2022年四川省自贡市中考数学试卷

2022年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线、相交于点，若，则的度数是A． B． C． D．2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客余人．人数用科学记数法表示为A． B． C． D．3．（4分）如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是A． B． C． D．4．（4分）下列运算正确的是A． B． C． D．5．（4分）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标是A． B． C． D．6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是A． B． C． D．7．（4分）如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是A． B． C． D．8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是149．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多，则这个底角的度数是A． B． C． D．10．（4分）为外一点，与相切于点，，，则长为A． B．5 C．8 D．911．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案212．（4分）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）计算：．14．（4分）分解因式：．15．（4分）化简：．16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是鱼池．（填甲或乙）17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为厘米．18．（4分）如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．20．（8分）如图，是等边三角形，、在直线上，．求证：．21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用、、、表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，、等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属等级的概率．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点作直线轴，过点作于点，点是直线上一动点，若，求点的坐标．24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到，；（2）进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论；（3）已知，，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离．25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①，绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米，求树高．，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、、、在同一直线上），分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为1.5米．求（用、、表示）．26．（14分）已知二次函数．（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；（3）若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，，两点，试比较、的大小．

2022年四川省自贡市中考数学试卷答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线、相交于点，若，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据对顶角相等可得．解：，与是对顶角，．故选：．2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客余人．人数用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．解：，故选：．3．（4分）如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是A． B． C． D．【分析】将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立体图形是圆体．解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．故选：．4．（4分）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】根据有理数的乘方判断选项；根据平方差公式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据零指数幂判断选项．解：、原式，故该选项不符合题意；、原式，故该选项符合题意；、原式，故该选项不符合题意；、原式，故该选项不符合题意；故选：．5．（4分）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标是A． B． C． D．【分析】菱形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论．解：四边形是菱形，，即点与点关于原点对称，点，点的坐标是．故选：．6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：选项，，都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：．7．（4分）如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是A． B． C． D．【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到的度数，再根据三角形内角和可以求得的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．方法二：根据是的直径，可以得到，再根据和三角形内角和，可以得到的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．解：方法一：连接，如图所示，，，，，，，四边形是圆内接四边形，，，故选：．方法二：是的直径，，，，四边形是圆内接四边形，，，故选：．8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是14【分析】分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．解：选项，平均数（岁，故该选项不符合题意；选项，这组数据从小到大排序为：13，14，14，14，15，15，中位数（岁，故该选项不符合题意；选项，方差，故该选项不符合题意；选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意；故选：．9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多，则这个底角的度数是A． B． C． D．【分析】设底角的度数是，则顶角的度数为，根据三角形内角和是列出方程，解方程即可得出答案．解：设底角的度数是，则顶角的度数为，根据题意得：，解得：，故选：．10．（4分）为外一点，与相切于点，，，则长为A． B．5 C．8 D．9【分析】根据切线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到的值，根据勾股定理即可求解．解：方法一：如图，与相切于点，，又，，，．故选：．方法二：在中，，．故选：．11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．解：方案1：设米，则米，则菜园面积，当时，此时菜园最大面积为8米；方案2：当时，菜园最大面积米；方案3：半圆的半径，此时菜园最大面积米米；故选：．12．（4分）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出④正确．解：点，的坐标分别为和，线段与轴的交点坐标为，又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，，（顶点在轴上时取“”，故①正确；抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，当时，一定有随的增大而增大，故②错误；若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3，点的横坐标最大值为3，故③正确；令，则，，根据顶点坐标公式，，，即，，四边形为平行四边形，，，解得，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）计算：2．【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．解：，．故2．14．（4分）分解因式：．【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．解：．故．15．（4分）化简：．【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．解：，故．16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池．（填甲或乙）【分析】根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．解：由题意可得，甲鱼池中的鱼苗数量约为：（条，乙鱼池中的鱼苗数量约为：（条，，初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，故甲．17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为26厘米．【分析】根据题意，弦长20厘米，弓形高为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．解：如图，点是圆形玻璃镜面的圆心，连接，则点，点，点三点共线，由题意可得：，（厘米），设镜面半径为厘米，由题意可得：，，镜面半径为26厘米，故26．18．（4分）如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为．【分析】利用已知可以得出，长度不变，求出最小时即可得出四边形周长的最小值，利用轴对称得出，位置，即可求出．解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，，，四边形是平行四边形，，，，，为边的中点，，，由勾股定理得：，即的最小值为．故．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【分析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可．解：由不等式，解得：，由不等式，解得：，不等式组的解集为：，在数轴上表示不等式组的解集为：20．（8分）如图，是等边三角形，、在直线上，．求证：．【分析】要证明，只要证明即可，根据等边三角形的性质和可以证明，本题得以解决．证明：是等边三角形，，，，在和中，，，．21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间汽车用的时间，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．解：设张老师骑车的速度为千米小时，则汽车的速度为千米小时，由题意可得：，解得，经检验，是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米小时．22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用、、、表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，、等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属等级的概率．【分析】（1）利用抽查的学生总数等级的人数对应的百分比计算，即可求等级的人数；（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；（3）设等级2人分别用，表示，等级2人分别用，表示，画出树状图，即可求解．解：（1），等级的人数（人，条形统计图补充如下：（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数（人，估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；（3）设等级2人分别用，表示，等级2人分别用，表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属等级有2种，所求概率．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点作直线轴，过点作于点，点是直线上一动点，若，求点的坐标．【分析】（1）先把代入反比例函数求出的值即可得出其函数解析式，再把代入反比例函数的解析式即可得出的值，把，两点的坐标代入一次函数，求出、的值即可得出其解析式；（2）根据已知确定的长和点的坐标，由可得，从而得点的坐标．解：（1）在反比例函数的图象上，，其函数解析式为；在反比例函数的图象上，，，．，两点在一次函数的图象上，，解得，一次函数的解析式为：；（2）直线轴，，，，，，点是直线上一动点，或．24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到，；（2）进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论；（3）已知，，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求解．（1）解：把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，矩形的各边的长度没有改变，，，，故，；（2）证明：四边形是矩形，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，；（3）如图，过点作于，，点是的中点，，在中，，，，，，，，与之间的距离为．25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支