2020高中数学 习题课（二）导数及其应用 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精习题课（二）导数及其应用1。已知函数f（x）的导函数f′（x）＝a（x－b）2＋c的图象如图所示，则函数f(x）的图象可能是（)解析：选D由导函数图象可知，当x〈0时,函数f(x)递减，排除A、B;当0<x〈x1时，f′(x）>0，函数f（x）递增．因此，当x＝0时，f（x）取得极小值，故选D.2．已知函数f(x）＝eq\f（1，3）x3－eq\f(1,2）x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1,4)）) B．eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1,4）)）C。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)，＋∞）) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，4），＋∞)）解析：选A由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x）有极值，则Δ＝1－4c＞0,解得c＜eq\f(1，4）.3．已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值,则该函数的一个递增区间是(）A．(2,3） B．(3，＋∞)C．（2，＋∞) D．（－∞，3)解析:选B因为函数f（x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′（x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0,解得a＝－15.令f′(x）＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是（3，＋∞）．4．已知f(x)＝3x2＋lnx，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0)）eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx，Δx)＝(）A．7 B．eq\f（7,3）C．21 D．－21解析：选C∵f′（x）＝6x＋eq\f(1，x),∴eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f（f1＋2Δx－f1－Δx，Δx）＝3eq\o（lim，\s\do4（3Δx→0））eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,3Δx）＝3f5．函数y＝lnx－x在x∈（0,e]上的最大值为（)A．e B．1C．－1 D．－e解析:选C函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞）,又y′＝eq\f（1,x)－1＝eq\f(1－x,x），令y′＝0得x＝1，当x∈（0，1）时，y′〉0，函数单调递增;当x∈(1，e）时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1,故选C.6．已知函数f(x)＝－eq\f（1，3）x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f（x)在点(x0,f(x0））处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是()A．［6，＋∞) B．（－∞,2］C．［2，6］ D．［5，6］解析：选Cf′（x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6,因为x0∈［0,3]，所以f′（x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直,所以切线的斜率为m,所以m的取值范围是［2，6］．7．(2019·天津高考)曲线y＝cosx－eq\f（x,2)在点(0，1)处的切线方程为________．解析：y′＝－sinx－eq\f(1，2)，将x＝0代入，可得切线斜率为－eq\f（1,2)。所以切线方程为y－1＝－eq\f（1，2）x，即y＝－eq\f（1，2）x＋1.答案:y＝－eq\f（1，2)x＋18．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝eq\f（1，3）πr2h＝eq\f（π，3）h（2Rh－h2）＝eq\f（2，3）πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4，3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4，3)R。当0〈h〈eq\f（4R，3）时，V′>0；当eq\f（4R，3）<h<2R时，V′〈0.因此当h＝eq\f（4,3)R时，圆锥体积最大．答案：eq\f(4,3）R9．设x1，x2是函数f(x）＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．解析:由题意得f′(x）＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1,x2满足x1＜2＜x2，所以f′（2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a答案：（2，6）10．已知函数f(x)＝ex（ax＋b)－x2＋4x，曲线y＝f(x)在点（0，f(0））处的切线方程为y＝2x－3.(1)求a，b的值；（2）讨论f(x）的单调性,并求f（x）的极小值．解：（1）f′（x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4。∵曲线在点(0,f(0）)处的切线方程为y＝2x－3。∴f（0)＝－3,f′(0)＝2,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝－3，，a＋b＋4＝2，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1,，b＝－3。))（2)由（1),知f(x)＝ex（x－3)－x2＋4x，f′（x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2）（ex－2）．令f′（x)＝0，得x＝ln2或x＝2。∴当x∈(－∞，ln2）∪(2,＋∞）时，f′(x）>0；当x∈（ln2，2)时，f′（x）<0，故f(x）在（－∞，ln2)，（2,＋∞）上单调递增，在(ln2，2)上单调递减．∴当x＝2时，函数f（x)取得极小值，且极小值为f（2）＝4－e2。11．某工厂某种产品的年产量为1000x吨，其中x∈[20，100］,需要投入的成本为C（x）(单位：万元),当x∈［20，80］时，C(x）＝eq\f（1，2）x2－30x＋500;当x∈(80，100]时，C（x）＝eq\f（20000，\r（x)）.若每吨商品售价为eq\f(lnx，x）万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)（单位:万元）关于x的函数关系式;（2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：（1)由题意，知L（x）＝1000lnx－C（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1000lnx－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－30x＋500）)，x∈[20,80］，，1000lnx－\f（20000,\r(x)）,x∈80，100]。)）(2）当x∈[20，80]时，L′（x)＝－eq\f(x－50x＋20,x），由L′(x)≥0，得20≤x≤50;由L′（x)≤0,得50≤x≤80，∴L(x）在[20,50］上单调递增，在[50，80］上单调递减，∴当x＝50时,L(x)max＝1000ln50－250；当x∈（80，100］时，L（x）＝1000lnx－eq\f(20000，\r(x）)单调递增,∴L(x)max＝1000ln100－2000。∵1000ln50－250－（1000ln100－2000）＝1750－1000ln2〉1750－1000>0，∴当x＝50,即年产量为50000吨时,利润最大，最大利润为(1000ln50－250）万元．12．已知函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx的导函数为h(x），f(x)的图象在点(－2，f（－2）)处的切线方程为3x－y＋4＝0，且h′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2，3)））＝0，又直线y＝x是函数g（x)＝kxex的图象的一条切线．（1)求函数f(x)的解析式及k的值；（2)若f(x)≤g(x)－m＋1对于任意x∈［0，＋∞）恒成立，求m的取值范围．解：(1）由f（x)＝ax3＋bx2＋cx,可知h（x）＝f′(x）＝3ax2＋2bx＋c。由f（x）在(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0可知，f(－2）＝－8a＋4b－2cf′（－2）＝12a－4b＋c＝3，又由h′（x)＝6ax＋2b可知，h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(2,3））)＝－4a＋2b＝0，③由①②③,解得a＝eq\f(1，2），b＝1，c＝1，即f（x）的解析式为f(x）＝eq\f(1，2）x3＋x2＋x。由题意，g（x）＝kxex与y＝x相切可知函数在原点或(－lnk，－lnk)处切线斜率为1.因为g′（x)＝k（ex＋xex)，所以g′(0)＝k＝1或g′(－lnk)＝1，得k＝1。综上可得k的值为1.(2)若f(x)≤g(x）－m＋1对任意x∈［0，＋∞)恒成立，即eq\f(1,2）x3＋x2＋x≤xex－m＋1恒成立，则m－1≤xex－eq\f(1，2）x3－x2－x恒成立．设t(x）＝xex－eq\f（1,2）x3－x2－x＝xeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（ex－\f（1,2）x2－x－1））,令p（x）＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1，p′(