC）中常见的：离散型随机变量：超几何分布、二项分布、泊松分布；

连续型随机变量：正态分布；统计质量控制——就是对生产过程中工序质量特性值9*对于连续型计量特征值，如长度、重量、时间、强度、纯度等，最常用的是正态分布；*对于测量结果只有合格与不合格的离散型计件特征值，最常用的是二项分布；*对于离散型的计点特征值，如铸件上的沙眼数、布上的疵点数等数据，最常用的是泊松分布；*对于连续型计量特征值，如长度、重量、时间、强10二、几个常用的随机变量（服从的分布）（一）超几何分布（hypergeometricdistribution）设有限总体由N个产品组成，其中有D个不合格品。对该总体作不放回随机抽样，样本容量为n。样本中不合格品数X为一离散型随机变量，服从超几何分布,其恰为d的概率：容易知道，d＝0，1，2，…，min(n，D)。二、几个常用的随机变量（服从的分布）容易知道，d＝0，1，211

数学期望和方差分别为：其中，为总体不合格品率，

为总体合格品率。

超几何分布随机变量源于有限总体和不放回抽样

模型，适用于计件型质量特性值的控制和检验问题。数学期望和方差分别为：12例1某批产品共40件，其中不合格品有12件。现从中任意取9件，以X表示其中不合格品的件数。求X的概率分布及其数字特征。解：9件样品中不合格品的件数为超几何分布随机变量

(d=0,1,2,….,9)该批产品总体不合格品率，合格品率所以，抽取的9件样品中合格品的件数平均值（即数学期望）：方差标准差例1某批产品共40件，其中不合格品有12件。现从中13(二)二项分布（binomialprobabilitydistribution）

设无限总体不合格品率为p（合格品率q＝1－p）。对其作随机抽样，样本容量为n。样本中不合格品数X为一离散型随机变量，服从二项分布，其恰为d的概率：

其中，d＝0,1,2,…,n。它的数学期望和方差分别为

(二)二项分布（binomialprobability14二项分布随机变量源于n重贝奴利试验或源于

某有限总体的n次还原抽样，适用于计件型质

量特性值的控制和检验问题；二项分布是一种简单又非常重要的分布。“简单”——因为它描述的结果只有“非此即彼”（合格或不合格、成功或失败）；“重要”——因为这种模型在产品抽样检验中用得最多；贝奴利试验：将试验E独立地重复进行n次，如果每次都只有两种可能的结果A和Ā，且P（A）=p，P（Ā）=1-p=q（0<p<1），则称这个试验为n重贝奴利试验。二项分布随机变量源于n重贝奴利试验或源于15例2某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合格品。已知某一大批该产品的合格品率为0.2。现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有d只为合格品的概率。解：本例属破坏性检验，当然是不放回抽样。但由于该批元件总数很大，抽样数量又很少，对总体的影响是微不足道的，故可作为无限总体放回抽

样处理且实验的结果就是合格或不合格两种。因此，抽查的20只元件中的合格品数X可看作是二项分布随机变量，其恰为d的概率：例2某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合16（三）泊松分布（Poissondistribution）设离散型随机变量X服从泊松分布，则其取值k的概率：其中：n为样本容量，p为不合格率（或缺陷率等）。是样本中不合格品的平均数（或缺陷等的平均数）。泊松分布随机变量X的数学期望和方差分别为：

（三）泊松分布（Poissondistribution）17泊松分布是应用最广泛的随机变量之一。常常用来描绘稀有事件计数资料的统计规律。如：纺纱机上的断头数、布匹上的疵点数、产品表面上的缺陷数等；泊松分布随机变量在计点值型质量特性值的控制和检验中有重要应用；理论上泊松分布有可数无限个可能取值，但随着k值的增大，P（X=k）迅速变小，因此，实际上真正有意义的是为数有限（稀有）的较小的几个k值；泊松分布是应用最广泛的随机变量之一。常常18例3设临床统计资料表明，服用某药剂产生副作用的概率为0.002。求在1000例服用该药物的病人中，恰有k例出现副作用的概率。解：因为样本容量n＝1000，副作用发生率p＝0.002，所以，1000例中发生副作用的病人数的数学期望：。因此，1000例服用此药的病人中发生副作用的人数X服从如下的泊松分布：例3设临床统计资料表明，服用某药剂产生副作用的19例4

某织物每百平方米平均有7个疵点。现抽检了5平方米这种织物，试求下列事件的概率：A={无疵点}，B={恰好有一个疵点},C={最多有一个疵点}。解：因为该种织物每平方米平均有7个疵点，故在5平方米该种织物上平均应有=np=5x7/100=0.35个疵点。这就是说，5平方米该种织物上的疵点数X服从参数的泊松分布，即

所以，所求各事件的概率依次为：

例4某织物每百平方米平均有7个疵点。现抽检了5平方米这种20(四)几种离散型概率分布之间的关系当(样本容量相对总体较小)，或当

(总体不合格品率较低)时，

超几何分布可以用二项分布来近似。当样本容量n较大，且及时，

超几何分布可以用泊松分布来近似。当n较大（如），p较小（如），同时4时，二项分布可以用泊松分布来近似。有关研究表明，当样本中不合格品数平均值时，泊松分布以正态分布为极限分布。(四)几种离散型概率分布之间的关系21(五)正态分布（normaldistribution）设连续型随机变量X的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为，的正态分布，记为若X～N(0,1)，则称X为标准正态分布随机变量。正态分布随机变量X的数学期望和方差分别为：将标准正态分布的密度函数记为，分布函数记为即标准正态分布的密度函数值和分布函数值有表可查。对于一般的正态分布，可先将其转化为标准正态分布。(五)正态分布（normaldistribution）22例5已知,求，其中解：所以，所求概率依次为：

例5已知,求23

有上可知：

在质量控制中，k=3时的情形特别有用。因为如果质量特性值X服从参数为和的正态分布，那么，它落在区间（-3，+3）内的概率将高达99.73%；相反，落在上述区间之外的概率仅为0.27%。这就是众所周知的“3”原理。因此，根据“3”原理，如果发现质量特性值X的观测结果不在区间（-3，+3）内，就有合乎逻辑的理由怀疑生产过程已经失控，面临的质量波动是由系统性的不良因素引起的。因为在这种情况下，生产过程仍然正常的可能性只有0.27%，而已失常的可能性却高达99.73%。有上可知：24例6某袋装食品重量服从正态分布，重量平均值为296克，标准差为25克。为了维护消费者利益，重量规格下限定为273克。求低于规格下限的不合格品概率。解：每袋食品的重量在受控条件下受来自“5M1E”诸因素的影响，故重量。重量规格下限＝273克，＝296克，25克。所求不合格品率为图7-1中阴影部分的面积，由于，故

重量不足不合格品率达17.88%。例6某袋装食品重量服从正态分布，重量平均值为296克，标25例7在例6的基础上，假设重量的公差中心M=＝296克，重量规上限xu=319克。现欲将pL值降为0.01，试分别讨论重量分布中心应提高到多少或重量标准差应减少到多少？解：

先讨论分布中心的提高问题。示意图见图7-2。设新的分布中心应提高到‘。因=查正态分布表得:＝－2.33所以，克。

因为

所以

例7在例6的基础上，假设重量的公差中心M=＝29626

再讨论总体标准差的缩小问题。示意图见图7-3，设新的总体标准差应缩小到。因＝得所以

为使值下降到0.01，可以提高袋重的控制标准，将重量分布中心移到＝331.3克，但值将上升到0.6879；也可以将重量波动的标准差控制在的水平上。由于分布中心和公差中心一致，故此时的=0.01，同时维护消费者和企业的利益。再讨论总体标准差的缩小问题。示意图见图7-3，27例8假设一大批产品的一等品率为20％。现在从中随机抽取100件，求其中一等品件数介于13和30之间的概率。解:100件产品中一等品件数X是一个二项分布随机变量。由题知p=0.2,q=1－p＝0.8,n＝100。所以，100件产品中一等品件数介于13和30之间的概率:因为本例中EX=np＝20，DX＝npq＝16即＝4。所以

即100件产品中，一等品数介于13和30之间的概率大约为0.9537。例8假设一大批产品的一等品率为20％。现在从中随机28第二节统计过程控制的常用工具统计过程控制(StatisticalProcessControl)，简称SPC，是企业提高质量管理水平的有效工具。它利用数理统计原理，通过对过程特性数据的收集和分析，达到“事前预防”的效果，从而有效控制生产过程、协同其他手段持续改进、提升品质。SPC是一系列工具的集合，包括发现质量缺陷、寻找质量波动的原因、监视过程的波动状况以及对异常波动及时报警的一系列方法。主要包括：1检查表、2分层法、3排列图、4因果图、5散布图、6直方图、7波动图——“老七种工具”。第二节统计过程控制的常用工具29一、检查表检查表（Data－CollectionForm）又叫调查表、核对表、统计分析表，是用来收集资料和数据，对事实进行粗略整理和分析的统计表。常见的检查表有：1、不合格检查表；2、缺陷位置检验表；3、质量分布检查表等。检查表的常见形式如表7－1所示。一、检查表30二、分层法分层法（Stratification）又叫分类法、分组法。分层的目的在于把杂乱无章和错综复杂的资料或意见归类汇总，使之更清楚地反映客观现实。分层方法应使层内的数据差异尽可能小，而层与层之间的差异尽可能大，否则就起不到分层归类的作用。分层的一般方法如下：（1）按操作者分层；（2）按设备分层；（3）按原材料分层；（4）按方法分层；（5）按时间分层；（6）按环境分层；（7）其他。运用分层法时，必须考虑各种因素的综合影响效果。二、分层法31例如，某产品加工时经常出现缺陷。经抽查50个产品后发现，产生缺陷的原因有两个因素决定：一是和加工时操作者采用的方法、二是与产品的型号有关。因此，采用P211表7－2所示的二因素综合

分层法。由表7－2可知，当加工甲型产品时，应推广操作者2的方法；当加工乙型产品时，应推广操作者1的方法，因为这样做的缺陷率都为零。例如，某产品加工时经常出现缺陷。经抽查50个产32三、排列图排列图又叫帕累托图（ParetoDiagram）或ABC分类法。它是分析和识别影响质量的主要因素，寻找质量改进机会，所采用的一种图示技术。排列图由两个纵坐标、一个横坐标、几个顺序排列的直方和一条累计百分率曲线所组成。应用步骤如下：（1）确定分析的对象。（2）确定问题分类的项目。（3）确定收集数据的时间。（4）收集数据。（5）整理数据。（6）画图。（7）根据排列图，选择严重影响质量的、累积百分率最大的或较大的一个或几个关键问题作为质量改进项目。例子，见P213排列图（图7－4）。三、排列图33四、因果图因果图（Cause-effectdiagram）又叫鱼刺图、石川

图、特性要因图、树杈图，是表达和分析质量波动特性与其潜在原因的因果关系的一种图表。因果图由质量问题和影响因素两部分组成。1、图中主干箭头所指的为质量问题；2、主干上的大枝表示影响因素的大分类（如操作者、机器、材料、方法、环境等）；3、中枝、小枝、细枝等表示因素的逐次展开。图7－5是因果图的一个例子。四、因果图34五、散布图散布图适用于判断两个变量之间是否存在相关关系；散布图由分布在直角坐标系中的一系列点构成；散布图的绘图步骤如下：（1）选定分析对象。（2）记录观测值与其名称、取样方法、取样日期、测定方法、测定仪器、观测值、环境条件等。（3）在坐标纸上建立直角坐标系，把数据(x、y)分别标在坐标系上。（4）当散布图上出现明显偏离其余数据的点时，应查明原因，以便决定是否删除或校正。五、散布图35例9发生炉煤气的质量取决于一氧化碳（CO）的含量，但测定较难，而测定二氧化碳（CO2）较容易，故希望能得知CO2和CO含量的关系。解：过程如下：（1）分析对象：质量特性值CO和CO2含量的关系。（2）收集生产中积累的30对数据（略）。（3）建立直角坐标系，把数据（x、y）分别标在坐标系上，见图7－6。由图7－6可见，CO(y)和（x）之间有显著的负相关关系。例9发生炉煤气的质量取决于一氧化碳（CO）的含量，但测定36（4）计算相关系数。列表计算（部分，见表7－3）

γ==-0.748

取=0.01，n-2=28。查相关系数表得：因∣-0.748∣>0.463，故判定变量x与y在=0.01水平上存在较显著的负相关关系。（4）计算相关系数。列表计算（部分，见表7－3）37（5）在散布图上画回归直线计算平均值：计算回归系数：回归直线方程：=30.34-0.33x在散布图上画出回归直线，见图7－7。计算回归直线的标准偏差s：

s==0.093计算控制界限（选用2倍标准偏差）： 控制上限yU=a+2s+bx=30.526-0.33x 控制下限yL=a-2s+bx=30.154-0.33x在散布图上画出上、下控制界限见图7－7。（5）在散布图上画回归直线38（6）预测 当检测的煤气中CO2含量x0=6.6%时，从图7－7中可以推测:输出煤气中的CO含量y在27.97%-28.34%范围内。（6）预测39六、直方图直方图适用于分析观测值分布的状态，以便对总体的分布特征进行推断。直方图是由直角坐标系中若干顺序排列的长方形组成。各长方形的底边相等，为观测值区间，长方形的高为观测值落入相应区间的频数。在应用中，分析直方图的形状并规范界限比较可以判断总体正常或异常，进而寻找发生异常的原因。常见的直方图有：对称型分布、偏向型分布、双峰型分布、锯齿型分布、平顶型分布、孤岛型分布分布等。分析时要着眼于形状的整体。六、直方图40绘图步骤一般如下：（1）收集n个观测值（n≥50）（2）找出观测值中的最大值XL，最小值XS。（3）确定观测值大约的分组数k。（4）确定各组组距h=(xL–xS)/k;（5）确定各组组界。首先确定第一组下组界，然后依次加入组距h,即可得到各组组界。观测值不能落在组界上。（6）作频数表。计算频数f。绘图步骤一般如下：41例10

加工某种轴，直径要求为85±0.001。100根轴的直径测量值从略。测量值中最大值XL=85.005mm，最小值XS=84.993。取大约的分组数k=7。因此，各组组距：

各组组界（mm）和频数统计见表7－4。直方图见图7－8。计算均值，标准差s：例10加工某种轴，直径要求为85±0.001。100根42七、波动图波动图适用于观察和分析质量特性值随时间波动的状态，以便监视其变化。波动图为直角坐标系中一条波动曲线。

横坐标表示抽取观测值的顺序号（或时间），

纵坐标表示观测的质量特性值，波动曲线是根据不同时刻的观测值打点连线得到的。在图上可标出规范界限。波动图的重要应用是控制图。七、波动图43作业P2201、2、3作业P2201、2、344

第七章

统计质量控制的

基本原理和常用工具

第一节统计质量控制的基本原理

第二节统计过程控制的常用工具第七章

45学习目标1．认识统计质量控制的基本原理；2．熟悉统计质量控制中常用的几个随机变量的定义、特点、计算和相互关系；3．了解统计过程控制中常用的几种工具的概念和使用方法。学习目标46第一节统计质量控制的基本原理一、质量波动及其统计规律质量差异是生产制造过程的固有本性，质量的波动具有客观必然性；从引起质量波动的原因来看，质量波动可分为：

偶然性波动和系统性波动两类。1.偶然性波动——大量的、微小的不可控因素的作用而引起，这种波动具有随机性。

其特点：偶然性波动对工序质量的影响比较小，在现有生产技术条件下也难以识别和消除。因此，偶然性波动也称为正常波动。工序质量控

制的任务是使正常波动维持在适度的范围内。第一节统计质量控制的基本原理47

2.系统性波动——由少量的、但较显著的可控因素的作用而引起，这种波动不具有随机性。

其特点：（1）系统性波动也称为异常波动。（2）系统性波动在未查明原因、采取纠正措施前始终具有系统性，往往导致生产过程的失控，对工序质量的影响十分显著，甚至是破坏性的。（3）系统性波动虽然常由突发性因素引起，但在现有生产技术条件下一般易于识别和消除。

工序质量控制的任务是及时发现异常波动，查明原因，采取有效的技术组织措施消除系统性波动，使生产过程重新回到受控状态。2.系统性波动——由少量的、但较显著的可控因48偶然性和系统性、正常和异常之间的关系是相对而言的：

1.对微小的、不可控的随机性因素缺少有效的控制，常会累积成或诱发出系统性因素，导致异常波动，使生产过程失控。2.由于技术和管理的进步，使原来难以识别和消除的正常波动变得可以识别并消除。这时，原来的正常波动在新的生产技术条件下将被转化为异常波动。为了不断提高生产过程质量控制的水平，在有效控制正常波动，及时消除异常波动的基础上，应当通过质量改进，使一些不可控随机性因素逐渐成为可控的系统性因素，不断推进质量管理的水平。偶然性和系统性、正常和异常之间的关系是相对而49生产制造质量是产品设计、工艺选择、计划调度、人员培训、工装设备、物资供应、计量检验、安全文明、人际关系、劳动纪律等工作在生产现场的综合反映，工序质量是诸多因素的综合作用。常将影响工序质量的因素归纳为“5M1E”，即：1.操作者（man）；2.机器设备（machine）；3.材料（material）；4.工艺方法（method）；5.测试手段（measure）；6.环境条件（environment）。工序质量控制常表现为对“5M1E”这六大因素的控制。生产制造质量是产品设计、工艺选择、计划调度、50在工序质量控制中，由于产品及工艺的不同，工序质量取决于：1.有时是产品质量特性。如尺寸、重量、精度、纯度、强度、额定电流或电压等；2.有时是工艺质量特性。如生产装置的温度、压力、浓度、时间等；3.有时也可表现为物耗或效率等。因此，工序质量波动的具体表现就是生产过程中这些质量特性的波动。在工序质量控制中，由于产品及工艺的不同，工序质51质量特性值的波动具有统计规律性。所谓统计规律，是指对于随机现象应用分布（distribution）来进行描述，从分布中可以知道波动的范围，以及出现大波动的可能性（概率，probability）有多大；在受控状态下的大量观测结果必然呈现某种统计意义上的规律性。这种统计规律性是统计质量控制的必要前提和客观基础。质量特性值的波动具有统计规律性。52统计质量控制——就是对生产过程中工序质量特性值

总体进行随机抽样，通过所得样本对总体作出统计推断，采取相应对策，保持或恢复工序质量的受控状态。在统计质量控制中，工序质量特性值的观测数据是工序质量的表现，不仅反映了工序质量的波动性，也反映了这种波动的规律性。根据质量特性值的属性，质量数据可分成：1.计数值（计件值、计点值）——离散型；2.计量值——————连续型；在统计质量控制（SPC）中常见的：离散型随机变量：超几何分布、二项分布、泊松分布；

连续型随机变量：正态分布；统计质量控制——就是对生产过程中工序质量特性值53*对于连续型计量特征值，如长度、重量、时间、强度、纯度等，最常用的是正态分布；*对于测量结果只有合格与不合格的离散型计件特征值，最常用的是二项分布；*对于离散型的计点特征值，如铸件上的沙眼数、布上的疵点数等数据，最常用的是泊松分布；*对于连续型计量特征值，如长度、重量、时间、强54二、几个常用的随机变量（服从的分布）（一）超几何分布（hypergeometricdistribution）设有限总体由N个产品组成，其中有D个不合格品。对该总体作不放回随机抽样，样本容量为n。样本中不合格品数X为一离散型随机变量，服从超几何分布,其恰为d的概率：容易知道，d＝0，1，2，…，min(n，D)。二、几个常用的随机变量（服从的分布）容易知道，d＝0，1，255

数学期望和方差分别为：其中，为总体不合格品率，

为总体合格品率。

超几何分布随机变量源于有限总体和不放回抽样

模型，适用于计件型质量特性值的控制和检验问题。数学期望和方差分别为：56例1某批产品共40件，其中不合格品有12件。现从中任意取9件，以X表示其中不合格品的件数。求X的概率分布及其数字特征。解：9件样品中不合格品的件数为超几何分布随机变量

(d=0,1,2,….,9)该批产品总体不合格品率，合格品率所以，抽取的9件样品中合格品的件数平均值（即数学期望）：方差标准差例1某批产品共40件，其中不合格品有12件。现从中57(二)二项分布（binomialprobabilitydistribution）

设无限总体不合格品率为p（合格品率q＝1－p）。对其作随机抽样，样本容量为n。样本中不合格品数X为一离散型随机变量，服从二项分布，其恰为d的概率：

其中，d＝0,1,2,…,n。它的数学期望和方差分别为

(二)二项分布（binomialprobability58二项分布随机变量源于n重贝奴利试验或源于

某有限总体的n次还原抽样，适用于计件型质

量特性值的控制和检验问题；二项分布是一种简单又非常重要的分布。“简单”——因为它描述的结果只有“非此即彼”（合格或不合格、成功或失败）；“重要”——因为这种模型在产品抽样检验中用得最多；贝奴利试验：将试验E独立地重复进行n次，如果每次都只有两种可能的结果A和Ā，且P（A）=p，P（Ā）=1-p=q（0<p<1），则称这个试验为n重贝奴利试验。二项分布随机变量源于n重贝奴利试验或源于59例2某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合格品。已知某一大批该产品的合格品率为0.2。现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有d只为合格品的概率。解：本例属破坏性检验，当然是不放回抽样。但由于该批元件总数很大，抽样数量又很少，对总体的影响是微不足道的，故可作为无限总体放回抽

样处理且实验的结果就是合格或不合格两种。因此，抽查的20只元件中的合格品数X可看作是二项分布随机变量，其恰为d的概率：例2某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合60（三）泊松分布（Poissondistribution）设离散型随机变量X服从泊松分布，则其取值k的概率：其中：n为样本容量，p为不合格率（或缺陷率等）。是样本中不合格品的平均数（或缺陷等的平均数）。泊松分布随机变量X的数学期望和方差分别为：

（三）泊松分布（Poissondistribution）61泊松分布是应用最广泛的随机变量之一。常常用来描绘稀有事件计数资料的统计规律。如：纺纱机上的断头数、布匹上的疵点数、产品表面上的缺陷数等；泊松分布随机变量在计点值型质量特性值的控制和检验中有重要应用；理论上泊松分布有可数无限个可能取值，但随着k值的增大，P（X=k）迅速变小，因此，实际上真正有意义的是为数有限（稀有）的较小的几个k值；泊松分布是应用最广泛的随机变量之一。常常62例3设临床统计资料表明，服用某药剂产生副作用的概率为0.002。求在1000例服用该药物的病人中，恰有k例出现副作用的概率。解：因为样本容量n＝1000，副作用发生率p＝0.002，所以，1000例中发生副作用的病人数的数学期望：。因此，1000例服用此药的病人中发生副作用的人数X服从如下的泊松分布：例3设临床统计资料表明，服用某药剂产生副作用的63例4

某织物每百平方米平均有7个疵点。现抽检了5平方米这种织物，试求下列事件的概率：A={无疵点}，B={恰好有一个疵点},C={最多有一个疵点}。解：因为该种织物每平方米平均有7个疵点，故在5平方米该种织物上平均应有=np=5x7/100=0.35个疵点。这就是说，5平方米该种织物上的疵点数X服从参数的泊松分布，即

所以，所求各事件的概率依次为：

例4某织物每百平方米平均有7个疵点。现抽检了5平方米这种64(四)几种离散型概率分布之间的关系当(样本容量相对总体较小)，或当

(总体不合格品率较低)时，

超几何分布可以用二项分布来近似。当样本容量n较大，且及时，

超几何分布可以用泊松分布来近似。当n较大（如），p较小（如），同时4时，二项分布可以用泊松分布来近似。有关研究表明，当样本中不合格品数平均值时，泊松分布以正态分布为极限分布。(四)几种离散型概率分布之间的关系65(五)正态分布（normaldistribution）设连续型随机变量X的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为，的正态分布，记为若X～N(0,1)，则称X为标准正态分布随机变量。正态分布随机变量X的数学期望和方差分别为：将标准正态分布的密度函数记为，分布函数记为即标准正态分布的密度函数值和分布函数值有表可查。对于一般的正态分布，可先将其转化为标准正态分布。(五)正态分布（normaldistribution）66例5已知,求，其中解：所以，所求概率依次为：

例5已知,求67

有上可知：

在质量控制中，k=3时的情形特别有用。因为如果质量特性值X服从参数为和的正态分布，那么，它落在区间（-3，+3）内的概率将高达99.73%；相反，落在上述区间之外的概率仅为0.27%。这就是众所周知的“3”原理。因此，根据“3”原理，如果发现质量特性值X的观测结果不在区间（-3，+3）内，就有合乎逻辑的理由怀疑生产过程已经失控，面临的质量波动是由系统性的不良因素引起的。因为在这种情况下，生产过程仍然正常的可能性只有0.27%，而已失常的可能性却高达99.73%。有上可知：68例6某袋装食品重量服从正态分布，重量平均值为296克，标准差为25克。为了维护消费者利益，重量规格下限定为273克。求低于规格下限的不合格品概率。解：每袋食品的重量在受控条件下受来自“5M1E”诸因素的影响，故重量。重量规格下限＝273克，＝296克，25克。所求不合格品率为图7-1中阴影部分的面积，由于，故

重量不足不合格品率达17.88%。例6某袋装食品重量服从正态分布，重量平均值为296克，标69例7在例6的基础上，假设重量的公差中心M=＝296克，重量规上限xu=319克。现欲将pL值降为0.01，试分别讨论重量分布中心应提高到多少或重量标准差应减少到多少？解：

先讨论分布中心的提高问题。示意图见图7-2。设新的分布中心应提高到‘。因=查正态分布表得:＝－2.33所以，克。

因为

所以

例7在例6的基础上，假设重量的公差中心M=＝29670

再讨论总体标准差的缩小问题。示意图见图7-3，设新的总体标准差应缩小到。因＝得所以

为使值下降到0.01，可以提高袋重的控制标准，将重量分布中心移到＝331.3克，但值将上升到0.6879；也可以将重量波动的标准差控制在的水平上。由于分布中心和公差中心一致，故此时的=0.01，同时维护消费者和企业的利益。再讨论总体标准差的缩小问题。示意图见图7-3，71例8假设一大批产品的一等品率为20％。现在从中随机抽取100件，求其中一等品件数介于13和30之间的概率。解:100件产品中一等品件数X是一个二项分布随机变量。由题知p=0.2,q=1－p＝0.8,n＝100。所以，100件产品中一等品件数介于13和30之间的概率:因为本例中EX=np＝20，DX＝npq＝16即＝4。所以

即100件产品中，一等品数介于13和30之间的概率大约为0.9537。例8假设一大批产品的一等品率为20％。现在从中随机72第二节统计过程控制的常用工具统计过程控制(StatisticalProcessControl)，简称SPC，是企业提高质量管理水平的有效工具。它利用数理统计原理，通过对过程特性数据的收集和分析，达到“事前预防”的效果，从而有效控制生产过程、协同其他手段持续改进、提升品质。SPC是一系列工具的集合，包括发现质量缺陷、寻找质量波动的原因、监视过程的波动状况以及对异常波动及时报警的一系列方法。主要包括：1检查表、2分层法、3排列图、4因果图、5散布图、6直方图、7波动图——“老七种工具”。第二节统计过程控制的常用工具73一、检查表检查表（Data－CollectionForm）又叫调查表、核对表、统计分析表，是用来收集资料和数据，对事实进行粗略整理和分析的统计表。常见的检查表有：1、不合格检查表；2、缺陷位置检验表；3、质量分布检查表等。检查表的常见形式如表7－1所示。一、检查表74二、分层法分层法（Stratification）又叫分类法、分组法。分层的目的在于把杂乱无章和错综复杂的资料或意见归类汇总，使之更清楚地反映客观现实。分层方法应使层内的数据差异尽可能小，而层与层之间的差异尽可能大，否则就起不到分层归类的作用。分层的一般方法如下：（1）按操作者分层；（2）按设备分层；（3）按原材料分层；（4）按方法分层；（5）按时间分层；（6）按环境分层；（7）其他。运用分层法时，必须考虑各种因素的综合影响效果。二、分层法75例如，某产品加工时经常出现缺陷。经抽查50个产品后发现，产生缺陷的原因有两个因素决定：一是和加工时操作者采用的方法、二是与产品的型号有关。因此，采用P211表7－2所示的二因素综合

分层法。由表7－2可知，当加工甲型产品时，应推广操作者2的方法；当加工乙型产品时，应推广操作者1的方法，因为这样做的缺陷率都为零。例如，某产品加工时经常出现缺陷。经抽查50个产76三、排列图排列图又叫帕累托图（ParetoDiagram）或ABC分类法。它是分析和识别影响质量的主要因素，寻找质量改进机会，所采用的一种图示技术。排列图由两个纵坐标、一个横坐标、几个顺序排列的直方和一条累计百分率曲线所组成。应用步骤如下：（1）确定分析的对象。（2）确定问题分类的项目。（3）确定收集数据的时间。（4）收集数据。（5）整理数据。（6）画图。（7）根据排列图，选择严重影响质量的、累积百分率最大的或较大的一个或几个关键问题作为质量改进项目。例子，见P213排列图（图7－4）。三、排列图77四、因果图因果图（Cause-