广东省江门市重点中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学（解析版）

PAGEPAGE27第页2022—2023学年度第一学期第2次学段考试高二级数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.重合2.数列满足，，则的值为（）A. B. C. D.3.已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.C. D.4.若点P在椭圆上，，分别为椭圆C的左右焦点，且，则的面积为（）．A. B.3 C.4 D.15.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m6.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A. B. C.或2 D.28.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）A. B. C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（）A.若，则曲线为椭圆 B.若曲线为双曲线，则或C.曲线不可能是圆 D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则10.数列的前项和为，已知，则（）A.是递增数列 B.是等差数列C.当时， D.当或4时，取得最大值11.圆和圆的交点为A，B，则有（）A.公共弦所在直线方程为B.过上任意一点P作圆切线，则切线长的最小值为C.公共弦的长为D圆与圆C关于直线12.过抛物线的焦点为F的直线l与C相交于两点，若的最小值为6，则（）A.抛物线的方程为 B.MN的中点到准线的距离的最小值为4C. D.当直线MN的倾斜角为时，三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，则圆的方程为___________.14.设，向量，，，且，，则的值为______________.15.过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为___________.16.己知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为___________.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足，（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；（2）若，的公差都等于3，，，求数列的通项公式及前项和.18.如图，在四棱雉中，平面平面，且是边长为2等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.19.如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．（1）求圆C方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?20.已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值.21.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的夹角的余弦值最大？22.已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的方程；（2）求斜率取值范围；2022—2023学年度第一学期第2次学段考试高二级数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.重合【答案】B【解析】【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率为：，又因为，所以两直线垂直，故选：B2.数列满足，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据递推公式逐项计算可得的值.【详解】由题意可得，，，.故选：C.3.已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图形，数形结合可得或，即可求出.【详解】如图，要使直线与线段相交，则应满足或，因为，，所以或.故选：A4.若点P在椭圆上，，分别为椭圆C的左右焦点，且，则的面积为（）．A. B.3 C.4 D.1【答案】A【解析】【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可.【详解】解：由椭圆的标准方程，可得，．所以，又由，所以，即．因为，所以，即．又因为，即，两式相减，约分可得，所以．故选：A．5.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【解析】【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.6.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把三棱柱补成四棱柱，如图所示，即可知异面直线与所成角为（或其补角），再解三角形即可求出．【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得，易知该四棱柱为长方体，，异面直线与所成角为（或其补角），，，，∴.故选：C.7.设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A. B. C.或2 D.2【答案】D【解析】【分析】写出直线方程，利用点到直线距离公式，以及之间的关系列方程求出双曲线的离心率，再根据分类讨论，确定双曲线的离心率.【详解】解：由题意在双曲线中，，半焦距为，直线过，两点∴在中，原点到直线的距离为，∴解得：∵∴当时，解得：，舍去，当时，解得：，符合题意，综上，，故选：D.8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（）A.若，则曲线为椭圆 B.若曲线为双曲线，则或C.曲线不可能是圆 D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则【答案】BD【解析】【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A,当时，此时曲线为圆，故A错，对于B,若曲线为双曲线，则，即或，故B对，对于C,若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，对于D,曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.故选：BD.10.数列的前项和为，已知，则（）A.是递增数列 B.是等差数列C.当时， D.当或4时，取得最大值【答案】CD【解析】【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.【详解】当时，，当时，，不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，故选：CD.11.圆和圆的交点为A，B，则有（）A.公共弦所在直线方程为B.过上任意一点P作圆的切线，则切线长的最小值为C.公共弦的长为D.圆与圆C关于直线【答案】ABD【解析】【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B选项，设上任意一点P为，设切点为，则，即可求出切线长的最小值；C选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；D选项，求出直线的斜率和中点即可验证.【详解】因为圆：和圆的交点为A，B，作差得，所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；设上任意一点P为，过点作圆的切线，则，设切点为，则，当时，.所以B正确.圆化为标准方程为：，则圆的圆心为，半径.圆心到直线的距离，圆与圆的公共弦AB的长为，故C错误；圆的圆心为，圆化为标准方程为，圆心若圆与圆C关于直线，则则关于直线的对称点为，则，的中点为在直线上，所以圆与圆C关于直线.故选：ABD.12.过抛物线的焦点为F的直线l与C相交于两点，若的最小值为6，则（）A.抛物线的方程为 B.MN的中点到准线的距离的最小值为4C. D.当直线MN的倾斜角为时，【答案】AD【解析】【分析】首先分斜率存在和斜率不存在两种情况分别进行讨论，可知当直线垂直轴且过焦点时最短，然后根据的最小值为的条件，求出值，然后利用抛物线的方程逐一验证选项的正误即可.【详解】当斜率不存在时，即MN过抛物线的焦点，且垂直x轴，，，当斜率存在时，设直线MN的方程为，联立直线与抛物线方程，可得①，由韦达定理由抛物线的定义，可得，综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即MN过抛物线的焦点，且垂直x轴，取得最小值，的最小值为6，，即，抛物线的方程为，故A选项正确，易知，当垂直于轴时，的中点到准线的距离最小，的中点到准线的距离最小值为，故B选项错误，当斜率不存在时，两交点坐标为，故C选项错误，当直线MN的倾斜角为时，可得将，代入①中，可得，解得两根为，由抛物线得的定义可得，，故D选项正确.故选：AD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，则圆的方程为___________.【答案】【解析】【分析】由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方程.【详解】因为，，所以线段的中点坐标为，直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即．圆心的坐标是方程组的解．解此方程组得：，所以圆心的坐标是．圆的半径长，所以圆心为的圆的标准方程是．故答案为:14.设，向量，，，且，，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，向量，，，，解得，又，，解得，则故答案为：.15.过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为___________.【答案】5【解析】【分析】由已知可得，直线的方程为.代入抛物线方程后，根据韦达定理可求得，进而推得，根据中点坐标公式可求得中点坐标，即可解出距离.【详解】设，，中点.由已知可得，直线的方程为，化简可得，将该式代入抛物线方程可得，，.由韦达定理可得，，又，，所以.因为，是线段的中点，根据中点坐标公式有，，所以.因为，抛物线的准线方程为.所以，到的距离为.故答案：5.16.己知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为___________.【答案】##【解析】【分析】先由得到F为的重心，再利用点差法求得之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设，线段PQ的中点为，由，知F为的重心，故，即，解得，又M为线段PQ的中点，则，又P、Q为椭圆C上两点，则，两式相减得，所以，化简得，则解得或（故舍去）则，则离心率.故答案为：四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足，（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；（2）若，的公差都等于3，，，求数列的通项公式及前项和.【答案】（1）数列等差数列，理由见解析；（2），前项和为.【解析】【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可；（2）由（1）结合已知可得数列的首项为8，公差为15，从而可求出数列的通项公式及前项和.【小问1详解】数列是等差数列，理由如下：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，所以，，因为，所以为常数，所以数列是等差数列；【小问2详解】因为，，所以，由（1）可知数列是等差数列，且公差为，因为，的公差都等于3，所以数列的公差为，所以数列的通项公式为，数列的前项和为.18.如图，在四棱雉中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线线平行可证线面平行.（2）利用向量法即可求得线面角的正弦值.（3）利用等体积法即可求得点到平面的距离.【小问1详解】如图，取中点为，连接，由已知∥，，∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，平面，平面，所以平面【小问2详解】如图取中点为，中点为，以为轴，建立空间直角坐标系.所以，，，，设平面的法向量为，因为，所以，故令，则则记直线与平面所成角为，，所以故直线与平面所成角的正弦值为【小问3详解】在直角三角形中，可知同理在直角三角形中，可知，在直角三角形中，可知在直角三角形中，可知，在直角三角形中，可知在三角形中，可知，所以三角形为.点到平面的距离为.所以，解得点到平面的距离为.19.如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】（1）；（2）该船有触礁的危险．【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【小问1详解】依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，设过O，A，B三点的圆C的方程为，则，解得，所以圆C的方程为．【小问2详解】因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，由（1）知，圆C的圆心为，半径，则圆心C到直线l的距离，则，所以该船有触礁的危险.20.已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于A、B两点，且，求m的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得求出，从而可求得椭圆的方程，（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系求出，由可得，代入进而可求出的值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为.由题意得解得.所以椭圆的方程为.【小问2详解】由得.由，解得.设，，则，所以，，因为，所以，则，则，则，解得：或.当时，直线过点，则不满足.所以.21.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的夹角的余弦值最大？【答案】（1）证明见解析（2）当时，面与面所成的二面角的余弦值最大【解析】【分析】（1）