4第四章 第五章 极限定理

第四章随机变量的数字特征第五章极限定理一、填空题1、设随机变量X的数学期望为,，均方差为。〉0，则当a=，b=时,2、设X与Y独立，且EX=EY=0,DX=DY=1，贝'JE(X+2Y)2=。3、设连续型随机变量x的密度函数为f(x)=[aX+b0Vx<1且dx=1，[0其他18则a=，b=，EX=。4、一颗均匀骰子重复掷10次，则10次中点数3平均出现的次数为，最可能出现点数3的次数为。5、设随机变量X服从一区间上的均匀分布，且EX=3,DX=3，则X的密度函数为。P(X=2)=。6、设随机变量x~b(n,p),EX=2.4,DX=1.44,则n=，p=。7、设随机变量x服从参数为2的指数分布，y服从参数为4的指数分布，则E(2X2+3Y)=。8、从废品率为5%的一大批产品每次取一个产品，直到取到废品为止，平均要取个产品。9、设随机变量X和Y独立，且X~U(0,2),Y~e(3)，则E(XY)=。10、设X,X，…X相互独立，且P(X=k)=—e—1(k=0,1,2,,,;i=1,2,...,100)12100ik!则P②X<120)牝。i=111、已知随机变量X的密度函数为f(x)=e-x2+2x—1(一8<x<+8)，i兀则E(X)=,D(X)=。12、设x1~U(0,6),X2~N(0,22),X3~e(3)，则D(X1+2X2-3X3)=。13、14、设随机变量X~U(-1,2)，则随机变量Y=<1X>00X=0，则D(Y)=-1X<0设随机变量X和Y独立，13、14、设随机变量X~U(-1,2)，则随机变量Y=<1X>00X=0，则D(Y)=-1X<015、①3/25/33/4若随机变量x的分布律为P(X=k)=A：；(k=0,1,2,..•)，且E(X)=a，16、设x表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4,则E(X2)15、①3/25/33/4选择题】、设X~e(1)，则E(X+e-x)为(2、已知随机变量X，Y的方差DX,DY存在，且DX。0,DY。0,E(XY)=(EX)(EY)，则下歹U一定成立的是(①X与Y一定独立②X与Y一定不相关③D(XY)=(DX)(DY)④D(X-①X与Y一定独立②X与Y一定不相关③D(XY)=(DX)(DY)④D(X-Y)=DX-DY3、设x的分布律为P(X=xk)=pk如果()，则EX不一定存在。①k=1,2,…n②k=1,2，…2、pk收敛k=1③k=1,2,…,气>0,收敛k=14、设随机变量x的方差DX存在④k=1,2，…,xV0,£刑收敛k=1则D(aX+b)=(ab为常数,①aDX+b②a2DX+b③a2DX④aDX5、设x为随机变量，D(10X)=10，则DX=(1106、已知随机变量xY相互独立10且都服从POISSON分布100又知EX=2,EY=3，则E(X+Y)2=(5110253051102530TOC\o"1-5"\h\z7、设随机变量X〜N(|i,b2),EX=3,DX=1?则P(-1<X<1)=()①2①⑴-1②①(4)-①(2)③中(—4)—①(-2)④中(2)一中(4)8、设随机变量X〜N(2,22)，贝JZ>(-X)=()①1②2③L④29、设随机变量x服从指数分布，且QX=0.25,则X的密度函数为f(x)①Reax>0②11^-/尤>0③*小x>0④尤>0[0x<0|20x<0[0x<0|40x<010、设随机变量X的概率密度为/⑴」、齐x>0则错误的是(J00x<0①E(X)=9②o〉O③P(-1<X<l)=l-ed④分布函数F(X)=l-e~e11>设随机变量x,Y满足D(X+K)=D(X-V)，则正面正确的是()①x,K相互独立②X,K不相关③D(Y)=0④D(X)D(K)=00x<012、设随机变量X的分布函数为E3)二，30<x<l贝'」E(X)=(1X>1x^dxf3x^dxfx^dx+fxdxJ3x^dx0o01013、有一群人受某种疾病感染的占20%,现从他们中随机抽取50人，则其中患病人数的数学期望与方差是(x^dxf3x^dxfx^dx+fxdxJ3x^dx①25和8②10和2.8③25和64④10和814、设随机变量xxx均服从区间(。，2)上的均匀分布，则E0X-X+2X)二123123①1②3③4④1215、设x,x•为独立同分布的随机变量序列，若()时，则｛y｝服从12nn切贝晓夫大数定律。X的分布律的是P(X=k)二土(SO,1,2，…)i，ek\X的分布律的是P(X.=k)=^—号1,2,...)i1k(k+1)

③X.的密度函数为f(x)=1兀(1+X2)(一8<X<+8)④X.③X.的密度函数为f(x)=1兀(1+X2)(一8<X<+8)④X.的密度函数为g(x)=I-A<x30LimP<ns江X-nLimP〈4nT8&-niv'nLimP〈4msLimP〈4ms£X—nMiLimP〈4ns17、设X「X2，…,X100。,...为独立同分布的随机变量序列，且X.〜b(1,p)(i=1,2,...1000)，则下列中不正确的是()①11如X机p②耍X〜b(1000,p)③P(a<耍X.<b)^①(b)-①(a)=1i=1i=1④P(a<臂0X<b)=0(b-1000P)-0(a-100°P)■=1*；1000pqJ1000pq三、计算题1、设随机变量X和Y相互独立且均服从N(0」)，求|X-y|的数学期望。2、设球的直径(单位：mm)x〜u(10,11)，求球的体积的数学期望。3、已知X〜N(1,32),y〜N(0,42),PXy=-0.5，设z=X/3+%，求Z的数学期望和方差及X与Z的相关系数。4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，今随机抽查100个索赔户，求其中被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率。5、甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束，假设每次比赛甲队获胜的概率为0.6，求比赛场数的数学期望。6、某城市的市民在一年内遭受交通事故的概率为千分之一。为此，一家保险公司决定在这个城市新开一种交通事故险，每个投保人每年交付保险费18元，一旦发生事故，将得到1万元的赔偿。经调查，预计有10万人购买这种险种。假设其他成本共40万元求（1）保险公司亏本的概率是多少？（2）平均利润为多少？7、设随机变量X有有限期望EX及方差dxc试用切贝谢夫不等式估计P（EX-3b<X<EX+3房的值。8、设随机变量X的方差为2.5,试用切贝谢夫不等式估计概率尸｛x-ex|>5｝的值。9、某计算机系统有120个终端，各终端使用与否相互独立，如果每个终端有20%的时间在使用，求使用终端个数在30个至50个之间的概率。10、一系统由100个相互独立的部件组成，在系统运行期间部件损坏的概率为0.05,而系统只有在损坏的部件不多于10个时才能正常运行，求系统的可靠度。11、某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理计算：⑴同时用电户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证供电12、对次品率为0.05的一批产品进行抽样检查，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不合格，那么应检查多少个产品，才能使这批产品被认为是不合格的概率（可信度）达到90%。13、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率。14、某厂产品的寿命服从指数分布，其概率密度为f（^）」1eft>0，工厂规定，f（t）14t<0售出的产品若在一年内损坏可以调换。若工厂售出1个产品，能获利120元；调换1个产品，工厂要花费350元，试求工厂出售1个产品的平均获利。15、一商店经销某种商品，每周进货的数量x与商品的需求量v相互独立，且均服从均匀分布u（10,20）。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元，试计算此商店经营该各商品每周平均获利。16、在一家保险公司有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，一年内一个人死亡的概率为0.006,其家属可获得1000元赔偿费，求（1）保险公司没有利润的概率；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率。三、证明题1、设（x,v）在单位圆内服从均匀分布，试证X与Y不相关，但不相互独立。2、设x项（0,1），则X与v=iX|不相关，但不相互独立3、设x与Y都是0—1分布，试证x与Y不相关的充分必要条件是x与Y独立。4、证明：取值于［ab］区间上的随机变量X，必有d（X）＜（b—a）2，45、设AB是两事件，X=\1若A出现Y=「若B出现，-1若人不出现［-1若B不出现证明X与Y独立的充分必要条件是A,B独立。第四章随机变量的数字特征第五章极限定理一、填空题1、。=普,b=±12、5

3、4、5、8、10、12、1、11、12、1、2、3、a+b=12(a,\32>]』；=：,E(X)=2或‘；=；,E(X)3、4、5、8、10、12、1、11、12、1、2、3、a+b=12(a,\32>]』；=：,E(X)=2或‘；=；,E(X)=11[b=03[b=2318平均出现的次数10/6,最可能出现点数3的次数为112x日2,4),P(X=2)=06、n=4，p=0.47、202XW(2,4)P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3p=0.05,E(X)=-9、3pP(£x<120)5ii=13636+4x22+9x3212选择题(120-100\1013、①2、②3、=0(2)=0.9772H、E(X)=1,D(X)=L<2214、4、③②13、④14、③15、计算题8/95、15、①6、16、①17、16、18.47、②8、①9、①10、④用X-Y~N(0,1)，令Z=X-Y，EIZ1=2^-^e2

侦2兀

02du=3,EV)=牛m3dx=如丸83810E(Z)=EX§+EY3=1，D(Z)=1DX+1DY+2x1x1Cov(X,Y)=3，'3，’239432Cov(X,Y)'DX-DYpxy=-6,Cov(X,Z)=E(XZ)-EX-EZ=0，p忍=0X为100个索赔户中被盗索赔户数，X~b(100,0.2)所求P(14<X<30)，0.9274、5、设X表示比赛场数，Ai表示第i次比赛甲队获胜，p=P(A)=0.6,q=P(A)=0.4iiP(X=k)=Ck-4p4qk-4+Ck-4q4pk-4,k=4,5,6,7;E(X)=£kP(X=k)kk46、X为遭受交通事故的人数，X~b（100000,0.001），（】）P(X>180-40)=0.00003（2）保险公司利润y=140-X,E（Y）=40（万兀）=8/97、P{EX—3O<X<EX+3O}=P{IXEXI<3O}^1~Z!

=8/98、P{IX-EX]N5IW矣=0.1529、用中心极限定理X~B(120,0.2)所求为P{30WXW50}=0.08110、设X表示损坏的部件个数。由X~B（100,0.05）。所求为P{XW10}=0.9811、设X表示在用电高峰时，同时用电的户数。⑴所求为P{X>9030},由X~B(10000,09)=0