《初中数学总复习资料》2018届中考数学提升练习：专题(九) 以全等为背景的计算与证明

专题提升(九)以全等为背景的计算与证明【经典母题】图Z9－1如图Z9－1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线．求证：AD⊥图Z9－1证明：在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD（中线的定义），,AB＝AC（已知），,AD＝AD（公共边），))∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS)，∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的对应角相等)．∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠BDC＝90°(平角的定义)，∴AD⊥BC(垂直的定义)．【思想方法】(1)证明两角相等，可证它们所在的两个三角形全等；(2)由平行线可得同位角或者内错角相等；(3)要完成一般三角形全等的证明，必须以SAS，ASA，AAS，SSS作为依据．【中考变形】1．[2017·宜宾]如图Z9－2，已知点B，E，C，F在同一条直线上，图Z9－2AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠ACB＝∠F，,AB＝DE，))∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.2．[2017·南充]如图Z9－3，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.图Z9－3证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠AFC＝∠BED＝90°.在△AFC和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝BE，,∠AFC＝∠BED，,CF＝DE，))∴△AFC≌△BED(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.3．[2016·南充]已知△ABN和△ACM位置如图Z9－4所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：图Z9－4(1)BD＝CE；(2)∠M＝∠N.证明：(1)在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠1＝∠2，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE；(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，在△ACM和△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠B，,AC＝AB，,∠CAM＝∠BAN，))∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M＝∠N.4．[2016·孝感]如图Z9－5，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.图Z9－5证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB和△AEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠AEC，,AD＝AE，,∠A＝∠A，))∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又∵AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，∴BE＝CD.5．如图Z9－6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．图Z9－6解：(1)证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD.∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°.又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)；(2)∵△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1.∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2.6．如图Z9－7，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．图Z9－7解：(1)证明：∵在△ABE和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AEB＝∠DEC，,AB＝DC，))∴△ABE≌△DCE(AAS)；(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.7．[2017·齐齐哈尔]如图Z9－8，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．图Z9－8(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连结EF，若AC＝10，求EF的长．解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDG和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AD，,∠BDG＝∠ADC，,DG＝DC，))∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)BG＝EG，DF＝eq\f(1,2)AC＝AF，∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF；(2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理，得EF＝eq\r(DE2＋DF2)＝5eq\r(2).8．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图Z9－9，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.图Z9－9证明：∵在△ABD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,AD＝CD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.【中考预测】如图Z9－10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.图Z9－10(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,AB＝CB，))∴Rt△ABE≌