人工智能课件7之不确定性处理

第7章不确定性处理

7.1不确定性及其类型7.2不确定性知识的表示7.3不确定性推理的一般模式7.4确定性理论第7章不确定性处理7.1不确定性及其类型17.1不确定性及其类型由于客观世界的复杂、多变性和人类自身认识的局限、主观性，致使我们所获得、所处理的信息和知识中，往往含有不肯定、不准确、不完全甚至不一致的成分。这就是所谓的不确定性。事实上，不确定性大量存在于我们所处的信息环境中，例如人的日常语言中就几乎处处含有不确定性（瞧！这句话本身就含有不确定性：什么叫“几乎”？）。不确定性也大量存在于我们的知识特别是经验性知识之中。7.1不确定性及其类型由于客观世2所以，要实现人工智能，不确定性是无法回避的。人工智能必须研究不确定性，研究它们的表示和处理技术。事实上，关于不确定性的处理技术，对于人工智能的诸多领域，如专家系统、自然语言理解、控制和决策、智能机器人等，都尤为重要。按性质划分，不确定性大致可分为随机性、模糊性、不完全性、不一致性和时变性等几种类型。所以，要实现人工智能，不确定性是无法31.随机性随机性就是一个命题(亦即所表示的事件)的真实性不能完全肯定，而只能对其为真的可能性给出某种估计。例如，如果乌云密布并且电闪雷鸣，则很可能要下暴雨。如果头痛发烧，则大概是患了感冒。就是两个含有随机不确定性的命题。当然，它们描述的是人们的经验性知识。1.随机性42.模糊性模糊性就是一个命题中所出现的某些言词，从概念上讲，无明确的内涵和外延，即是模糊不清的。例如，小王是个高个子。张三和李四是好朋友。如果向左转，则身体就向左稍倾。这几个命题中就含有模糊不确定性，因为其中的“高”、“好朋友”、“稍倾”等都是模糊概念。2.模糊性53.不完全性不完全性就是对某事物来说，关于它的信息或知识还不全面、不完整、不充分。例如，在破案的过程中，警方所掌握的关于罪犯的有关信息，往往就是不完全的。但就是在这种情况下，办案人员仍能通过分析、推理等手段而最终破案。3.不完全性64.不一致性不一致性就是在推理过程中发生了前后不相容的结论；或者随着时间的推移或者范围的扩大，原来一些成立的命题变得不成立、不适合了。例如，牛顿定律对于宏观世界是正确的，但对于微观世界和宇观世界却是不适合的。4.不一致性77.2不确定性知识的表示7.2.1随机性知识的表示我们只讨论随机性产生式规则的表示。对于随机不确定性，一般采用信度（或称可信度）来刻划。一个命题的信度是指该命题为真的可信程度。例如，(这场球赛甲队取胜，0.9)这里的0.9就是命题“这场球赛甲队取胜”的可信度。它表示“这场球赛甲队取胜”这个命题为真（即这个事件发生）的可能性程度是0.9。7.2不确定性知识的表示7.2.1随机性知识8随机性产生式的一般表示形式为A→B(C(A→B))(7―1)或者A→(B，C(B|A))(7--2)其中C(A→B)表示规则A→B为真的信度；而C(B|A)表示规则的结论B在前提A为真的情况下为真的信度。例如，对上节中给出的两个随机性命题，其随机性可以用信度来表示。

随机性产生式的一般表示形式为9信度也可以是基于概率的某种度量。例如，在著名的专家系统MYCIN中，其规则E→H中，结论H的信度就被定义为当P(H|E)>P(H)当P(H|E)=P(H)当P(H|E)<P(H)信度也可以是基于概率的某种度量。例如10其中，E表示规则的前提，H表示规则的结论，P(H)是H的先验概率，P(H|E)是E为真时H为真的条件概率，CF(CertaintyFactor)称为确定性因子，即可信度。由此定义，可以求得CF的取值范围为［-1，1］。当CF＝1时，表示H肯定真；CF=-1表示H肯定假；CF=0表示E与H无关。这个可信度的表达式是什么意思呢？原来，CF是由称为信任增长度MB和不信任增长度MD相减而来的。即CF(H，E)＝MB(H，E)-MD(H，E)其中，E表示规则的前提，H表示规则的11当P(H)=1否则当P(H)=0否则当P(H)=1否则当P(H)=0否则12当MB(H，E)>0，表示由于证据E的出现增加了对H的信任程度。当MD(H，E)>0，表示由于证据E的出现增加了对H的不信任程度。由于对同一个证据E，它不可能既增加对H的信任程度又增加对H的不信任程度，因此，MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的，即当MB(H，E)>0时，MD(H，E)＝0；当MD(H，E)>0时，MB(H，E)＝0。当MB(H，E)>0，表示由于证据E137.2.2模糊性知识的表示对于模糊不确定性，一般采用程度或集合来刻划。所谓程度就是一个命题中所描述的事物的属性、状态和关系等的强度。例如，我们用三元组（张三，体型，(胖，0.9）)表示命题“张三比较胖”，其中的0.9就代替“比较”而刻划了张三“胖”的程度。这种程度表示法，一般是一种针对对象的表示法。其一般形式为（<对象>，<属性>，(<属性值>，<程度>）)7.2.2模糊性知识的表示14可以看出，它实际是通常三元组（<对象>，<属性>，<属性值>）的细化，其中的<程度>一项是对前面属性值的精确刻划。事实上，这种思想和方法还可广泛用于产生式规则、谓词逻辑、框架、语义网络等多种知识表示方法中，从而扩充它们的表示范围和能力。下面我们举例。可以看出，它实际是通常三元组（<对象15例7.1模糊规则(患者，症状，(头疼，0.95))∧(患者，症状，(发烧，1.1))→(患者，疾病，(感冒，1.2))可解释为:如果患者有些头疼并且发高烧，则他患了重感冒。例7.1模糊规则16例7.2模糊谓词(1)1.0白(雪)或白1.0(雪)表示:雪是白的。(2)朋友1.15(张三，李四)或1.15朋友(张三，李四)表示:张三和李四是好朋友。(3)x(计算机系学生(x)1.0努力1.2(x))表示:计算机系的同学学习都很努力。例7.2模糊谓词17例7.3模糊框架框架名:<大枣>属:(<干果>,0.8)形:(圆,0.7)色:(红,1.0)味:(甘,1.1)用途:食用药用:用量:约五枚用法:水煎服注意：室温下半天内服完例7.3模糊框架18例7.4模糊语义网

理解人意狗食肉动物（灵敏，1.5）(can,0.3)(AKO,0.7)嗅觉例7.4模糊语义网(can,0.3)(AKO,0.7)嗅197.2.3模糊集合与模糊逻辑上面我们是从对象着眼，来讨论模糊性知识的表示方法的。若从概念着眼，模糊性知识中的模糊概念则可用所谓的模糊集合来表示。1.模糊集合定义1设Ｕ是一个论域，Ｕ到区间［0，1］的一个映射μ:Ｕ［0，1］7.2.3模糊集合与模糊逻辑20论域Ｕ上的模糊集合Ａ，一般可记为论域Ｕ上的模糊集合Ａ，一般可记为21例7.5设Ｕ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝，则Ｕ中“大数的集合”和“小数的集合”可分别定义如下：大数的集合＝0/0＋0/1＋0/2＋0.1/3＋0.2/4＋0.3/5＋0.5/6＋0.7/7＋0.9/8＋1/9＋1/10小数的集合＝1/0＋1/1＋1/2＋0.8/3＋0.7/4＋0.5/5＋0.4/6＋0.2/7＋0/8＋0/9＋0/10例7.5设Ｕ＝｛0，1，2，3，22例7.6设论域Ｕ＝［1，200］，表示人的年龄区间，则模糊概念“年轻”和“年老”可分别定义如下：当1≤u≤25当25≤u≤50当1≤u≤25当25≤u≤50例7.6设论域Ｕ＝［1，200］，232.模糊关系除了有些性质概念是模糊概念外，还存在不少模糊的关系概念。如“远大于”、“基本相同”、“好朋友”等就是一些模糊关系。模糊关系也可以用模糊集合表示。下面我们就用模糊子集定义模糊关系。定义2集合U1，U2，…，Un的笛卡尔积集U1×U2×…×Un的一个模糊子集，称为U1，U2，…，Un间的一个n元模糊关系。特别地，Un的一个模糊子集称为U上的一个n元模糊关系。2.模糊关系24例7.7设U＝{1，2，3，4，5}，U上的“远大于”这个模糊关系可用模糊子集表示如下:“远大于”＝0.1/(1，2)＋0.4/(1，3)＋0.7/(1，4)＋1/(1，5)+0.1/(2，3)＋0.4/(2，4)＋0.7/(2，5)＋0.1/(3，4)＋0.4/(3，5)＋0.1/(4，5)就像通常的关系可用矩阵表示一样，模糊关系也可以用矩阵来表示。例如上面的“远大于”用矩阵可表示如下：例7.7设U＝{1，2，3，4，251234500.10.40.71000.10.40.70000.10.400000.10000012345表示模糊关系的矩阵一般称为模糊矩阵。1234263.模糊集合的运算与普通集合一样，也可定义模糊集合的交、并、补运算。定义3设是X的模糊子集，的交集、并集和补集，分别由下面的隶属函数确定：3.模糊集合的运算274.模糊逻辑模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。设n元谓词可以看出，上述定义的模糊命题的真值，实际是把一个命题内部的隶属度，转化为整个命题的真实度。4.模糊逻辑可以看287.2.4多值逻辑我们知道，人们通常所使用的逻辑是二值逻辑。即对一个命题来说，它必须是非真即假，反之亦然。但现实中一句话的真假却并非一定如此，而可能是半真半假，或不真不假，或者真假一时还不能确定等等。这样，仅靠二值逻辑有些事情就无法处理，有些推理就无法进行。于是，人们就提出了三值逻辑、四值逻辑、多值逻辑乃至无穷值逻辑。7.2.4多值逻辑29我们介绍一种三值逻辑，称为Kleene三值逻辑。在这种三值逻辑中，命题的真值，除了“真”、“假”外，还可以是“不能判定”。其逻辑运算定义如下：∧TFUTFUTFUFFFUFU∨TFUTFUTTTTFUTTUPPTFUTTU我们介绍一种三值逻辑，称为Kleen307.2.5非单调逻辑所谓“单调”，是指一个逻辑系统中的定理随着推理的进行而总是递增的。那么，非单调就是逻辑系统中的定理随着推理的进行而并非总是递增的，就是说也可能有时要减少。传统的逻辑系统都是单调逻辑。但事实上，现实世界却是非单调的。例如，人们在对某事物的信息和知识不足的情况下，往往是先按假设或默认的情况进行处理，但后来发现得到了错误的或者矛盾的结果，则就又要撤消原来的假设以及由此得到的一切结论。7.2.5非单调逻辑31在非单调逻辑中，若由某假设出发进行的推理中一旦出现不一致，即出现与假设矛盾的命题，那么允许撤消原来的假设及由它推出的全部结论。基于非单调逻辑的推理称为非单调逻辑推理，或非单调推理。(1)在问题求解之前，因信息缺乏先作一些临时假设，而在问题求解过程中根据实际情况再对假设进行修正。(2)非完全知识库。随着知识的不断获取，知识数目渐增，则可能出现非单调现象。在非单调逻辑中，若由某假设出发进行的32(3)动态变化的知识库。常见的非单调推理有缺省推理（reasoningbydefault）和界限推理。由于篇幅所限，这两种推理不再详细介绍，有兴趣的读者可参阅有关专著。(3)动态变化的知识库。337.2.6时序逻辑对于时变性，人们提出了时序逻辑。时序逻辑也称时态逻辑，它将时间词(称为时态算子，如“过去”，“将来”，“有时”，“一直”等)或时间参数引入逻辑表达式，使其在不同的时间有不同的真值。从而可描述和解决时变性问题。时序逻辑在程序规范(specifications),程序验证以及程序语义形式化方面有重要应用，因而它现已成为计算机和人工智能科学理论的一个重要研究课题。7.2.6时序逻辑347.3不确定性推理的一般模式基于不确定性知识的推理称为不确定性推理，亦称为不精确推理。由于不确定性推理是基于不确定性知识的推理，所以，其结果仍然是不确定性的。但对不确定性知识，我们是用量化不确定性的方法表示的(实际是把它变成了确定性的了)，所以，不确定性推理的结果仍然应含有某种不确定性度量。7.3不确定性推理的一般模式基35所以，不确定性推理的一般模式就可简单地表示为不确定性推理＝符号模式匹配＋不确定性计算这里的不确定性计算是基于各种不确定性度量，如信度、真度、各种特征(值)强度、隶属度等的计算。所以，不确定性推理的一般模式就可简单地36可以看出，不确定性推理与通常的确定性推理相比，区别在于多了个数值计算过程。

但正由于需要计算，所以，不确定性推理就与通常的确定性推理有了质的差别。主要表现在以下几个方面:(1)不确定性推理中符号模式匹配能否成功，不但要求两个符号模式本身要能够匹配（合一），而且要求证据事实所含的不确定性程度必须达“标”，即必须达到一定的限度。这个限度一般称为“阈值”。

可以看出，不确定性推理与通常的确定性37(2)不确定性推理中一个规则的触发，不仅要求其前提能匹配成功，而且前提条件的不确定性总程度还必须至少达到阈值。(3)不确定性推理中推得的结论是否有效，也取决于其不确定性程度是否达到阈值。总之，不确定性推理要涉及：不确定性度量、阈值、上述各种度量计算方法等的定义和选取。所有这些就构成了所谓的不确定性推理模型，或不精确推理模型。

(2)不确定性推理中一个规则的触发，不387.4确定性理论确定性理论是肖特里菲（E.H.Shortliffe）等于1975年提出的一种不精确推理模型，它在专家系统MYCIN中得到了应用。确定性理论是用于随机不确定性的一种推理模型。

1.不确定性度量采用CF，即确定性因子（一般称为可信度），其定义如上节所述，取值范围为［-1，1］。7.4确定性理论确定性理论是392.前提证据事实总CF值计算CF(E1∧E2∧…∧En)＝min{CF(E1)，CF(E2)，…，CF(En)}CF(E1∨E2∨…∨En)＝max{CF(E1)，CF(E2)，…，CF(En)}其中E1，E2，…，En是与规则前提各条件匹配的事实。3.推理结论CF值计算CF(H)＝CF(H，E)·max{0，CF(E)}其中E是与规则前提对应的各事实，CF(H，E)是规则中结论的可信度，即规则强度。2.前提证据事实总CF值计算404.重复结论的CF值计算若同一结论H分别被不同的两条规则推出，而得到两个可信度CF(H)1和CF(H)2，则最终的CF(H)为CF(H)1＋CF(H)2－CF(H)1·CF(H)2当CF(H)1≥0，且CF(H)2≥0CF(H)=CF(H)1＋CF(H)2＋CF(H)1·CF(H)2当CF(H)1＜0，且CF(H)2＜0CF(H)1＋CF(H)2否则4.重复结论的CF值计算41例7.8设有如下一组产生式规则和证据事实，试用确定性理论求出由每一个规则推出的结论及其可信度。规则:①ifAthenB(0.9)②ifBandCthenD(0.8)③ifAandCthenD(0.7)④ifBorDthenE(0.6)事实:A，CF(A)=0.8;CF(C)=0.9例7.8设有如下一组产生式规则和证42解规则①得:CF(B)＝0.9×0.8＝0.72由规则②得:CF(D)1＝0.8×min{0.72，0.9)＝0.8×0.72＝0.576由规则③得:CF(D)2＝0.7×min{0.8，0.9)＝0.7×0.8＝0.56从而CF(D)＝CF(D)1＋CF(D)2－CF(D)1×CF(D)2＝0.576＋0.56－0.576×0.56＝0.32256由规则④得:CF(E)＝0.6×max{0.72，0.32256}＝0.6×0.72＝0.432解43第7章不确定性处理

7.1不确定性及其类型7.2不确定性知识的表示7.3不确定性推理的一般模式7.4确定性理论第7章不确定性处理7.1不确定性及其类型447.1不确定性及其类型由于客观世界的复杂、多变性和人类自身认识的局限、主观性，致使我们所获得、所处理的信息和知识中，往往含有不肯定、不准确、不完全甚至不一致的成分。这就是所谓的不确定性。事实上，不确定性大量存在于我们所处的信息环境中，例如人的日常语言中就几乎处处含有不确定性（瞧！这句话本身就含有不确定性：什么叫“几乎”？）。不确定性也大量存在于我们的知识特别是经验性知识之中。7.1不确定性及其类型由于客观世45所以，要实现人工智能，不确定性是无法回避的。人工智能必须研究不确定性，研究它们的表示和处理技术。事实上，关于不确定性的处理技术，对于人工智能的诸多领域，如专家系统、自然语言理解、控制和决策、智能机器人等，都尤为重要。按性质划分，不确定性大致可分为随机性、模糊性、不完全性、不一致性和时变性等几种类型。所以，要实现人工智能，不确定性是无法461.随机性随机性就是一个命题(亦即所表示的事件)的真实性不能完全肯定，而只能对其为真的可能性给出某种估计。例如，如果乌云密布并且电闪雷鸣，则很可能要下暴雨。如果头痛发烧，则大概是患了感冒。就是两个含有随机不确定性的命题。当然，它们描述的是人们的经验性知识。1.随机性472.模糊性模糊性就是一个命题中所出现的某些言词，从概念上讲，无明确的内涵和外延，即是模糊不清的。例如，小王是个高个子。张三和李四是好朋友。如果向左转，则身体就向左稍倾。这几个命题中就含有模糊不确定性，因为其中的“高”、“好朋友”、“稍倾”等都是模糊概念。2.模糊性483.不完全性不完全性就是对某事物来说，关于它的信息或知识还不全面、不完整、不充分。例如，在破案的过程中，警方所掌握的关于罪犯的有关信息，往往就是不完全的。但就是在这种情况下，办案人员仍能通过分析、推理等手段而最终破案。3.不完全性494.不一致性不一致性就是在推理过程中发生了前后不相容的结论；或者随着时间的推移或者范围的扩大，原来一些成立的命题变得不成立、不适合了。例如，牛顿定律对于宏观世界是正确的，但对于微观世界和宇观世界却是不适合的。4.不一致性507.2不确定性知识的表示7.2.1随机性知识的表示我们只讨论随机性产生式规则的表示。对于随机不确定性，一般采用信度（或称可信度）来刻划。一个命题的信度是指该命题为真的可信程度。例如，(这场球赛甲队取胜，0.9)这里的0.9就是命题“这场球赛甲队取胜”的可信度。它表示“这场球赛甲队取胜”这个命题为真（即这个事件发生）的可能性程度是0.9。7.2不确定性知识的表示7.2.1随机性知识51随机性产生式的一般表示形式为A→B(C(A→B))(7―1)或者A→(B，C(B|A))(7--2)其中C(A→B)表示规则A→B为真的信度；而C(B|A)表示规则的结论B在前提A为真的情况下为真的信度。例如，对上节中给出的两个随机性命题，其随机性可以用信度来表示。

随机性产生式的一般表示形式为52信度也可以是基于概率的某种度量。例如，在著名的专家系统MYCIN中，其规则E→H中，结论H的信度就被定义为当P(H|E)>P(H)当P(H|E)=P(H)当P(H|E)<P(H)信度也可以是基于概率的某种度量。例如53其中，E表示规则的前提，H表示规则的结论，P(H)是H的先验概率，P(H|E)是E为真时H为真的条件概率，CF(CertaintyFactor)称为确定性因子，即可信度。由此定义，可以求得CF的取值范围为［-1，1］。当CF＝1时，表示H肯定真；CF=-1表示H肯定假；CF=0表示E与H无关。这个可信度的表达式是什么意思呢？原来，CF是由称为信任增长度MB和不信任增长度MD相减而来的。即CF(H，E)＝MB(H，E)-MD(H，E)其中，E表示规则的前提，H表示规则的54当P(H)=1否则当P(H)=0否则当P(H)=1否则当P(H)=0否则55当MB(H，E)>0，表示由于证据E的出现增加了对H的信任程度。当MD(H，E)>0，表示由于证据E的出现增加了对H的不信任程度。由于对同一个证据E，它不可能既增加对H的信任程度又增加对H的不信任程度，因此，MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的，即当MB(H，E)>0时，MD(H，E)＝0；当MD(H，E)>0时，MB(H，E)＝0。当MB(H，E)>0，表示由于证据E567.2.2模糊性知识的表示对于模糊不确定性，一般采用程度或集合来刻划。所谓程度就是一个命题中所描述的事物的属性、状态和关系等的强度。例如，我们用三元组（张三，体型，(胖，0.9）)表示命题“张三比较胖”，其中的0.9就代替“比较”而刻划了张三“胖”的程度。这种程度表示法，一般是一种针对对象的表示法。其一般形式为（<对象>，<属性>，(<属性值>，<程度>）)7.2.2模糊性知识的表示57可以看出，它实际是通常三元组（<对象>，<属性>，<属性值>）的细化，其中的<程度>一项是对前面属性值的精确刻划。事实上，这种思想和方法还可广泛用于产生式规则、谓词逻辑、框架、语义网络等多种知识表示方法中，从而扩充它们的表示范围和能力。下面我们举例。可以看出，它实际是通常三元组（<对象58例7.1模糊规则(患者，症状，(头疼，0.95))∧(患者，症状，(发烧，1.1))→(患者，疾病，(感冒，1.2))可解释为:如果患者有些头疼并且发高烧，则他患了重感冒。例7.1模糊规则59例7.2模糊谓词(1)1.0白(雪)或白1.0(雪)表示:雪是白的。(2)朋友1.15(张三，李四)或1.15朋友(张三，李四)表示:张三和李四是好朋友。(3)x(计算机系学生(x)1.0努力1.2(x))表示:计算机系的同学学习都很努力。例7.2模糊谓词60例7.3模糊框架框架名:<大枣>属:(<干果>,0.8)形:(圆,0.7)色:(红,1.0)味:(甘,1.1)用途:食用药用:用量:约五枚用法:水煎服注意：室温下半天内服完例7.3模糊框架61例7.4模糊语义网

理解人意狗食肉动物（灵敏，1.5）(can,0.3)(AKO,0.7)嗅觉例7.4模糊语义网(can,0.3)(AKO,0.7)嗅627.2.3模糊集合与模糊逻辑上面我们是从对象着眼，来讨论模糊性知识的表示方法的。若从概念着眼，模糊性知识中的模糊概念则可用所谓的模糊集合来表示。1.模糊集合定义1设Ｕ是一个论域，Ｕ到区间［0，1］的一个映射μ:Ｕ［0，1］7.2.3模糊集合与模糊逻辑63论域Ｕ上的模糊集合Ａ，一般可记为论域Ｕ上的模糊集合Ａ，一般可记为64例7.5设Ｕ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝，则Ｕ中“大数的集合”和“小数的集合”可分别定义如下：大数的集合＝0/0＋0/1＋0/2＋0.1/3＋0.2/4＋0.3/5＋0.5/6＋0.7/7＋0.9/8＋1/9＋1/10小数的集合＝1/0＋1/1＋1/2＋0.8/3＋0.7/4＋0.5/5＋0.4/6＋0.2/7＋0/8＋0/9＋0/10例7.5设Ｕ＝｛0，1，2，3，65例7.6设论域Ｕ＝［1，200］，表示人的年龄区间，则模糊概念“年轻”和“年老”可分别定义如下：当1≤u≤25当25≤u≤50当1≤u≤25当25≤u≤50例7.6设论域Ｕ＝［1，200］，662.模糊关系除了有些性质概念是模糊概念外，还存在不少模糊的关系概念。如“远大于”、“基本相同”、“好朋友”等就是一些模糊关系。模糊关系也可以用模糊集合表示。下面我们就用模糊子集定义模糊关系。定义2集合U1，U2，…，Un的笛卡尔积集U1×U2×…×Un的一个模糊子集，称为U1，U2，…，Un间的一个n元模糊关系。特别地，Un的一个模糊子集称为U上的一个n元模糊关系。2.模糊关系67例7.7设U＝{1，2，3，4，5}，U上的“远大于”这个模糊关系可用模糊子集表示如下:“远大于”＝0.1/(1，2)＋0.4/(1，3)＋0.7/(1，4)＋1/(1，5)+0.1/(2，3)＋0.4/(2，4)＋0.7/(2，5)＋0.1/(3，4)＋0.4/(3，5)＋0.1/(4，5)就像通常的关系可用矩阵表示一样，模糊关系也可以用矩阵来表示。例如上面的“远大于”用矩阵可表示如下：例7.7设U＝{1，2，3，4，681234500.10.40.71000.10.40.70000.10.400000.10000012345表示模糊关系的矩阵一般称为模糊矩阵。1234693.模糊集合的运算与普通集合一样，也可定义模糊集合的交、并、补运算。定义3设是X的模糊子集，的交集、并集和补集，分别由下面的隶属函数确定：3.模糊集合的运算704.模糊逻辑模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。设n元谓词可以看出，上述定义的模糊命题的真值，实际是把一个命题内部的隶属度，转化为整个命题的真实度。4.模糊逻辑可以看717.2.4多值逻辑我们知道，人们通常所使用的逻辑是二值逻辑。即对一个命题来说，它必须是非真即假，反之亦然。但现实中一句话的真假却并非一定如此，而可能是半真半假，或不真不假，或者真假一时还不能确定等等。这样，仅靠二值逻辑有些事情就无法处理，有些推理就无法进行。于是，人们就提出了三值逻辑、四值逻辑、多值逻辑乃至无穷值逻辑。7.2.4多值逻辑72我们介绍一种三值逻辑，称为Kleene三值逻辑。在这种三值逻辑中，命题的真值，除了“真”、“假”外，还可以是“不能判定”。其逻辑运算定义如下：∧TFUTFUTFUFFFUFU∨TFUTFUTTTTFUTTUPPTFUTTU我们介绍一种三值逻辑，称为Kleen737.2.5非单调逻辑所谓“单调”，是指一个逻辑系统中的定理随着推理的进行而总是递增的。那么，非单调就是逻辑系统中的定理随着推理的进行而并非总是递增的，就是说也可能有时要减少。传统的逻辑系统都是单调逻辑。但事实上，现实世界却是非单调的。例如，人们在对某事物的信息和知识不足的情况下，往往是先按假设或默认的情况进行处理，但后来发现得到了错误的或者矛盾的结果，则就又要撤消原来的假设以及由此得到的一切结论。7.2.5非单调逻辑74在非单调逻辑中，若由某假设出发进行的推理中一旦出现不一致，即出现与假设矛盾的命题，那么允许撤消原来的假设及由它推出的全部结论。基于非单调逻辑的推理称为非单调逻辑推理，或非单调推理。(1)在问题求解之前，因信息缺乏先作一些临时假设，而在问题求解过程中根据实际情况再对假设进行修正。(2)非完全知识库。随着知识的不断获取，知识数目渐增，则可能出现非单调现象。在非单调逻辑中，若由某假设出发进行的75(3)动态变化的知识库。常见的非单调推理有缺省推理（reasoningbydefault）和界限推理。由于篇幅所限，这两种推理不再详细介绍，有兴趣的读者可参阅有关专著。(3)动态变化的知识库。767.2.6时序逻辑对于时变性，人们提出了时序逻辑。时序逻辑也称时态逻辑，它将时间词(称为时态算子，如“过去”，“将来”，“有时”，“一直”等)或时间参数引入逻辑表达式，使其在不同的时间有不同的真值。从而可描述和解决时变性问题。时序逻辑在程序规范(specifications),程序验证以及程序语义形式化方面有重要应用，因而它现已成为计算机和人工智能科学理论的一个重要研究课题。7.2.6时序逻辑777.3不确定性推理的一般模式基于不确定性知识的推理称为不确定性推理，亦称为不精确推理。由于不确定性推理是基于不确定性知识的推理，所以，其结果仍然是不确定性的。但对不确定性知识，我们是用量化不确定性的方法表示的(实际是把它变成了确定性的了)，所以，不确定性推理的结果仍然应含有某种不确定性度量。7.3不确定性推理的一般模式基78所以，不确定性推理的一般模式就可简单地表示为不确定性推理＝符号模式匹配＋不确定性计算这里的不确定性计算是基于各种不确定性度量，如信度、真度、各种特征(值)强度、隶属度等的计算。所以，不确定性推理的一般模式就可简单地79可以看出，不确定性推理与通常的确定性推理相比，区别在于多了个数值计算过程。

但正由于需要计算，所以，不确定性推理就与通常的确定性推理有了质的差别。主要表现在以下几个方面:(1)不确定性推理中符号模式匹配能否成功，不但要求两个符号模式本身要能够匹配（合一），而且要求证据事实所含的不确定性程度必须达“标”，即必须达到一定的限度。这个限度一般称为“阈值”。

可以看出，不确定性推理与通常的确定性80