《向量基本定理》示范公开课教学课件【高中数学人教】

向量基本定理（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？问题1阅读教材相应内容，思考下列问题：整体概览（1）本节主要研究共线向量基本定理和平面向量基本定理．（2）共线向量基本定理和共面向量基本定理．这实际上是将一维的情况和二维的情况进行了展示，呈现渗透了以低维研究高维的思想．三维的情况（即空间向量基本定理）将在选择性必修的内容中出现向量基本定理是引入向量坐标的基础，因此这一内容非常重要，这一小节的关键在于怎样理解“基本”这两个字．新知探究问题2前面我们已经看到，当存在实数λ，使得时，，那么，这个结论反过来是否成立呢？结论是成立的．新知探究例1如图所示，判断向量

是否可以写成数与向量

相乘．

如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由．abcde解：对于因为

与

的方向相同，而且||＝2||，所以

＝2；因为

与

的方向相同，而且||＝||，所以

＝

，因为

与的方向相反，而且||＝||，所以

＝．因为

与

不平行，所以

不能写成数与向量

相乘．新知探究共线向量基本定理：如果

且

，则存在唯一的实数λ，使得．（1）时，通常称为

能用

表示．（2）其中的“唯一”指的是，如果还有，则有λ＝μ．假设

可知，如果λ－μ≠0，则，与已知矛盾，所以λ－μ＝0即λ＝μ．新知探究由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得．新知探究对于共线向量基本定理的理解，要注意以下三点：（1）定理的前提：给定一个非零向量

；（2）定理的结论：所有与非零向量

平行的向量

均可以表示成的形式，且表示方法唯一；（3）定理的本质：构建了向量

与实数λ之间的一一对应关系．新知探究问题3如果

且

，求实数λ，使得

？解：（1）当

时才存在实数λ，使得

，而且这样的λ可以是任意实数．（2）当

时不存在这样的实数．新知探究问题4共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来、那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？给定了向量

，

向量

可以表示成，可以表示成，但它们都不能单独用

，表示出来，也就是说，要表示平面内任意一个向量，只选定一个向量是不能实现的．baABCD新知探究问题5已知的始点相同，你能分别将写成向量的线性运算吗？abcdef新知探究平面向量基本定理：对于平面内两个向量，不共线，和非零向量

，将向量

，的始点平移到一起，假设，，将向量

的始点也平移到O点，以OA，

OB所在的直线为相邻的边，以OC为

对角线作平行四边形ODCE．abcabcOABCDE新知探究因为

，不共线，所以

且．又因为，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得

；同理，存在唯一的y，使得．又由向量加法的平行四边形法则可知

，从而

．新知探究例2用

表示．e1e2abcdf解：由图不难看出，

，

，

．

新知探究平面向量基本定理中，当

与

不共线时，“唯一的实数对”指的是

用

与

表示时，表达式唯一，即如果

，那么x＝u且y＝v．新知探究问题5对于上述表达，为什么x＝u且y＝v？这是因为由

可知

，如果x－u≠0，则

．从而可知

与

共线，与已知矛盾，因此x－u＝0即x＝u同理可得y＝v．新知探究特别地，当

与

不共线时，因为

，所以对于来说，当x≠0或y≠0时，必定有

≠0．也就是说，当

与

不共线时，

≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．新知探究例3已知

与

不共线，而且

与共线，求x的值．因此由已知可得存在实数t，解：因为

与

不共线，所以≠0，使得，即从而解得．新知探究例4如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线上给定的两点，求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得．OlABP证明：先证必要性．设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，实数t，使因此所以再证充分性则因此P、A、B三点共线，即P在直线l上．从而如果，即新知探究例5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，试用基底{，}分别表示下列向量：（1）；（2）．从而

，于是OABCDEFab解：（1）由已知有

，从而（2）因为△DEF∽△BEA，而且巩固练习练习1如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为（）解析：a＝－2e1＋e2．A．e1＋e2

B．－2e1＋e2

C．2e1－e2

D．2e1＋e2

e2e1aB巩固练习练习2若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面对a，b的判断正确的是（）解析：由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1＝k2＝0，故选B．BA．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少有一个为0归纳小结（2）共面向量基本定理的内容是什么？问题5（1）共线向量基本定理的内容是什么？（1）如果

且

，则存在唯一的实数λ，使得．（2）如果平面内两个向量，不共线，则对该平面内任意一个向量

，存在唯一的实数对（x，y），使得

．目标检测解析：因为6e1－8e2＝2（3e1－4e2），所以（6e1－8e2）∥（3e1－4e2），测试1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2

D．e1和e1＋e2

所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．B目标检测解析：由条件得2e1＋3e2＝λ（e1＋e2）＋μ（e1－e2），测试2向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝____，μ＝____．所以解得目标检测解：测试3如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．

若OM与BN相交于点P，求．OBAMPNa

b．因为与共线，故可设＝t＝a

b．又