2015-2016学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

2015-2016学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，62．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m3．（3分）平行四边形ABCD中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°4．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差5．（3分）一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．87．（3分）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）A．36 B．30 C．24 D．208．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠59．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥ B．x≤3 C．x≤ D．x≥310．（3分）如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题：（本题共24分，每小题3分）11．（3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y＝kx（k≠0）的解析式（关系式）．12．（3分）甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）13．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm．15．（3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．17．（3分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB＝8，且△ABF的面积为24，则EC的长为．18．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是．三、解方程：（本题共8分，每小题8分）19．（8分）解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0．（2）x2﹣8x+1＝0．（用配方法）四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）20．（4分）某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）每人加工零件数544530242112人数112632（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．21．（4分）某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．22．（5分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．23．（5分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）24．（6分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．25．（6分）已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y＝ax2•x1，求这个函数的表达式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a＝2的左侧部分沿直线a＝2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y＝2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是．26．（8分）如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB＝2，直线MN：y＝x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．（1）点A的坐标为，矩形ABCD的面积为；（2）求a，b的值；（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2015-2016学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵12+（）2＝（）2，∴以1、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；B、∵22+32≠42，∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、∵12+22≠32，∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、∵42+52≠62，∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．2．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m【分析】根据三角形中位线定理得到AB＝2DE，计算即可．【解答】解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB＝2DE＝2200m，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3．（3分）平行四边形ABCD中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1：2：1：2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．【解答】解：根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为X，则有：x+2x＝180°∴x＝60°，即较小的内角是60°故选：B．【点评】本题利用了平行四边形的性质，即平行四边形的对角相等，相邻的两个内角互补．4．（3分）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，故选：A．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5．（3分）一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，b＝1＞0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是哪个．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y＝﹣x+1的图象不经过的象限是第三象限．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．6．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2＝6，解得α＝4．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．7．（3分）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）A．36 B．30 C．24 D．20【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．8．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．9．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥ B．x≤3 C．x≤ D．x≥3【分析】将点A（m，3）代入y＝2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．【解答】解：将点A（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，解得，m＝，∴点A的坐标为（，3），∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论．10．（3分）如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，面积由“增加→不变→减少”变化．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点．本题也可以通过分析s随x的变化而变化的趋势及相应自变量的取值范围，而不求解析式来解决问题．二、填空题：（本题共24分，每小题3分）11．（3分）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y＝kx（k≠0）的解析式（关系式）y＝2x．【分析】根据正比例函数y＝kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件的数即可．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过一，三象限，∴k＞0，取k＝2可得函数关系式y＝2x．故答案为：y＝2x．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．12．（3分）甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是甲（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差较小，故甲的成绩更加稳定．【解答】解：由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S甲2＜S乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为：甲．【点评】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13．（3分）方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．故答案为x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝6cm．【分析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD＝12cm，再根据中位线的性质可得EF＝AB＝6cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD，∵CD＝6cm，∴AB＝12cm，∵E、F分别是BC、CA的中点，∴EF＝AB＝6cm，故答案为：6．【点评】此题主要考查了三角形中位线的性质以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．15．（3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为x2+52＝（x+1）2．【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，再解即可．【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，则x+1＝13，答：水深12尺，芦苇长13尺，故答案为：x2+52＝（x+1）2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．17．（3分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB＝8，且△ABF的面积为24，则EC的长为3．【分析】先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC＝x，则FE＝DE＝8﹣x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24∴BF＝6．∵在Rt△ABF中，AF＝＝10，∴AD＝AF＝BC＝10∴CF＝10﹣6＝4设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x．在Rt△ECF中，EF2＝CF2+CE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得，x＝3．∴CE＝3．故答案为：3．【点评】本题综合考查了翻折的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．18．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．【解答】解：如图，连接DF、DE．根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF．则四边形DECF恰为菱形．故答案是：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．【点评】本题考查了菱形的判定，翻折变换（折叠问题）．总结：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．三、解方程：（本题共8分，每小题8分）19．（8分）解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0．（2）x2﹣8x+1＝0．（用配方法）【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，2x﹣1＝0，x﹣1＝0，x1＝，x2＝1；（2）x2﹣8x+1＝0，x2﹣8x＝﹣1，x2﹣8x+16＝﹣1+16，（x﹣4）2＝15，x﹣4＝±，x1＝4+，x2＝4﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）20．（4分）某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）每人加工零件数544530242112人数112632（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．【分析】（1）先根据加权平均数公式即可求得平均数，再将表中的数据按照从大到小的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解即可；（2）应根据（1）中求出的中位数和众数综合考虑．【解答】解：（1）平均数＝＝＝26（件），将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第8名工人的加工零件数为24件，且零件加工数为24的工人最多，故中位数为：24件，众数为：24件．答：这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件．（2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多数人能达到的定额．【点评】本题主要考查了众数和中位数的概念：（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（2）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．21．（4分）某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2＝3025，解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．22．（5分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE＝DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE＝BE，即BE＝AE＝CE，从而求出BE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴AF∥EC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝90°﹣∠2，∠4＝90°﹣∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质及菱形的性质，解题的关键是运用平行四边形的性质和菱形的性质推出结论．23．（5分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC＝2，∴•2•x＝2，解得x＝2，∴y＝2×2﹣2＝2，∴点C的坐标是（2，2）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）24．（6分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．【分析】（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，AD＝2从而得出AM＝DM＝，在Rt△AMG中，AM2+GM2＝AG2从而得出GM＝即可．【解答】（1）如图1，延长EB交DG于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE在△ADG与△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE，∵△ADG中∠AGD+∠ADG＝90°，∴∠AEB+∠ADG＝90°，∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，∵BD是正方形ABCD的对角，∴∠MDA＝45°在Rt△AMD中，∵∠MDA＝45°，AD＝2，∴AM＝DM＝，在Rt△AMG中，∵AM2+GM2＝AG2∴GM＝，∵DG＝DM+GM＝+，∴S△ADG＝DG•AM＝（+）＝1+．【点评】此题考查了旋转的性质和正方形的性质，用到的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性质，关键是根据题意画出辅助线，构造直角三角形．25．（6分）已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y＝ax2•x1，求这个函数的表达式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a＝2的左侧部分沿直线a＝2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y＝2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是﹣10＜b＜﹣4．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；（2）先根据一元二次方程的求根公式得出x1，x2，即可得出函数函数关系式；（3）画出新函数的图形和直线y＝2a+b，利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论．【解答】（1）证明：∵ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）＝4＞0，∴方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0）有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式，得x＝＝．∴x＝1或x＝1﹣．∵a＞0，x1＞x2，∴x1＝1，x2＝1﹣，∴y＝ax2•x1＝a×（1﹣）•1＝a﹣2．即函数的表达式y＝a﹣2（a＞0），（3）解：如图，直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点，再向下平移，就和折线CBA有两个公共点，继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点，再向下平移和折线CBA也只有一个公共点，由（2）知，函数的表达式y＝a﹣2（a＞0），当a＝2时，y＝2﹣2＝0，∴B（2，0），由折叠得，C（4，﹣2），当函数y＝2a+b的图象过点B时，∴0＝2×2+b，∴b＝﹣4，当函数y＝2a+b的图象过点C时，∴﹣2＝2×4+b，∴b＝﹣10，∴﹣10＜b＜﹣4．故答案为：﹣10＜b＜﹣4．【点评】此题是翻折变换，主要考查了一元二次方程的根的判别式，求根公式，一次函数的性质，函数图象的画法，解本题的关键是求出函数的表达式y＝a﹣3（a＞0），画出函数图象是解本题的难点，注意b的范围两个端点都不能取，此题（3）可以通过函数关系式求出射线BA的解析式，线段BC的解析式，再利用直线y＝2a+b既和射线BA有交点，也和线段BC有交点，即