第八节二阶常系数非线性微分方程_第1页
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第八节二阶常系数非齐次线性微分方ypyqyf

对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解.应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解y*方程(8.1)f(xf(x(8.1)的特解仍是非常的，这里只就f(x)的两种常见的情形进行讨论1．f(x)Pm

，其中是常数，Pm

是x的一个m次多项式：Pm(x)a0xma1xm1am1xam2f(xPm(x)excosxPm(x)exsinx，其中，是常数，Pm(xxm次内容分布图★f(x)Pm ★例★★★★P(x)exosxP(x)exsinxm★★★内容小 ★课堂练★习题12— ★返内容要点f(xPm(x)exf(xPm(x)ex时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)y*xkQm

的特解，其中Qm(xPm(x同次（m次）k按0、1n(8.4)k的重数（即若k0；若sks）.二、f(x)Pm(x)excosxPm(x)exsinx型两种方程的特解

ypyqyPm(x)excosxypyqyPm(x)ex

由公式知道，Pm(x)excosx和Pm(x)exsinx分别Pm(x)e(i)xPm(x)ex(cosxi的实部和虚部ypyqyPm(x)e(i)x 这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过假定已经求出方程(8.9)的一个特解，则根据方程(8.9)e(i)xi0)程，所以i只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根.因此方my*xkQ(x)e(i)m

的特解，其中Qm(xPm(x同次（m次）k按0n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.10)k是特征方根i的重复次数.例题选讲f(xPm(x)ex例1（讲义例1）下列方程具有什么样形式的特解

y5y6ye3x

y5y6y3xe2x(3)y2yy(3x2例2（讲义例2）求方程y 3（讲义例3）求方

4yyxex的通解5（讲4）y2yy6x24)exx1的特解6（讲义例5）y3y3yyex的通解.7yy4sinx的通解.f(xPm(x)excosxPm(x)exsinx8（讲义例6）yyxcos2x的通解.9（讲义例7）y(x)满足xy(x)1[6sin2x

y(0)0y(x例10（讲义例8）yC1C2xx2e2x(其中C1C2为任意常数)为通解的线性微例11

ye2x(x1)e

yaybycex的一个特解,ab与c及该方程的通解课堂练y4y4y6x28e2x

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