线性代数与空间解析几何-第一章

1.4分块矩例 A

102520631102520631又如

22A

O块对角矩块对角矩000 2000常用的几种分块方法A(aij

11

(ai1

ain

i1,2,..., mA(aij

(1

2

n1 1

其中

(a1j

A

At

1

分块矩阵的运

B1s加法同型矩

A

B r1分块方法相

rs

r1

rsA

A11 Ar1

B1s Brs数乘分块矩

A(

)stkA(kAij)st乘A(aij)mn,B(bij)np乘

B1tAB

B2t

Bst其中C是rt分块矩sCkl

(k

例1求

A0解AB

A 2 注意设A,B均为n阶矩阵，且分块相同11A

Am

11B

BmABAk呢？

将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的.只前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致就行了.30030010 O O 300300100010010 例2如何分块来求

0 0

0 1A

0,

B

0 0

01020000 1020000

A

O23

2B 2

I3

O32ABI2

O23

I212 212

I3 I3

O32 A1B1I3 A,l转置分块矩阵AA,l

AT

(

)ts

其中Blk

k例

AT

21A

则

AT 23

AT 23逆逆11D

d

d1

...,

D1

111设A

n

dn1A1Am设A

A11

A1mA1A1特殊：Adddd1mA1d

d11

d1

dm 0例3设矩

A的逆

A33

1 0 0 0 A

1

034 034

OA1

1

第一

是mn个数组成的数表几类特殊矩阵：零矩阵

0mn行矩阵：A

an

b1列矩阵：B

T

b2

方阵：Ann

bn

a1n三角阵：A

a2n

annB

00

下三角阵 ann11对角阵

an

an单位阵

1二、矩线性运算1加法：

Bmn

mn2

mn3八条乘法：

AmrBrnCmn3一般，3一般，ABBAAB0A0或B0ABACA0BC

cijai1b1

ai2b2

air

转置：A

,,

TAA

AB三、矩阵的

BT初等变换与初等矩阵倍乘与数乘的区别A可逆AB

BAAB

IBA

A,

B为方阵AX0只有零AX

b有唯一AA与

行等价等 A

BA1

PQ为可逆矩阵AI

A1四、分块矩AB:A的列的分法与B块对角阵11A

Ak

11B

BkAB

A1

2 21

（Ai可逆A

A11,A ,A

1 五 消元AXAb

行阶梯

c2,rcr,r0

c2ncr,r0

d2 dr 00dr1

0无解；

r100000000000dr101rn

有唯一解

d1,

,,

dn

rn

有无穷多组解例1

22

122AIT求AB

BI2T解AB

T

2TI

2TI

2TT

120 2

1 2

10 01 12AB

I

212

I例

A

O证明：AO 设A

且

AA2AA

AATBb a2a2

2iji

,n i1 i

1,22A2O2

ai1

ai

i

2,

n22A是实矩阵22

0i

j

2,

nA0例3

A的逆A

00

ni

0 an1a000 a000

0 A解A 1

n1

Oa000 a000 0 10 an1 1

1

OO

0 0 例4

1 1 1 1

0011

1 B 110 10AXA

BXB

AXB

BXAAXA

B

BXB

AAXA

B

BXA

BA

BXA

B若AB可逆,A

I0000