2020高中数学 学期综合测评（一）（含解析）1-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精学期综合测评（一)本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则eq\f（z1，z2）在复平面内对应的点位于（)A．第一象限 B．第三象限C．第二象限 D．第四象限答案D解析eq\f(z1，z2）＝eq\f(2＋i，1＋i)＝eq\f（3,2）－eq\f(i，2）,对应点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，2）,－\f(1，2）)）在第四象限．2．凡自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理（)A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一样D．两个“整数”概念不一致答案A解析此三段论中的大前提,小前提以及推理形式都是正确的,因此，此三段论推理是正确的，故选A.3．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若eq\f(z1,z2）为实数，则实数m的值为()A.eq\f（8,3）B。eq\f（3,2）C．－eq\f（8,3）D．－eq\f(3,2）答案D解析eq\f(z1，z2）＝eq\f（m＋2i，3－4i）＝eq\f（m＋2i3＋4i，3－4i3＋4i)＝eq\f（3m－8＋6＋4mi,32＋42)是实数，∴6＋4m＝0。∴m＝－eq\f（3,2）。4．已知数列｛an}的前n项和Sn＝n2·an（n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.eq\f(2，n＋12） B.eq\f(2，nn＋1）C.eq\f(2，2n－1) D。eq\f（2，2n－1）答案B解析∵a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,2×3)，a3＝eq\f(1，6)＝eq\f（2,3×4），a4＝eq\f（1，10)＝eq\f(2,4×5)，因此an＝eq\f（2，nn＋1）。5．阅读如下程序框图,如果输出的i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()A．S〈10？B．S<12？C．S<14？D．S〈16?答案B解析由题知,i＝2，S＝2;i＝3，S＝8；i＝4,S＝12.故选B。6．如图，在所给的四个选项中,最适合填入问号处,使两组图呈现一定的规律性的为（）答案A解析观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组的前两个图，可知选A。7．有如图所示的程序框图,则该程序框图表示的算法的功能是（）A．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数nB．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数nC．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最大整数n＋2D．输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋2答案D解析依题意与题中的程序框图可知,该程序框图表示的算法的功能是输出使1×2×4×…×n≥1000成立的最小整数n＋2，选D。8．已知两个变量x和y之间具有线性相关关系,5次试验的观测数据如下：x100120140160180y4554627592那么变量y关于x的回归直线方程只可能是()A．y＝0.575x－14.9 B．y＝0.572x－13。9C．y＝0.575x－12.9 D．y＝0。572x－14.9答案A解析可计算得eq\x\to(x)＝140，eq\x\to(y）＝65.6，代入检验可知回归直线方程只可能是y＝0.575x－14.9。9．若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位）,则p＋q的值是（）A．－1B．0C．2D．－2答案B解析把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p（1＋i)＋q＝0，即2i＋p＋pi＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，∵p，q为实数,∴p＋q＝0。10．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是(）A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12答案B解析后一种化合物应有4个C和10个H，所以分子式是C4H10.11．已知a，b,c，d为正数，S＝eq\f（a,a＋b＋c）＋eq\f(b，a＋b＋d)＋eq\f（c，c＋d＋a）＋eq\f(d，c＋d＋b）,则（）A．0〈S〈1 B．1<S<2C．2〈S<3 D．3<S〈4答案B解析S〈eq\f(a,a＋b)＋eq\f(b，a＋b)＋eq\f(c，c＋d)＋eq\f(d,c＋d）＝2,S>eq\f（a，a＋b＋c＋d)＋eq\f(b，a＋b＋c＋d）＋eq\f(c，a＋b＋c＋d）＋eq\f(d,a＋b＋c＋d)＝1.∴1〈S〈2。12．定义复数的一种运算z1＊z2|z1|＋｜z2｜,2)（等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*eq\x\to（z）的最小值为()A。eq\f（9,2)B.eq\f(3\r（2）,2）C。eq\f（3，2）D。eq\f(9，4)答案B解析z*eq\x\to（z）＝eq\f(｜z｜＋｜\x\to（z)|，2)＝eq\f(2\r(a2＋b2）,2)＝eq\r（a2＋b2)＝eq\r(a＋b2－2ab)，又∵ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b，2）)）2＝eq\f（9,4）,∴－ab≥－eq\f(9,4）,z*eq\x\to（z）≥eq\r(9－2×\f(9，4))＝eq\r(\f（9,2））＝eq\f（3\r（2),2).第Ⅱ卷(非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．已知复数z＝m2（1＋i)－m(m＋i）（m∈R），若z是实数，则m的值为________．答案0或1解析z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i,∴m2－m＝0,∴m＝0或1.14．观察下列等式：(1＋1)＝2×1（2＋1)（2＋2）＝22×1×3（3＋1）(3＋2）（3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________．答案(n＋1）（n＋2)…（n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析结合已知所给定的几项的特点,可知式子左边共n项，且从(n＋1）一直到(n＋n)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为（2n－1）,故所求表达式为:（n＋1)(n＋2）…（n＋n）＝2n×1×3×…×（2n－1)．15．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．答案3解析当k＝1时，a＝1，T＝1；当k＝2时，a＝0，T＝1；当k＝3时，a＝0，T＝1；当k＝4时,a＝1,T＝2；当k＝5时，a＝1，T＝3,则此时k＝k＋1＝6，所以输出T＝3。16。两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9，14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成,记第2016个梯形数为a2016，则a2016＝________.答案2017×1010解析5＝2＋3＝a1，9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋（n＋2)＝eq\f(n＋12＋n＋2，2）＝eq\f(1,2)×(n＋1)（n＋4),由此可得a2016＝2＋3＋4＋…＋2018＝eq\f(1,2）×2017×2020＝2017×1010。三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a，b为正数，求证：eq\f(1,a）＋eq\f（4,b)≥eq\f（9,a＋b）。证明∵a，b为正数,∴(a＋b）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,a）＋\f(4，b))）＝1＋4＋eq\f（b,a)＋eq\f(4a，b）≥5＋2eq\r(\f（b,a）×\f（4a，b))＝9，当且仅当b＝2a时取等号．∴eq\f(1,a)＋eq\f(4，b)≥eq\f(9,a＋b）。18．（本小题满分12分）已知复数z1＝2－3i，z2＝eq\f(15－5i,2＋i2）。求：(1)z1z2；(2）eq\f(z1，z2）.解因为z2＝eq\f（15－5i，2＋i2)＝eq\f（15－5i,3＋4i)＝eq\f（15－5i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－75i,25）＝1－3i，所以(1）z1z2＝（2－3i)(1－3i)＝－7－9i。（2)eq\f(z1，z2）＝eq\f(2－3i,1－3i）＝eq\f（2－3i1＋3i，1－3i1＋3i）＝eq\f(11＋3i,10)＝eq\f（11，10）＋eq\f（3，10）i。19．(本小题满分12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD＝DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(1)证明：PA∥平面EDB；（2)证明：PB⊥平面EFD.证明(1)连接AC,设AC∩BD＝O，连接EO，∵四边形ABCD是正方形,∴O为AC的中点,∴OE为△PAC的中位线，∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB。（2)∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC,∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC。∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.又∵PD⊥平面AC,DC⊂平面AC，∴PD⊥DC,而PD＝DC,∴△PDC为等腰三角形，∴DE⊥PC又BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面DEF。20．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据:K2〉2.706时，有90％的把握判定变量A,B有关联；K2〉3.841时，有95％的把握判定变量A，B有关联；K2>6。635时，有99%的把握判定变量A,B有关联．参考公式:K2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d))解（1)2×2列联表如下：晕机不晕机总计男乘客282856女乘客285684总计5684140(2)根据列联表中的数据,得K2的观测值k＝eq\f（140×28×56－28×282，56×84×56×84）＝eq\f(35,9）≈3.889>3。841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．21．(本小题满分12分）先解答（1），再通过结构类比解答(2)：（1）求证:taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4）))＝eq\f(1＋tanx，1－tanx)；（2)设x∈R，a为非零常数,且f（x＋a)＝eq\f(1＋fx，1－fx),试问：f(x）是周期函数吗？证明你的结论．解(1）证明：根据两角和的正切公式得taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4)）)＝eq\f（tanx＋tan\f(π,4),1－tanxtan\f(π，4）)＝eq\f（tanx＋1，1－tanx）＝eq\f（1＋tanx，1－tanx），即taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f（1＋tanx，1－tanx)，命题得证．（2)猜想f(x）是以4a为周期的周期函数．因为f(x＋2a)＝f［（x＋a）＋a］＝eq\f(1＋fx＋a,1－fx＋a）＝eq\f（1＋\f(1＋fx，1－fx)，1－\f(1＋fx，1－fx））＝－eq\f（1,fx），所以f（x＋4a）＝f[（x＋2a)＋2a]＝－eq\f(1,fx＋2a）＝f(x)．∴f(x）是以4a为周期的周期函数．22．（本小题满分12分)已知关于x的方程eq\f(x，a)＋eq\f（b,x)＝1，其中a、b为实数．(1）若x＝1－eq\r（3)i是该方程的根，求a、b的值；(2)当eq\f（b,a)>eq\f（1,4)且a〉0时，证明:该方程没有实数根．解(1）将x＝1－eq\r(3)i代入eq\f(x,a)＋eq\f（b,x）＝1，化简得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f