课件-高等数学上第四章4-xiti

1、基本概 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，初始条件用来确定任意常数的条件初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，2、一阶微分方程的解分离变量分离变量形如gy)dy

f(解法

g(y)dy

f(齐次方

dy

f(yx解 作变量代

uxdyf

ax

byc a1xb1y当c

时

齐次方程．否则为非齐次方程解

yY

化为齐次方程（其中h和k是待定的常数形如dy

P(x)

Q(x)当Qx)当Qx)

上方程称为齐次的上方程称为非齐次的解法齐次方程的通解

yCeP(x)dx（使用分离变量法非齐次微分方程的通解y

Q(x)eP(x)dx

C]eP(x（常数变易法(Bernoulli)方dy

P(x)

Q(x)

(n

当n当n

解法需经过变量代换化为线性微令z

e(1n)P(x)dx(Q(x)(1

e(1n)P(x)dxdx

3、可降阶的高阶微分方程的解

y(n

fx)解法接连积分n(2)

y

f(

y)特点不显含未知函数解

y

P(

y

代入原方程

Pf(3)

y

f(

y)特 不显含自变量x.解

y

P(

y

Pdp代入原方程

Pdp

f(y,P４、线性微分方程解的结

P(x)yQ(x)y

1果函数y1x)与y2x)是方程(1)的两解,那末

C1

C2y2也是(1)的解.（C1C2是2：如果y1x)y2x)是方程(1)的两个线无关的特解,那么

C1

C2y2就是方程(1)的

P(x)yQ(x)y

f(x)

定理3设y*是(2)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1yY非齐次线性微分方程(2

y*是二阶定理 设非齐次方程(2)的右

fx)是几个函数之和,如

P(x)y

Q(x)y

f1(x)

f2(x)12y*y*分别是方程,12yy

P(x)yP(x)y

Q(x)yQ(x)y

f1(x)2f2(x)2y1的特解,那么y1

y*就是原方程的特解.５、二阶常系数齐次线性方程解y(n)

y(

Pny

f(x)yy

pyqypyqy

0f(x)

解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确ypyqy特征方程

r2

prq实根r1实根r1复根r1,2yC1er1xC2er2y(C1C2x)er2yex(C1cosxC2sinx)推广：n阶常系数齐次线性方程解y(

y(

Pn1y

Pny特征方程

rn

Prn1

Pn1rPn11特征方程的通解中的对应若是k重根k (C0C1xCk1 复根jk[(C0C1xCk1 )cosx(DDx xk1)sinx]ex k６、二阶常系数非齐次线性微分方程解y

二阶常系数非齐次线解 待定系数法

f(x)

ex

x

mm1 不是mm1y

xkex

(x)

k

是单根是重

f(x)

ex[P(x)cosx

Px)sinxlnyln

xkex[R(1)(x)cosx

R(2)(mmR(1)xR2)x)是m次多项mm

m1k1

i不是特征方程的根时i是特征方程的单根时二、典型例例 求特ysinx

y

y,y()e.2解原方程可化 yln sin两边积x dxx2 yln sin2lnln

ylnln

ln(csc

x)

ln

csc

cotx,所求特解

yecscxcotx例2求通

(

4

原式可化

dy

两边积 x24ln

y

4

x|ln|x4|)1

|xx4

上式可写

y4

方程通解为

4)

x例 求通解y xy2 原方程可化dx

x

y2

用常数变易法解xey(

y2eydy

ey(y2e

2ye

2

故方程的通解

x

2y

2cey例4y

2y

yxex

ex

y(1)

解特征方

r2

1特征

r1

对应的齐次方程的通

Y

Cx)ex设原方程的特解

y*

x2

b)ex则y*

b)x2

2bx]ex2(y*2

b)x2

4b)x

2b]exy*

(y*

(y*

代入原方程比较系数a16

b12

x3 x2原方程的一个特解

y*

ex6

ex2x3 x2故原方程的通解

y

ex

ex6

ex2

(C1

1)e3x3xxy

C2)

(C2

1)x

]e6

(C1

5)e

C1

11

C 6C 解得 CC1C

15

2所以原方程满足初始条件的特解2y[2e

1(1

1)x]exe

xex363

xex.例 求解方

y4y

1(2

解特征方

r24特征

2i,y21对应的齐方的通解y21

YC1cos2x

C2sin2x.y设设原方程的特解y设

y*

y*

则y*)a,

(y*

1111

4y

1x2

4ax4b11214a 解4b

a8b

1y y设(2)设

x(ccos2

dsin2x),y22则y*y22

(c

2dx)cos2

2cx)sin2x,2(y*2

4cx)cos2

(4c

4dx)sin2x,

4y

1cos2x24dcos2

4csin2x

1cos2x,24d

c

1xsin24c

d 8故原方程的通解y

cos2

sin2x

1x8

1xsin2x.8例6

y

p(x)y

f(

1x

x2

p(

fx

此方程的通解解（１）由题设可得2

p(x)2

解此方程组，2p(x)(1)

f(x),x3 x2p(x)1 f(x)3 x3（２）原方程

yx

y3x3

y2

x2y*

1x21由解的结构定理得方程的通解21y

C2xx一、选择题

1、一阶线性非齐次微分方程

xy)() 的通(A)

P()

dx

C

dx

P()

dx

C(D)

ceP() dx2、方程

是 (A)齐次方程 (B)一阶线性方程 方程 3、y

x

0

y(1)

2的特解是 (A)x(C)x

yy

2； (B)xx 3

y3

91.4、方程y

x的通解是 (A)

cosx

2C1

C2

C3(B)

sinx

2C1

C2

C3(C)ycos

C1(D)y

2sin2x5、方y

y

0的通解是 ).(A)

sin

cos

C1(B)

sin

C

xC3(C)

sin

cos

C1(D)

sin

C16y1和y2是二阶齐次线性方程y

P(x)y

Q(x)

0的两个特解,则yC1y1C2y2(其中C1,C2为任意常数)( (A)是该方程的通解 (B)是该方程的解；不是该方程的解 (D)不一定是该方程的解7、求方yyy)2

0的通解时,可令 ).y

P则

P；yy

P则P则

PdPPdPy

P则

PdP10、方程yx x

3y2

e

cos2x的一个特解形式

y

cos2x

yA1x1xx1

cos2xBxe

sin2x11

y

cos2xBe

sin2x

y

x2e

cos2x

Bx2e

sin2x111、xylnx

y

x1)；2、dy

xy

x3y

0；3、xdx

ydy

ydx

0x2y1、

y2

10；2、y

y

2y

x(e

4).1、y3dx

2(x

xy2

0,

12、

2y

y

x,

0

0

y32

1,

),它的切线在纵轴上的xx x

(x 七、我舰向正东1海里处的敌舰发射制 航行中始终对准敌舰.设敌舰以常数

沿正北方直线行驶,已 速度是敌舰速度的两倍, 测验题答5、10、二、1、yax