九年级下册数学课件(北师版)锐角三角函数-第一课时

第一章

直角三角形的边角关系1锐角三角函数（第1课时）第一章1锐角三角函数1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.2.了解坡度、坡角的概念，并能用正切进行简单的计算.学习目标重点难点重点：理解正切的概念.难点：理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.学习目标2生活中的梯子梯子是我们日常生活中常见的物体.情境导入生活中的梯子梯子是我们日常生活中常见的物体.情境导入3

你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？4

实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？图①图②实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？5

实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.比值大的梯子陡.你能设法验证这个结论吗？图③图④实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎6

如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

A

C2

C1B2B11知识点正切知识点1感悟新知如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说

C2(1)直角三角形A

B1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2)

和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?由感性到理性

C2C1

A

B2

B1知识点1C2(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB8(1)Rt△

AB1C1和Rt△

AB2C2有什么关系?相似(2)

A

C2C1B2B1知识点1(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?9∵∠A=∠A

，∠AC1B1=∠AC2B2，∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2.

A

C2C1B2B1知识点1∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2，AC2C10

在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的.归

纳知识点1在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的

AB

C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanA∠A的正切在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫作∠A的正切.记作:tanA.读？思考梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？知识点1ABC∠A的对边∠A的邻边∠A的对12（1）tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）.（2）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.

注意：知识点1注意：知识点113（3）tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tanA﹥0，无单位.（4）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关.知识点1（3）tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且t14议一议：梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？

tanB的值越大，梯子越陡，∠B越大.?怎样解答

A

BC知识点1议一议：梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？tan15归纳(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾

斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程

度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放

置得越“陡”．知识点1归纳(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，16例１

如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？乙

甲

13m5m

6m

8m知识点1例１如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？乙甲17解：甲梯中，

tanα=.

乙梯中，

tanβ＝.因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.知识点1解：甲梯中，乙梯中，知识点118例2

在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.2012?怎样解答ABC知识点1例2在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB19tanA=tanB=.

解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm),知识点1tanA=tanB=.解：在△ABC中，∠C＝90°，20解题小结直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义

求解．知识点1解题小结直角三角形中求锐角正切值的方法：知识点121例3（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．根据题意得∠BCD＝∠CAB，所以tan∠BCD＝tan∠CAB＝解析：答案：知识点1例3（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，22解题小结直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量．知识点1解题小结直接求某个锐角的正切值有困难时，可232知识点坡度和坡角探究如图是某一大坝的横断面.坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比与α有什么关系？αACBDE坡面AB与水平面的夹角叫作坡角.知识点22知识点坡度和坡角探究如图是某一大坝的横断面.αACBDE坡24正切通常也用来描述山坡的坡度.坡度：铅直高度与水平宽度的比，记作i，也称为坡比.EFABCD50m60mtanA=5/6知识点2正切通常也用来描述山坡的坡度.EFABCD50m60mt25例4以下对坡度的描述正确的是(

)A．坡度是指倾斜角的度数B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测

坡度即为倾斜角的度数．B知识点2特别提醒：坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切．例4以下对坡度的描述正确的是()B知识点2特26解：由勾股定理可知，AC＝＝≈192.289(m)，∴tan∠BAC＝≈≈0.286.所以，山的坡度大约是0.286.例5如图，某人从山脚下的点A走了200

m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度（结果精确到0.001).B知识点2解：由勾股定理可知，例5如图，某人从山脚下的点A走了2271.判断对错:(1)如图1，

tanA=

.

（

）(2)如图1，

tanB=.

（）

图1错错?怎样解答ABC随堂练习1.判断对错:(1)如图1，tanA=.（28(４)如图2，tanB=

.

（

）

图2(３)如图2，tanA=0.7m.

（）错对?怎样解答ABC10m7m(４)如图2，tanB=.（）292.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（）A.扩大100倍

B.缩小100倍C.不变D.不能确定C2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，t303.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出tanC吗？tanC=BACD41.53.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给314.在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB.tanB=12/5131310D512BACD4.在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求ta325.如图，∠C=90°，CD⊥AB，则

tanB=.CDBDACBCADCDABCD5.如图，∠C=90°，CD⊥AB，则CDBDA33（1）正切的定义：∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tanA，即tanA＝ABC∠A的对边a┌斜边c∠A的邻边b（2）正切与坡度（角）的关系：坡度就是坡角的正切．课堂小结（3）数形结合的方法；构造直角三角形的意识.

（1）正切的定义：∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作t34第一章

直角三角形的边角关系1锐角三角函数（第1课时）第一章1锐角三角函数1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.2.了解坡度、坡角的概念，并能用正切进行简单的计算.学习目标重点难点重点：理解正切的概念.难点：理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.学习目标36生活中的梯子梯子是我们日常生活中常见的物体.情境导入生活中的梯子梯子是我们日常生活中常见的物体.情境导入37

你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？38

实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？图①图②实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？39

实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.比值大的梯子陡.你能设法验证这个结论吗？图③图④实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎40

如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

A

C2

C1B2B11知识点正切知识点1感悟新知如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说

C2(1)直角三角形A

B1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2)

和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?由感性到理性

C2C1

A

B2

B1知识点1C2(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB42(1)Rt△

AB1C1和Rt△

AB2C2有什么关系?相似(2)

A

C2C1B2B1知识点1(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?43∵∠A=∠A

，∠AC1B1=∠AC2B2，∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2.

A

C2C1B2B1知识点1∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2，AC2C44

在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的.归

纳知识点1在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的

AB

C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanA∠A的正切在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫作∠A的正切.记作:tanA.读？思考梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？知识点1ABC∠A的对边∠A的邻边∠A的对46（1）tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）.（2）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.

注意：知识点1注意：知识点147（3）tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tanA﹥0，无单位.（4）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关.知识点1（3）tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且t48议一议：梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？

tanB的值越大，梯子越陡，∠B越大.?怎样解答

A

BC知识点1议一议：梯子的倾斜程度与tanB有什么关系？tan49归纳(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾

斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程

度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放

置得越“陡”．知识点1归纳(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，50例１

如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？乙

甲

13m5m

6m

8m知识点1例１如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？乙甲51解：甲梯中，

tanα=.

乙梯中，

tanβ＝.因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.知识点1解：甲梯中，乙梯中，知识点152例2

在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.2012?怎样解答ABC知识点1例2在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB53tanA=tanB=.

解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm),知识点1tanA=tanB=.解：在△ABC中，∠C＝90°，54解题小结直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义

求解．知识点1解题小结直角三角形中求锐角正切值的方法：知识点155例3（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．根据题意得∠BCD＝∠CAB，所以tan∠BCD＝tan∠CAB＝解析：答案：知识点1例3（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，56解题小结直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量．知识点1解题小结直接求某个锐角的正切值有困难时，可572知识点坡度和坡角探究如图是某一大坝的横断面.坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比与α有什么关系？αACBDE坡面AB与水平面的夹角叫作坡角.知识点22知识点坡度和坡角探究如图是某一大坝的横断面.αACBDE坡58正切通常也用来描述山坡的坡度.坡度：铅直高度与水平宽度的比，记作i，也称为坡比.EFABCD50m60mtanA=5/6知识点2正切通常也用来描述山坡的坡度.EFABCD50m60mt59例4以下对坡度的描述正确的是(

)A．坡度是指倾斜角的度数B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测

坡度即为倾斜角的度数．B知识点2特别提醒：坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切．例4以下对坡度的描述正确的是()B知识点2特60解：由勾股定理可知，AC＝＝≈192.289(m)，∴tan∠BAC＝≈≈0.286.所以，山的坡度大约是0.286.例5如图，某人从山脚下的点A走了200

m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度（结果精确到0.001).B知识点2解：由勾股定理可知，例5如图，某人从山脚下的点A走了2611.判断对错:(1)如图1，

tanA=

.

（

）(2)如图1，

tanB=.

（）