高数-1曲线积分

第一型曲线积设有一条不均匀的物质曲线LAB为其二个端点,并设L上任一点Mxyz处的线密度为xyz,把曲线L任意分割成n段，设第 ,i段上任取一点i,i,iii段的质量mii,i,inmaxsi

若极限limi,i,isin0L的质量mlimi,i,i0把曲线L任意分割成n段，设第i 在第i段上任取一点 i,i,ii1,2, ,nn

若极限0

的任意分割法及中间点i,i,i的任意取法都存在，则称此极限为函数fxyzL的第一型（对弧长的）记作Lfxyzfxyz 说明

fx,y,zdslim

f,

n n

曲线光滑或分段光滑（函数fx,y,z在曲线上连续是指 含L的区域上连续. fx,y,z在光滑曲线弧L上连续时，则fx,y,z在 平面第一型曲线积分形式是 Lfx,第一型曲线积分与曲线 无 fx,y,zds fx,y,z 如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2设c1、c2为常数函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分oyxA(i,i) 求以xy面上弧AB为底oyxA(i,i)为顶的柱面的面

zf(x,nSlimf(i,i)sin0iLf(x,L 设平面曲线弧AB的线密度为(x,BB(i,iM2MiMiAM1nMlim(i,i)0iL(x,L 二、对弧长的曲线积分的计 设f(x,y)在L上连续L x(t ty(t(t)(t)在[]上具有连续的导数,且2(t)2(t) Lf(x,

f(x,y)ds

f[(t),(t 2(t)2(t(n Lf(x,y)dslimf(i,i)n0in f0i

2(t)2(t

f[(t),(t 2(t)2(ts x2y2 令tAds dx2 注意定积分的下限一定要小于上限;L:y(

axbLf(x,y)dsb

f[x,(x)]12(x)dx.(aL:x(

cyddLf(x,y)dsd

f[(y), 12((cd:x(t y(t),z(tf(x,y,

(t

f[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t( 求I

xydsL椭圆xacosyybsin

(第象限解I

2acostbsin (asint)2(bcost)20ab2sintcos a2sin2tb2cos20

aa

(令u a2sin2ta2sin2tb2cos2

2abb2.3(a例求ILL是圆x2y24位于y2sin L:y2sin

0t2I 0

2cost2sin (2sin(2sint)2(2cost82sintcos0 求ILL y24x上(1,2)到(1,2) t L

x

t 求ILL y24x上(1,2)到(1,2) t L

x

t t2I t2 2

2t2

求I: xacost, yasint,zkt的一周 0t2I

acostasint a2k20a2ka2k2x2y2a2 D由x2y2a2围(x2y2)dxdya2dxdya2a L x2y2(x2L

y2

a2dsa2 求I

x

x2y2z2a2: xyz 由对称x2ds

y2dsz 3I

(x2y2z2

a

求曲面x2(ya)2a2被曲面x2y2z24a2截下的面积 S

4a2x2y2z0yxy0xL: x2ya)2az0yxy0xL x2ya)2a2一象限中的部 0xacosL yaasin2at2

ty4a2x24a2x2 4 4cos