2022年广东省中考数学 一模试题【第1套】（解析版）

2022年广东省中考数学一模试题1数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.3的倒数是（）A. B. C. D.【1题答案】【答案】C【解析】【详解】根据倒数的定义可知．解：3的倒数是．主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.关于“线段、角、正方形、平行四边形、圆”这些图形中，其中是轴对称图形的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【2题答案】【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念即可解答.【详解】线段、角、正方形、圆是轴对称图形，共4个．故选C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（）A.4.995×1011 B.49.95×1010C.0.4995×1011 D.4.995×1010【3题答案】【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010．故选：D．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（）A. B.+1 C.+2 D.0【4题答案】【答案】C【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值化简第一个括号并用去括号法则去掉括号，后面的乘法运算利用积的乘方运算法则的逆运算变形，根据﹣1的偶次幂为1求出结果，合并后即可求出值．【详解】（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006＝（2×+1）+（﹣0.125×8）2006＝+1+（﹣1）2006＝+1+1＝+2．故选C．【点睛】考查了实数的运算，要求学生牢记特殊角的三角函数值以及积的乘法法则：（ab）n＝an•bn，灵活运用此法则的逆运算是解本题的关键．同时要求学生掌握﹣1的偶次幂为1，﹣1的奇次幂为﹣1．5.如图，由AD∥BC可以得到的是（）A.∠1＝∠2 B.∠3+∠4＝90°C.∠DAB+∠ABC＝180° D.∠ABC+∠BCD＝180°【5题答案】【答案】C【解析】【分析】依据两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，即可得出结论．【详解】解：∵AD∥BC，

∴∠3=∠4，∠DAB+∠ABC=180°，

故选：C．6.分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（）A.3b（a2﹣2a） B.b（3a2﹣6a+1）C.3（a2b﹣2ab） D.3b（a﹣1）2【6题答案】【答案】D【解析】【分析】首先提取公因式3b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：3a2b﹣6ab+3b＝3b（a2﹣2a+1）＝3b（a﹣1）2．故选D．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式解题关键．7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD＝40°，则∠BAD的大小为（）A.35° B.50° C.40° D.60°【7题答案】【答案】B【解析】【分析】连接BD，由AB为圆的直径，利用直径所对的角为直角得到三角形ABD为直角三角形，再利用圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=40°，利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠BAD的大小．【详解】连接BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ACD=∠ABD=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°．故选B．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．8.下列说法错误的是（）A.对角线垂直且平分的四边形是菱形 B.对角线平分且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线垂直且相等的四边形是正方形【8题答案】【答案】D【解析】【分析】对各选项逐一判断即可．【详解】解：A．对角线垂直且平分的四边形是菱形是正确的命题，故A选项没有错误；B．对角线平分且相等的四边形是矩形是正确的命题，故B选项没有错误；C．对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的命题，故C选项没有错误；D．对角线垂直且相等的四边形是正方形是假命题，应改为“对角线垂直平分且相等的四边形是正方形”，故D选项没有错误．故选D．【点睛】本题考查特殊四边形的判定，掌握相关四边形的判定方法是解题的关键．9.“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（）A.20，30 B.30，20 C.20，20 D.30，30【9题答案】【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．故选：D．【点睛】本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．10.如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的A. B. C. D.【10题答案】【答案】D【解析】【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，如图，记交点分别为C，D，∵CD⊥OB，∴，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11.正多边形的一个内角等于144°，则这个多边形的边数是_________．【11题答案】【答案】10【解析】【分析】先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：

（n-2）×180°=144°n，

解得：n=10．

故答案为：10．【点睛】本题考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角和公式列出式子是本题的关键．12.如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为_____．【12题答案】【答案】答案不唯一，如：；【解析】【详解】分析：由△AOB在第一象限，∠ABO=90°，点A的坐标为(3，4)和反比例函数与△AOB有两个不同的交点，可得：，由此在该范围内任取一个k的值即可.详解：∵△AOB在第一象限，∠ABO=90°，点A的坐标为(3，4)和反比例函数与△AOB有两个不同的交点，∴，∴本题答案不唯一，如取k=2，则对应反比例函数的解析式为：.故答案为答案不唯一，如：.点睛：由反比例函数中k的几何意义结合的图象与△AOB有两个不同的交点可知，的图象与线段AB的交点在应在A点之下，B点之上，由此即可得到，从而使问题得到解决.13.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，，则＝_____．【13题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，∴＝＝，则＝＝＝．故答案为．点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．14.已知关于方程有两个相等的实数根，那么的值为______.【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．【详解】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，即9+4m=0，解得m=．故答案为．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．15.如图，在四个小正方体搭成的几何体中，每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的三视图的面积之和是_____．【15题答案】【答案】9【解析】【分析】根据三视图的定义求解即可．【详解】主视图是第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，主视图的面积是4，俯视图是三个小正方形，俯视图的面积是3，左视图是下边一个小正方形，第二层一个小正方形，左视图的面积是2，几何体的三视图的面积之和是4+3+2=9，故答案为9．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．16.如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），那么小羊在草地上的最大活动区域面积是__________平方米．【16题答案】【答案】.【解析】【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和.所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范.【详解】解：如图.小羊的活动范围是：（平方米）故答案为.【点睛】本题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形.三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）17.计算：【17题答案】【答案】2019【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解.【详解】原式＝==2019【点睛】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.18.先化简，再求值：，其中x＝﹣3【18题答案】【答案】；.【解析】【分析】先通分合并同类项，再化简，将x=-3代入求值即可.【详解】原式：=【点睛】本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序，并熟练掌握通分、因式分解、约分等知识点．19.“三等分任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个任意角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，当AB＝BE＝EF时，有∠FAN＝∠MAN，请你证明．【19题答案】【答案】见解析.【解析】【分析】由BC⊥CN，BC⊥BF可证AN∥BF，从而∠FAN=∠F.由外角的性质得∠BEA=∠EBF+∠F，进而可证明∠FAN=∠MAN成立.【详解】证明：∵BC⊥CN，BC⊥BF，∴∠ACB=∠CBF=90°∴AN∥BF，∴∠FAN=∠F又∵AB=BE=EF∴∠BAE=∠BEA，∠EBF=∠F又∵∠BEA=∠EBF+∠F∴∠BAE=2∠F，∴∠BAE=2∠FAN，即∠FAN=∠MAN.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解答本题的关键是手机图形的这些性质.四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）20.平行四边形ABCD中，过点D,DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【20题答案】【答案】（1）详见解析；（2）20.【解析】【分析】(1)根据有一个角是90度的平行四边形是矩形可判定,(2)首先证明AD=DF,求出AD即可解决问题.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥DF,∵CF=AE,∴DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形,∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形.(2)∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∵AF平分∠BAD∴∠DAF=∠AFD,∴AD=DF,在直角三角形ADE中,∵AE=3,DE=4,∴AD=5,∴矩形的面积为20.21.为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售，这两款电动汽车的成本价和售价如下：成本价（万元/辆）售价（万元/辆）A型1616.8B型2829.4（1）如果该4S店购进20辆电动汽车所花费成本恰好为416万元，那么其中购进A型电动汽车辆，B型电动汽车辆；（2）如果为了保证该4S店将购进的20辆电动汽车全部售出后，所得利润要超过19.3万元，那么A型电动汽车最多购进多少辆？【21题答案】【答案】（1）12；8．（2）A型电动汽车最多购进14辆．【解析】【分析】（1）设购进A型电动汽车x辆，则购进B型电动汽车（20﹣x）辆，根据总价＝A型电动汽车成本价×购进数量+B型电动汽车成本价×购进数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，根据总利润＝销售每辆A型电动汽车的利润×购进数量+销售每辆B型电动汽车的利润×购进数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最大整数即可．【详解】解：（1）设购进A型电动汽车x辆，则购进B型电动汽车（20﹣x）辆，根据题意得：16x+28（20﹣x）＝416，解得：x＝12，∴20﹣x＝8．故答案为12；8．（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，根据题意得：（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m）＞19.3，解得：m＜14.5．∵m为整数，∴m≤14．答：A型电动汽车最多购进14辆．【点睛】考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）据总价＝A型电动汽车成本价×购进数量+B型电动汽车成本价×购进数量，列出关于x的一元一次方程；（2）根据总利润＝销售每辆A型电动汽车的利润×购进数量+销售每辆B型电动汽车的利润×购进数量，列出关于m的一元一次不等式．22.校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图：请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.【22题答案】【答案】（1）28%，补图见解析；（2）60名；（3）144°；（4）.【解析】【详解】【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生数；（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；（4）画树状图可得所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率=．【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图，列表法与树状图法求概率，准确识图，从图中找到相关必要的信息是解题的关键.五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）23.如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．【23题答案】【答案】（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得a，k，b的值，根据图象即可得出不等式的解集；（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），由此可得PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．再根据S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，代入数据即可得S△APB与m的二次函数关系式，利用二次函数求最值的方法求得m的值及S△APB的值最大．再求得点P的坐标即可；（3）（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．【详解】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得：，所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC＝＝＝．∵＜0，，﹣1＜m＜2，∴当时，S△APB的值最大．∴当时，，S△APB＝，即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）（3）存在三组符合条件的点，当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），可得坐标如下：①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24.如图，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8，点A的坐标（﹣8，0），点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点D．（1）用t表示点D的坐标；（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．【24题答案】【答案】（1）（0，2t）；（2）见解析；（3）t=4（﹣1）【解析】【分析】（1）由已知条件可证明△ABC≌△OAD，根据全等三角形的性质即可求出点D的坐标；（2）由（1）的结论可证明△FOD≌△FOC，从而∠FCO＝∠FDO，再根据（1）中△ABC≌△OAD，可得∠ACB＝∠ADO，进而∠FCO＝∠ACB得证；（3）在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m，根据角平分线的性质和三角形外角和定理可得KB＝KC＝m，从而求得m的值，进而t的值也可求出.【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，∴∠ABC＝∠OAD，∵AB＝OA，∴△ABC≌△OAD（ASA），∴OD＝AC＝2t，∴D（0，2t）．故答案为（0，2t）；（2）如图1中，∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝，∴AB＝AO＝8，∵t＝2，∴AC＝OD＝4，∴OC＝OD＝4，∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，∴△FOD≌△FOC（SAS），∴∠FCO＝∠FDO，∵△ABC≌△OAD，∴∠ACB＝∠ADO，∴∠FCO＝∠A