新高考数学理一轮总复习知能演练51数列的概念与简单表示法(含答案详析)

一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，的一个通项公式是()A.－1n＋1nπ2B．cos2n＋1n＋2C．cos2πD．cos2π剖析：选D.令n＝1,2,3，逐一考据四个选项，易得D正确．2．已知数列{an}满足a1>0，an＋1＝1，则数列{an}是()an2A．递加数列B．递减数列C．摇动数列D．不确定an＋11剖析：选B.∵an＝2<1，又a1>0，则an>0，∴an＋1<an，∴{an}是递减数列．3．(2013东·营质检)在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1＋an，则a2013等于()1－an1A．－2B．－31C.2D．31，a3＝1，a4＝3，a5＝－2，a6＝－1，，剖析：选A.由条件可得：a1＝－2，a2＝－323所以数列{an}是以4为周期的数列，所以a2013＝a1＝－2.n＝log3nn，nn＋1(n∈N＋则使Sn＜－4成立的最小自然数n等于()A．83B．82C．81D．80剖析：选C.Sn＝log33333331－log2＋log2－log3＋＋logn－log(n＋1)＝－log(n＋1)＜－4，解得n＞34－1＝80.最小自然数为81.5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()n＋1n－1A．2n－1B．(n)C．n2D．n剖析：选D.法一：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，an＋1anan∴＝n，∴数列{n}是常数列．n＋1ana1且n＝1＝1，∴an＝n.法二：(累乘法)n≥2时，an＝an－1an－1n－1＝，an－2n－2a3＝3，a2＝2，两边分别相乘得a22a11又∵a1＝1，∴an＝n.二、填空题

，n－1an＝n.26．已知数列{2n}，则0.98是它的第________项．n2n＋149剖析：n2＋1＝0.98＝50，∴n＝7.答案：77．数列{an}中，an＝1，Sn＝9，则n＝________.n＋n＋1剖析：an＝1＝n＋1－n，n＋1＋n∴Sn＝(2－1)＋(3－2)＋＋(n＋1－n)n＋1－1＝9，∴n＝99.答案：998．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．剖析：∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，*a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N)，答案：8三、解答题9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.2529*(2)∵an＝n－5n＋4＝n－2－4，又n∈N，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.110．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，)，求an.1解：∵an＋1＝3Sn，1∴an＝3Sn－1(n≥2)，∴an＋1－an＝1n－Sn－1)＝1n3(S3a(n≥2)，4∴an＋1＝3an(n≥2)．又a1＝1，a2＝11＝11＝1，3S3a34∴{an}是从第二项起，公比为3的等比数列，1，n＝1，∴an＝1·4n－2，n≥2.33一、选择题1．(2011高·考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．55剖析：选A.∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足an≤2的正整数n的会集为()nA．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3}D．{1,2,4}剖析：选B.因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而an≤2即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4.n二、填空题Tn＝5n2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为3．已知数列{an}的前n项的乘积为an＝________.剖析：当n＝1时，a1＝T1＝512＝5；当n≥2时，an＝Tn5n22＝52n1*＝－(n∈N)．Tn－15n－1当n＝1时，也适合上式，*2n1所以当n∈N时，an＝5－.4．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则an的最小值为________．n剖析：由an＋1－an＝2n，得an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，，a2－a1＝2.将这n－1个式子累加得an－a1＝2n－11＋n－1＝n2－n.2∵a1＝33，∴an＝n2－n＋33，∴an＝n2－n＋33＝n＋33－1.nnnan21当n＝6时，n有最小值2.答案：212三、解答题5．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；4*(2)设cn＝1－an(n∈N)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．解：(1)依题意，＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.又由a>0得a＝4，∴f(x)＝x2－4x＋4.∴Sn＝n2－4n＋4.当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.1n＝1，∴an＝2n－5

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