寒假生活-第1节

一、矩阵概念的引a11

a12

a1n

a22

a2n

线性方程

an2

ann

系i的解取决i

aiji,j常数

bi1,2,,n研究可转化为线性方程研究可转化为

b1

a2

b2

这 的研究

an

bnB某航空公司在A,B,C,D城市之间开辟了若干航线如图所示表示了四城市间 航班图,如果从A到B有航班则用带箭头的线连接A与 四城市间的航班图情况常用表格来表示到 A发站 D其 表示有航班为了便于计算,把表中 改成1,空白地方填0,就得到一个数表 0110101010010100这个数表反映了四城市间交通联接情况１．定

二、矩阵的定mn

i

1,2,,

j1,2,,排成m行n列的数am1

am

a2n称为mn矩阵.简称mn矩阵.记A

a21

a22

a1n矩阵Amn矩阵Amn am1

am1

amn简记

A

a这mn个数称为A的元素,简称为元.例

5

是一33

2

实矩阵13 2i

1

是一

3

复矩阵 2 2

4

是一

3

矩阵是一个1

矩阵

是一

11

矩阵２．几种特殊矩行数与列数都等于

An方阵.也可记13

2i例

2 2

是一个3阶方阵只有一行的矩Aa1,a2,,an称为行矩阵(或行向量只有一列的矩1a1 Ba2

称为列矩阵(或列向量 an

的方阵,称为对

矩阵(或对角阵n记 A

diag1,2,,nEdiagEdiag(1,1,,1)010001（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵mn矩阵记

omn或o３．同型矩阵与矩阵相等的概（1）.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例

2 14 6

3 为同型矩阵 与 43793 3793 （2）.两个矩

Aaij

为同型矩阵并且对应元素相等,

i

j1,2,,则称矩阵A与B相等,

AB.注意：不能说零矩阵都相 例１ 3A 2

,B,

3,, z已知A

B,

y,z. A

根据矩阵相等的定x

y

z三、矩阵的线性运１、加设有两个mn矩阵A

那末矩A与B的和记作A

B，规定AB

a21

a22

a2

b2n

am1

am

bmn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进12 例 6 13 13

6 6矩阵加法的运算规

ABB2A

BC

A

C3

A

a2

a

amn称为矩阵A的负矩阵

A

A

AB

A

2

a1n数与矩阵

的乘积记作A规定

am

amnA

aa

a a

anan

am

amn数乘矩阵的运算规（设A、B

m

矩阵，,为数123A

B

A

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.四、矩阵与矩阵相１、定设A

是一个m

矩阵B

是一sn矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘是一个mn矩阵C

，其

ai1b1

ai2b2

aiksksi

j1,2,,并把此乘积记

CAB例

4 4

16C1

2 6

例

22

0303412131

A

2

B 0 1405 405 A

B

C故C

2 102注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 3例 198983

不存在

2

13

1 ２、矩阵乘法的运算规1ABCABC

C

AB

AC

BC3AB

（其中

为数45若A

阶矩阵

为Ak次幂，Ak AAAAm

Am

Amkm,k为正整数注意矩阵不 换律，即AB

BA,

ABk

AkBkA

1 B 1例

1 1,, AB 0 BA 2,,故AB

0

2但也有例外，比如 0

B

1,A , 2

12则 2AB

22BA 2 AB如果A=B，称与是可换的。当A、可换时，可得(A

ABBA

(A

B)(A(AB)kAkBk设A为n阶方阵，由于A与E可换，因mm(AE)mCkmk例4计算下列乘积2

2 3 2

1

22 4

1

212 3

32

4.6 2 b2b311解

=(

a22b2

b2b3 0例 设A 1求Ak0 0

0

0

1 1000 000

1 100

2. 2

1 A3

A2A

2 2

1

300

32

由此归纳

kk

kk

1k2Ak 0000

2kk

2用数学归纳法证k

2时，显然成立k

n时成立，则

n1时

nn1n2

0An1

AnA 0000

1,

n

n

1nn1

n

,00 00 所以对于任意的k都

kk

kk

1k2Ak 0000

kk . 3、矩阵多项Px)

xm

am

xm

a是一mm次的多项式，A为n阶方阵，mP(A)

am

Am

am其中E为n阶单位矩阵，则P(A)称为矩阵多项式m 例5P(x

x

P(A解PA

A

A

1.转置矩定义把矩阵A的行换成同序数的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记

A A

2 8

,AT,22

45;88B

BT

18. 6转置矩阵的运算性1AT

2A3

4

AT例 已 A

求ABT解法

ABT

3,,17 10解法ABT

BT

2 0

1 232

1713.

1

10六、对称 称矩A

阶方阵，如果满A

a iA称为对称阵12

1例如A

06 6

为对称阵说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相如果ATA则矩阵A称 称的例7设列矩

X

,

,xn

XT

E为n阶单位矩阵

E

2XXT,证明H是对称阵,且HHTE.证明HT

2XXT

ET

2XXTE2XXTHH是对称矩阵HHTH

E

2XXTE4XX

4XX

XXT

E4XX

4XXTXXTE4XXT

4XX

E.例8证明任一

阶矩阵

都可表示成对称 称阵之和证则CT

设A

A

AT

C,所以C为对称矩阵设B

AAT

则

A

AT

AT

AB,所以B 称矩阵TAAT

A

CB

命题得证 七、方