山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练二主观题专练概率与统计7含解析

PAGE概率与统计(7)1．[2024·山东高考第一次大联考]下面给出了依据我国2012年～2024年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回来方程的残差图(2012年～2024年的年份代码x分别为1～7)(1)依据散点图分析y与x之间的相关关系；(2)依据散点图相应数据计算得＝1074，＝4517，求y关于x的线性回来方程；(精确到0.01)(3)依据线性回来方程的残差图，分析线性回来方程的拟合效果．附：回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).2．自来水公司对某镇居民用水状况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得到他们10月份的用水量(单位：吨)，用水量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的用水量频率分布直方图如图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(1)求a的值，并依据样本数据，估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值；(2)以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在[5,15]内的用户数为X，求X的分布列和数学期望．3．[2024·新高考Ⅰ卷]为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事务“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”(2)依据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依据(2)中的列联表，推断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．[2024·山东烟台、菏泽联考]某饮料公司安排从A，B两款新配方饮料中选择一款进行重点推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两款饮料，并分别对A，B两款饮料进行评分．现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理，得到如下统计图．从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买．(1)在受访的100万人中，求对A款饮料评分在60分以下的有多少万人？(2)用频率估计概率，现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率．(3)假如你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．5．[2024·山东日照校际联考]为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5758606162636465666768697072合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值u＝64，标准差σ＝2.2，以频率作为概率的估计值．(1)为评估设备M的性能，从样本中随意抽取一个零件，记其直径为X，并依据以下规则进行评估(P表示相应事务的概率)：①P(u－σ<X≤u＋σ)≥0.6827；②P(u－2σ<X≤u＋2σ)≥0.9545；③P(u－3σ<X≤u＋3σ)≥0.9973.若同时满意上述三个不等式，则设备M的性能等级为甲；若满意其中两个不等式，则设备M的性能等级为乙；若仅满意其中一个不等式，则设备M的性能等级为丙；若全部不满意，则设备M的性能等级为丁．试推断设备M的性能等级．(2)将直径小于或等于u－2σ或直径大于u＋2σ的零件认为是次品．(ⅰ)从设备M的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望；(ⅱ)从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望E(Z)．6．[2024·山东淄博部分学校联考]某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y(单位：元)与生产该产品的数量x(单位：千件)有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524依据以上数据，绘制了如图所示的散点图，视察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y＝a＋eq\f(b,x)和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合，已求得用指数函数模型拟合的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝96.54e－0.2x，lny与x的相关系数r1＝－0.94.参考数据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ui＝\f(1,xi)))：eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))uiyieq\o(u,\s\up6(－))eq\o(u,\s\up6(－))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))ueq\o\al(2,i)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yieq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)e－2183.40.340.1151.5336022385.561.40.135(1)用反比例函数模型求y关于x的回来方程．(2)用相关系数推断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．(3)该企业实行订单生产模式(依据订单数量进行生产，即产品全部售出)．依据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，依据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由．参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回来直线＝eq\o(α,\s\up6(^))－eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))u\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))u\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))v\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)).概率与统计(7)1．解析：(1)依据散点图可知y与x正线性相关．(2)由所给数据计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(1＋2＋…＋7)＝4，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝28，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝4517－4×1074＝221，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(221,28)≈7.89，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1074,7)－7.89×4≈121.87，所求线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝7.89x＋121.87(3)由题中给出的残差图知历年数据的残差均在－2到2之间，说明线性回来方程的拟合效果较好．2．解析：(1)由题意得，(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可知该镇居民10月份用水量的众数为20吨．50户居民10月份用水量的平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(吨)．故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨．(2)利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5,15]内的概率为0.2，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(1,5)＝eq\f(48,125)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(12,125)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(1,125).∴X的分布列为X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)∴E(X)＝0×eq\f(64,125)＋1×eq\f(48,125)＋2×eq\f(12,125)＋3×eq\f(1,125)＝eq\f(3,5).3．解析：(1)依据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为eq\f(64,100)＝0.64.(2)依据抽查数据，可得2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)依据(2)的列联表得K2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．4．解析：(1)由A款饮料的评分饼状图，得对A款饮料评分在60分以下的频率为0.05＋0.15＝0.2，∴对A款饮料评分在60分以下的有100×0.2＝20(万人)．(2)设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事务C.记购买A款饮料的可能性是20%为事务A1；购买A款饮料的可能性是60%为事务A2；购买A款饮料的可能性是90%为事务A3；购买B款饮料的可能性是20%为事务B1；购买B款饮料的可能性是60%为事务B2；购买B款饮料的可能性是90%为事务B3.则P(A1)＝0.05＋0.15＝0.2，P(A2)＝0.1＋0.2＝0.3，P(A3)＝0.15＋0.35＝0.5，P(B1)＝eq\f(5＋5,100)＝0.1，P(B2)＝eq\f(15＋20,100)＝0.35，P(B3)＝eq\f(15＋40,100)＝0.55.∵事务Ai与Bj相互独立，其中i，j＝1,2,3，∴P(C)＝P(A2B1＋A3B1＋A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.3×0.1＋0.5×0.1＋0.5×0.35＝0.255，∴估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率为0.255.(3)从受访者对A，B两款饮料购买期望角度看，A款饮料“选择倾向指数”X的分布列为X0.20.60.9P0.20.30.5B款饮料“选择倾向指数”Y的分布列为Y0.20.60.9P0.10.350.55∴E(X)＝0.2×0.2＋0.6×0.3＋0.9×0.5＝0.67，E(Y)＝0.2×0.1＋0.6×0.35＋0.9×0.55＝0.725，则E(X)<E(Y)，故新品推介应当主推B款饮料．5．解析：(1)因为P(u－σ<X≤u＋σ)＝P(61.8<X≤66.2)＝0.8≥0.6827，P(u－2σ<X≤u＋2σ)＝P(59.6<X≤68.4)＝0.94<0.9545，P(u－3σ<X≤u＋3σ)＝P(57.4<X≤70.6)＝0.98<0.9973，所以设备M的性能等级为丙．(2)易知样本中次品共6个，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(ⅰ)由题意可知Y～B(2,0.06)，于是E(Y)＝2×0.06＝0.12.(ⅱ)Z的分布列为Z012Peq\f(C\o\al(2,94),C\o\al(2,100))eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,94),C\o\al(2,100))eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,100))故E(Z)＝0×eq\f(C\o\al(2,94),C\o\al(2,100))＋1×eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,94),C\o\al(2,100))＋2×eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,100))＝eq\f(3,25)＝0.12.6．解析：(1)令u＝eq\f(1,x)，则y＝a＋eq\f(b,x)可转化为y＝a＋bu，因为eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(360,8)＝45，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))uiyi－8\o(u,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))u\o\al(2,i)－8\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(183.4－8×0.34×45,1.53－8×0.115)＝eq\f(61,0.61)＝100，则eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))＝45－100×0.34＝11，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋100u，所以y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋eq\f(100,x)