(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题

第四章平面问题有限元早期的研究是从弹性力学的平面问题开始的，对平面问题的研究使有限元的研究对象从离散体向连续体迈出了关键性的一步。第四章平面问题有限元早期的研究是从弹性力1两类平面问题1、平面应力问题xyz两类平面问题1、平面应力问题xyz22、平面应变问题重力坝水压力zxy2、平面应变问题重力坝水压力zxy3平面问题的基本物理量平面问题的基本物理量4弹性矩阵平面应力：平面应变：弹性矩阵平面应力：平面应变：5三角形单元三角形单元6单元结点力和结点位移单元结点力和结点位移7位移模式

代入结点坐标和结点位移位移模式代入结点坐标和结点位移8确定待定常数式中确定待定常数式中9(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题10(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题11(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题12(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题13用结点位移表示的单元位移

表示成形函数的形式形函数的定义用结点位移表示的单元位移表示成形函数的形式形函数的定14另外三个系数另外三个系数15矩阵形式表示矩阵形式表示16单元间位移的连续根据式(4.11)和(4.13)，在单元的边界上位移是线性变化的，两个相邻的单元在其公共结点上具有相同的结点位移，因而在他们的公共边界上，两个单元将具有相同的位移，也就是说所选的位移函数保证了相邻单元之间位移的连续性。单元间位移的连续根据式(4.11)和(4.117单元的应变与B矩阵B是常数矩阵单元的应变与B矩阵B是常数矩阵18单元应力单元应力19形函数的性质和面积坐标形函数的性质和面积坐标20形函数的性质1形函数的性质121形函数性质2证明如下：002D形函数性质2证明如下：002D22形函数的性质3三角形单元ijm的边ij上，形函数满足只要把下式代入形函数的表达式即可得到上式这个性质可以用来证明单元的位移在边界上是连续的！ijm形函数的性质3三角形单元ijm的边ij上，形函数满足只要把23单元边界位移连续的再次证明单元边界位移连续的再次证明24面积坐标面积坐标25面积坐标与形函数的关系ijmpDi面积坐标与形函数的关系ijmpDi26面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系27关于面积坐标的积分公式上述公式在单元的等效结点力计算时要用到关于面积坐标的积分公式上述公式在单元的等效结点力计算时要用到28单元刚度矩阵B是常数矩阵单元刚度矩阵B是常数矩阵29分块形式的单刚对于平面应力分块形式的单刚对于平面应力30体积力的等效结点力所以体积力的等效结点力所以31自重的等效结点力自重的等效结点力32表面力的等效结点力表面力的等效结点力33线性分布的表面力线性分布的表面力34线性分布的表面力

在ij边上形函数为所以ijmslDiDj线性分布的表面力在ij边上形函数为所以ijmslDiDj35方向固定的分布力均布荷载：三角形分布荷载：方向固定的分布力均布荷载：三角形分布荷载：36热应力对于各向同性材料的平面应力问题热应力对于各向同性材料的平面应力问题37如果温度为线性分布如果温度为线性分布38矩形单元矩形单元39位移模式位移模式40局部坐标xhxy(x0,y0)2b2a局部坐标xhxy(x0,y0)2b2a41位移模式位移模式42矩阵形式

矩阵形式43应变矩阵应变矩阵44应变矩阵应变矩阵45单元刚度矩阵单元刚度矩阵46单元位移的连续性单元位移的连续性47体积力的等效结点力体积力的等效结点力48自重的等效结点力自重的等效结点力49表面力表面力50线性分布的表面力线性分布的表面力51温度荷载假设：得到温度载荷的等效结点力为(平面应力，各向同性)温度荷载假设：得到温度载荷的等效结点力为(平面应力，各向同性52收敛准则对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面分析中可以看出，在单元形状确定以后，位移模式的选择是关键。等效载荷的计算，刚度矩阵的建立和应变应力的计算等等，都依赖于位移模式。显然，一个与真实位移分布有很大差别的位移模式，是很难得到很好的数值结果。位移模式包含单元的刚体位移

位移模式包含单元的常应变

位移模式在单元内连续，相邻单元间协调

完备协调完备的协调单元保证有限元计算的收敛性收敛准则对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得53位移模式的几何各向同性位移模式的几何各向同性54对称性的利用对称性的利用55应力计算结果的整理应力在单元间不连续P(1)(2)(3)(4)应力计算结果的整理应力在单元间不连续P(1)(2)(3)(456算例110MPa10MPa10MPa10MPa9cm6cmxy算例110MPa10MPa10MPa10MPa9cm6cmx57单元数量对计算结果的影响单元数量对计算结果的影响58单元形状对计算结果的影响单元形状对计算结果的影响59算例2算例260有限元模型III类围岩有限元模型III类围岩61衬砌附近的网格衬砌附近的网格62第四章平面问题有限元早期的研究是从弹性力学的平面问题开始的，对平面问题的研究使有限元的研究对象从离散体向连续体迈出了关键性的一步。第四章平面问题有限元早期的研究是从弹性力63两类平面问题1、平面应力问题xyz两类平面问题1、平面应力问题xyz642、平面应变问题重力坝水压力zxy2、平面应变问题重力坝水压力zxy65平面问题的基本物理量平面问题的基本物理量66弹性矩阵平面应力：平面应变：弹性矩阵平面应力：平面应变：67三角形单元三角形单元68单元结点力和结点位移单元结点力和结点位移69位移模式

代入结点坐标和结点位移位移模式代入结点坐标和结点位移70确定待定常数式中确定待定常数式中71(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题72(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题73(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题74(结构分析的有限元法课件)第四章平面问题75用结点位移表示的单元位移

表示成形函数的形式形函数的定义用结点位移表示的单元位移表示成形函数的形式形函数的定76另外三个系数另外三个系数77矩阵形式表示矩阵形式表示78单元间位移的连续根据式(4.11)和(4.13)，在单元的边界上位移是线性变化的，两个相邻的单元在其公共结点上具有相同的结点位移，因而在他们的公共边界上，两个单元将具有相同的位移，也就是说所选的位移函数保证了相邻单元之间位移的连续性。单元间位移的连续根据式(4.11)和(4.179单元的应变与B矩阵B是常数矩阵单元的应变与B矩阵B是常数矩阵80单元应力单元应力81形函数的性质和面积坐标形函数的性质和面积坐标82形函数的性质1形函数的性质183形函数性质2证明如下：002D形函数性质2证明如下：002D84形函数的性质3三角形单元ijm的边ij上，形函数满足只要把下式代入形函数的表达式即可得到上式这个性质可以用来证明单元的位移在边界上是连续的！ijm形函数的性质3三角形单元ijm的边ij上，形函数满足只要把85单元边界位移连续的再次证明单元边界位移连续的再次证明86面积坐标面积坐标87面积坐标与形函数的关系ijmpDi面积坐标与形函数的关系ijmpDi88面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系89关于面积坐标的积分公式上述公式在单元的等效结点力计算时要用到关于面积坐标的积分公式上述公式在单元的等效结点力计算时要用到90单元刚度矩阵B是常数矩阵单元刚度矩阵B是常数矩阵91分块形式的单刚对于平面应力分块形式的单刚对于平面应力92体积力的等效结点力所以体积力的等效结点力所以93自重的等效结点力自重的等效结点力94表面力的等效结点力表面力的等效结点力95线性分布的表面力线性分布的表面力96线性分布的表面力

在ij边上形函数为所以ijmslDiDj线性分布的表面力在ij边上形函数为所以ijmslDiDj97方向固定的分布力均布荷载：三角形分布荷载：方向固定的分布力均布荷载：三角形分布荷载：98热应力对于各向同性材料的平面应力问题热应力对于各向同性材料的平面应力问题99如果温度为线性分布如果温度为线性分布100矩形单元矩形单元101位移模式位移模式102局部坐标xhxy(x0,y0)2b2a局部坐标xhxy(x0,y0)2b2a103位移模式位移模式104矩阵形式

矩阵形式105应变矩阵应变矩阵106应变矩阵应变矩阵107单元刚度矩阵单元刚度矩阵108单元位移的连续性单元位移的连续性109体积力的等效结点力体积力的等效结点力110自重的等效结点力自重的等效结点力111表面力表面力112线性分布的表面力线性分布的表面力113温度荷载假设：得到温度载荷的等效结点力为(平面应力，各向同性)温度荷载假设：得到温度载荷的等效结点力为(平面应力，各向同性114收敛准则对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面分析中可以看出，在单元形状确定以后，位移模式的选择是关键。等效载荷的计算，刚度矩阵的建立和应变应力的计算等等，都依赖于位移模式。显然，一个与真实位移分布有很大差别的位移模式，是很难得到很好的数值结果。位移模式包含单元的刚体位移

位移模式包含单元的常应变

位移模式在单元内连续，相邻单元间协调

完备协调完备的协调单元保证有限元计算的收敛性收敛准则对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得115位移模式的几何各向同性位移模式的几何各向同性116对称性的利用对称性的利用117应力计算结果的整理应力在单元间不连续P(1)(2)