亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理课件

《电磁场与电磁波》第3讲矢量分析（2）教师姓名：宗福建单位：山东大学微电子学院2018年3月13日《电磁场与电磁波》第3讲矢量分析（2）场、数量场、梯度数量场的等值线：比如地形图上的等高线，气象图上的等温线、等压线等。场、数量场、梯度数量场的等值线：场、数量场、梯度方向导数的定义设M0为数量场u=u(M)中的一点，从M0出发引一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记M0M的长度为ρ，若当MM0时，的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方向的方向导数。场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度方向导数的定义方向导数是函数u(M)在一个点处沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中，u=u(x,y,z),Cosα,Cosβ,Cosγ为L方向上的方向余弦，则场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度定义梯度场、数量场、梯度定义梯度场、数量场、梯度梯度在给定点处为一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函数在该方向上的方向导数。梯度的方向就是函数方向导数最大的方向，其模也等于该最大变化率的数值。场、数量场、梯度梯度在给定点处为一固定矢量。场、数量场、梯度引入哈米顿(Hamilton)算子场、数量场、梯度引入哈米顿(Hamilton)算子梯度运算的一些基本公式梯度运算的一些基本公式矢量场的通量及散度通量的定义：设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲面积分叫做矢量场A(M)正向穿过曲面S的通量。矢量场的通量及散度通量的定义：矢量场的通量及散度散度的定义：(P18-19)矢量场的通量及散度散度的定义：(P18-19)散度的公式散度的公式亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理课件§1.5矢量的环量、旋度矢量a沿闭合曲线C的线积分称为a的环路积分（环流量）：闭合曲线C，及其包围的面元S

，n

为S

的右旋单位法向矢量。S

趋于0，环积分也趋于0，其比的极限为矢量a的旋度在n

上的投影。矢量场的旋度也是矢量场。如果场内rota=0

总是成立，则该矢量场无旋。空间中一点环流状态14§1.5矢量的环量、旋度矢量a沿闭合曲线C的线积分称为a的环因此旋度在z轴投影（分量）：指面元法向沿z轴同理可得x,y轴分量旋度表达式：§1.5矢量的环量、旋度(P22-23)15因此旋度在z轴投影（分量）：指面元法向沿z轴同理可得x,y用哈密顿算符表示：用行列式表示：§1.5矢量的环量、旋度16用哈密顿算符表示：用行列式表示：§1.5矢量的环量、旋度16旋度的公式旋度的公式亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理课件旋度的公式旋度的公式HamiltonianOperatorHamiltonianOperator哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子LaplacianOperatorLaplacianOperator哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系拉普拉斯运算和格林定理符号：拉普拉斯算符标量场u的拉普拉斯运算：直角坐标系中：30拉普拉斯运算和格林定理符号：拉普拉斯算符标量场u的拉普拉§1.8拉普拉斯运算和格林定理球坐标中拉普拉斯运算：柱坐标中拉普拉斯运算：31§1.8拉普拉斯运算和格林定理球坐标中拉普拉斯运算：柱坐§1.8拉普拉斯运算和格林定理矢量场E的拉普拉斯运算：在直角坐标系中：读证明P2832§1.8拉普拉斯运算和格林定理矢量场E的拉普拉斯运算：在§1.8拉普拉斯运算和格林定理格林第一恒等式：格林第二恒等式：两个标量场的关系。n：S的外法向由高斯定理得到P2833§1.8拉普拉斯运算和格林定理格林第一恒等式：格林第二恒1.6无旋场与无散场矢量场的散度和旋度分别反映了产生矢量场的两种不同性质的源，而不同性质的源产生的矢量场具有不同的性质。1.6.1无旋场如果矢量场F的旋度处处为零，即矢量场F满足，则称该矢量场为无旋场，这个场由散度源产生。重要的矢量公式标量场梯度的旋度恒为零标量场的梯度为无旋场无旋场总可以表示成一个标量场u的梯度，而这个标量u称为无旋场的标量位无旋场沿任意闭合回路的积分为零，其线积分与积分路径无关，只与积分的起止点有关341.6无旋场与无散场矢量场的散度和旋度分别反映了产生1.6.2无散场无散场也称为无源场。如果矢量场F的散度处处为零，即矢量场F满足，则称该矢量场为无散场(无源场)，这个场由旋涡源产生。重要的矢量公式矢量场旋度的散度恒为零矢量场的旋度为无散场无散场总可以表示成某个矢量场A的旋度，而这个矢量A称为无散场的矢量位无散场通过任意闭合面的通量为零351.6.2无散场无散场也称为无源场。如果矢量场F解：椭球族为一组同心椭球，可将其中的各个椭球表面看作为等值面，所以其表面的法向与方程u的梯度同向。例

方程给出一个椭球族。求椭球表面上任意点的法向单位矢量。36解：椭球族为一组同心椭球，可将其中的各个椭球表面看作为等值面解：r对球表面的面积分为例

计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求对球体积的积分。37解：r对球表面的面积分为例计算矢量r对一个球心在原1.7亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。二、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：

调和场若矢量场在某区域V内，处处有：和则在该区域V内，场为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。381.7亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理在有限区

有源无旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为有源无旋场。结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场也称保守场。

无源有旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场也称管形场。讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理说明：式中为矢量场漩涡源密度。

有源无旋场若矢量场在某区域V内，处处

有源有旋场若矢量场在某区域V内，在某些位置或整个空间内，有和，则称在该区域V内，场为有源有旋场。有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：可表示为40

有源有旋场若矢量场在某区域V内，在某§1.8亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：当矢量场的散度和旋度在空间的分布和边界条件确定后，矢量场就唯一确定了。且可表示为：其中：无旋无散41§1.8亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：当矢量场的散度和旋度在空亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。已知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度

电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。已知矢并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量并矢和张量张量分析张量分析张量分析张量分析泰勒级数展开泰勒级数展开本章小结矢量代数规定矢量的加法、减法、和乘法法则，矢量微积分则包括矢量的微分和矢量的积分。在右手正交坐标系中，在空间任何一点，三个基矢量都是两两互相正交的，规定基矢量叉积的循环关系，遵从右手定则。两个矢量点积的结果为标量，而两个矢量叉积的结果为另外一个矢量。利用联系两个坐标系的坐标变换关系，可以将一个坐标系中表示的矢量，转换到另外一个坐标系中去表示。矢量微积分中基本的微分函数是梯度、散度和旋度。标量函数的梯度是矢量，其幅值等于该标量函数每单位距离最大的增长速率，其方向在沿着最大增长的方向。本章小结矢量代数规定矢量的加法、减法、和乘法法则，矢量微积分本章小结矢量场的散度是通过封闭曲面流出到封闭体之外的每单位体积的净通量的一个测度。散度定理将矢量场的体积分，转换成该矢量场的通量沿包围该体积的曲面的面积分。矢量场的旋度是矢量场在每单位面积ΔS上环量的一个测度，这里ΔS选用环量最大的那个方向。斯托克斯定理将矢量场旋度的面积分，转换成该矢量沿包围该曲面的路径的线积分。亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。本章小结矢量场的散度是通过封闭曲面流出到封闭体之外的每单位体课下作业教材第32-33页习题1.21，1.23，1.24，1.31课下作业谢谢！谢谢！《电磁场与电磁波》第3讲矢量分析（2）教师姓名：宗福建单位：山东大学微电子学院2018年3月13日《电磁场与电磁波》第3讲矢量分析（2）场、数量场、梯度数量场的等值线：比如地形图上的等高线，气象图上的等温线、等压线等。场、数量场、梯度数量场的等值线：场、数量场、梯度方向导数的定义设M0为数量场u=u(M)中的一点，从M0出发引一条射线L，在L上点M0的临近取一动点M，记M0M的长度为ρ，若当MM0时，的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿L方向的方向导数。场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度方向导数的定义方向导数是函数u(M)在一个点处沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中，u=u(x,y,z),Cosα,Cosβ,Cosγ为L方向上的方向余弦，则场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度方向导数的定义场、数量场、梯度定义梯度场、数量场、梯度定义梯度场、数量场、梯度梯度在给定点处为一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函数在该方向上的方向导数。梯度的方向就是函数方向导数最大的方向，其模也等于该最大变化率的数值。场、数量场、梯度梯度在给定点处为一固定矢量。场、数量场、梯度引入哈米顿(Hamilton)算子场、数量场、梯度引入哈米顿(Hamilton)算子梯度运算的一些基本公式梯度运算的一些基本公式矢量场的通量及散度通量的定义：设有矢量场A(M)，沿某一有向曲面S的曲面积分叫做矢量场A(M)正向穿过曲面S的通量。矢量场的通量及散度通量的定义：矢量场的通量及散度散度的定义：(P18-19)矢量场的通量及散度散度的定义：(P18-19)散度的公式散度的公式亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理课件§1.5矢量的环量、旋度矢量a沿闭合曲线C的线积分称为a的环路积分（环流量）：闭合曲线C，及其包围的面元S

，n

为S

的右旋单位法向矢量。S

趋于0，环积分也趋于0，其比的极限为矢量a的旋度在n

上的投影。矢量场的旋度也是矢量场。如果场内rota=0

总是成立，则该矢量场无旋。空间中一点环流状态69§1.5矢量的环量、旋度矢量a沿闭合曲线C的线积分称为a的环因此旋度在z轴投影（分量）：指面元法向沿z轴同理可得x,y轴分量旋度表达式：§1.5矢量的环量、旋度(P22-23)70因此旋度在z轴投影（分量）：指面元法向沿z轴同理可得x,y用哈密顿算符表示：用行列式表示：§1.5矢量的环量、旋度71用哈密顿算符表示：用行列式表示：§1.5矢量的环量、旋度16旋度的公式旋度的公式亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理课件旋度的公式旋度的公式HamiltonianOperatorHamiltonianOperator哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子LaplacianOperatorLaplacianOperator哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子哈米顿(Hamilton)算子柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系拉普拉斯运算和格林定理符号：拉普拉斯算符标量场u的拉普拉斯运算：直角坐标系中：85拉普拉斯运算和格林定理符号：拉普拉斯算符标量场u的拉普拉§1.8拉普拉斯运算和格林定理球坐标中拉普拉斯运算：柱坐标中拉普拉斯运算：86§1.8拉普拉斯运算和格林定理球坐标中拉普拉斯运算：柱坐§1.8拉普拉斯运算和格林定理矢量场E的拉普拉斯运算：在直角坐标系中：读证明P2887§1.8拉普拉斯运算和格林定理矢量场E的拉普拉斯运算：在§1.8拉普拉斯运算和格林定理格林第一恒等式：格林第二恒等式：两个标量场的关系。n：S的外法向由高斯定理得到P2888§1.8拉普拉斯运算和格林定理格林第一恒等式：格林第二恒1.6无旋场与无散场矢量场的散度和旋度分别反映了产生矢量场的两种不同性质的源，而不同性质的源产生的矢量场具有不同的性质。1.6.1无旋场如果矢量场F的旋度处处为零，即矢量场F满足，则称该矢量场为无旋场，这个场由散度源产生。重要的矢量公式标量场梯度的旋度恒为零标量场的梯度为无旋场无旋场总可以表示成一个标量场u的梯度，而这个标量u称为无旋场的标量位无旋场沿任意闭合回路的积分为零，其线积分与积分路径无关，只与积分的起止点有关891.6无旋场与无散场矢量场的散度和旋度分别反映了产生1.6.2无散场无散场也称为无源场。如果矢量场F的散度处处为零，即矢量场F满足，则称该矢量场为无散场(无源场)，这个场由旋涡源产生。重要的矢量公式矢量场旋度的散度恒为零矢量场的旋度为无散场无散场总可以表示成某个矢量场A的旋度，而这个矢量A称为无散场的矢量位无散场通过任意闭合面的通量为零901.6.2无散场无散场也称为无源场。如果矢量场F解：椭球族为一组同心椭球，可将其中的各个椭球表面看作为等值面，所以其表面的法向与方程u的梯度同向。例

方程给出一个椭球族。求椭球表面上任意点的法向单位矢量。91解：椭球族为一组同心椭球，可将其中的各个椭球表面看作为等值面解：r对球表面的面积分为例

计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求对球体积的积分。92解：r对球表面的面积分为例计算矢量r对一个球心在原1.7亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。二、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：

调和场若矢量场在某区域V内，处处有：和则在该区域V内，场为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。931.7亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理在有限区

有源无旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为有源无旋场。结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场也称保守场。

无源有旋场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场也称管形场。讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理说明：式中为矢量场漩涡源密度。

有源无旋场若矢量场在某区域V内，处处

有源有旋场若矢量场在某区域V内，在某些位置或整个空间内，有和，则称在该区域V内，场为有源有旋场。有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：可表示为95

有源有旋场若矢量场在某区域V内，在某§1.8亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：当矢量场的散度和旋度在空间的分布和边界条件确定后，矢量场就唯一确定了。且可表示为：其中：