资金约束下的多阶段套期保值分析课件

资金约束下的多阶段套期保值研究

华南理工大学张卫国资金约束下的多阶段套期保值研究华南理工大学主要内容123问题的提出单品种套期保值模型及有效性多品种套期保值模型及有效性资金约束下多阶段套期保值模型及有效性多阶段收益不相关复合期货组合套期保值模型实际应用主要内容123问题的提出单品种套期保值模型及有效性1.1问题的提出套期保值是通过在期货市场建立与现货市场数量相当、交易相反的头寸来对冲现货市场头寸,从而达到规避现货价格风险的活动。现有套期保值研究可分为静态和动态调整两大类。静态调整模型把套期保值策略看作静态不变的(单期）。动态调整模型主要是通过整体考虑多期套期保值,给出相应的优化策略。1.1问题的提出套期保值是通过在期货市场建立与现货市场数量1.1问题的提出国内外套期保值失败导致巨额亏损屡见不鲜1993年，德国金属公司（MGRM）损失42亿美元，多家银行对其进行援助，才免遭破产2008年，东航套期保值损失高达62亿元人民币2008年，中国远洋套期保值浮亏高达39.5亿元我们总结一些套保案例失败的原因如下：期货资产的波动性较大，时常会导致保证金的不足，需要投资者及时补足保证金；但投资主体短期内却没有足够的资金来维持，最终被迫平仓，套期保值的策略也就失败了。1.1问题的提出国内外套期保值失败导致巨额亏损屡见不鲜1.1问题的提出-MGRM公司案例1989年，德国排名第十四位的工业企业德国金属公司（MetallgesellschaftA.G.，以下简称MG公司）及其它在美国的若干关联子公司共获得了美国Castle能源公司49％的股份，Castle公司原先是美国的一家石油、天然气开采企业，德国金属公司参股后，通过融资帮助Castle公司建立了石油提炼加工厂。1.1问题的提出-MGRM公司案例1989年，德国排名第十四1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM与Castle公司签订了一份长期合约，包销Castle公司所有的石油提炼产品，以最近月份的原油价格加成若干美元作为购买价格。

MRGM公司在1992年与客户签订了一份10年的远期供油合同，承诺在未来10年内以稍高于当时市价的固定价格定期提供给客户总量约1.6亿桶的石油商品。1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM与Castle公1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮动的价格购入，然后以事先约定的固定价格销售，这种购销关系都是长期性。因此，MGRM公司不得不采用期货等金融衍生品进行风险管理。当时的NYMEX最远的期货合约是18个月，但几乎没有交易。MGRM这么大的头寸根本无法在冷清月份上实现。因此，MGRM公司采取的就是滚动套期保值方法进行风险管理。1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮动的价1.1问题的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGRM公司在NYMEX建立了相当于5500万桶的德克萨斯中质原油、无铅汽油和2号取暖油期货合约头寸（相当于55000张合约）。而当时的NYMEX的无铅汽油和2号取暖油的每日交易量平均在15000－30000张

左右。这些套保头寸都是多头。

1993年底，OPEC未能在减产问题上达成协议，油价价格直线下滑，从每桶19美元跌至15美元，这使得MGRM公司持有的多头头寸面临庞大的保证金追缴。而其长期供油合约收益还未实现，所以出现了庞大的资金缺口。1.1问题的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGR1.1问题的提出-MGRM公司案例紧接着，关于MGRM公司大量亏损、资金困难的消息开始在金融市场传播，NYMEX为了防止出现违约，要求MGRM提供“超级”保证金（SuperMargin），数额是平常保证金的两倍。之后，NYMEX宣布撤销对MGRM公司头寸的套期保值豁免，这意味着MGRM不得不大量平仓。而他在现货上虽然积累了大量的潜在利润，但由于难以变现而形同虚设。MGRM在能源期货和互换交易上损失13亿美元，其后，MG公司又花了10亿美元解除与Castle能源公司的合约。150家德国和其它国际银行对MG公司采取了一个数额高达19亿美元的拯救行动，才使得MG公司避免了破产。

1.1问题的提出-MGRM公司案例紧接着，关于MGRM公司多阶段套期保值的风险多阶段套期保值风险基差风险投机风险决策风险财务风险交割风险流动性风险多阶段套期保值的风险多阶段套期保值风险基差风险1.1问题的提出（续）以往的研究往往忽视套保的成本和资金约束。但是在实际中，资金约束是较常见的情形，特别在是多阶段的套保投资中：期货浮亏，造成资金缺口：如果决策时不考虑资金约束，当资产价格出现较大变动，出现保证金不足的状况，而此时公司的资金（融资能力）有限，就会出现流动性不足的问题，严重者如德国金属公司、美国长期资本管理公司，会造成公司破产和区域银行危机的严重后果。套保成本：实际中购买期权期货的成本也比较高，不容忽略。例如：08年东航进行套保的时候，就为了节约套保成本，而利用卖出看跌期权争取期权费用来抵充昂贵的买入看涨期权费。1.1问题的提出（续）以往的研究往往忽视套保的成本和资金约所以有必要对资金约束下的多期套期保值问题进行研究。所以有必要对资金约束下的多期套期保值问题进行研究。

关于资金约束下的套期保值模型研究，包括单品种模型和多品种模型。（1）资金约束下的单品种套期保值模型：

Blank提出了套期保值资金约束下的实证模型。吴冲锋提出了连续N天出现涨跌停所需的最小资金模型。Lien研究了资金流动性约束对于套期保值的影响，结果显示资金流动性约束将导致较小的期货头寸。Wong研究了资金流动性约束下期货价差在套期保值的作用。杨万武建立了基于资金限制的最优Sharp套期比模型。Lien和Wong研究了资金流动性约束下跨国公司的外汇汇率套期保值模型。这些研究基本属于单阶段套期保值的研究，对资金约束下的多阶段套期保值问题的探讨非常少。

1.2资金约束下的套期保值关于资金约束下的套期保值模型研究，包括单品种模型1.

（2）资金约束下的多品种套期保值模型这方面的研究主要有：迟国泰建立了基于资金限制的多品种套保模型，利用多元GARCH预测多品种组合的资金需求量，确定多品种套期保值的最优策略。Wong和Xu研究了资金约束下的期货期权组合的套期保值模型。Adam-Muller和Panaretou则研究了借入资金的期货期权组合的套期保值模型。Fu和Zhang则研究了资金约束下规避逐日盯市风险的多品种交叉套期保值模型。目前，资金约束下的多品种套期保值模型只有单阶段方面的研究，尚未涉及到多阶段的问题。1.2资金约束下的套期保值（续）（2）资金约束下的多品种套期保值模型1.2资金约束下的2.1多阶段单品种套保模型考虑以下投资情形：

公司长期需要采购原材料，为了规避风险，公司决定用期货交易锁定原料成本。但有两个问题：（1）由于投资期限长，市场上没有期限相匹配的期货品种，这就需要在投资期限内展期期货合约；（2）用于采购和套保的经费固定，每个阶段需要平衡原材料现货和期货的资金占用（对现货资产和期货资产进行分配），从而实现长期套期保值的风险最小。2.1多阶段单品种套保模型考虑以下投资情形：2.1.1多阶段单品种套保模型假设现货S用期货F进行套期保值，etS和etF分别是第t期初两种资产的收益率，utS和utF分别是第t期初两种资产的投资额，Xt是第t期初的资产总额。第t期初和第t+1期初持有的套保组合资产总额：由于多期套期保值是以末期风险最小为目标，即目标函数为：建立模型：资金约束条件状态转移方程2.1.1多阶段单品种套保模型假设现货S用期货F进2.1.1多阶段单品种套保模型（续）E2(XT)使目标函数不可分，导致模型求解困难，因此我们构造辅助问题：转化条件：λ*=2E(XT)。其中，pt=etF-

etS2.1.1多阶段单品种套保模型（续）E2(XT)使目标函数

其中：2.1.2模型求解辅助模型求解将求得的必要条件代入辅助模型的解中得到原模型的推导结果：，，，其中：2.1.22.1.2模型求解原模型求解推导辅助模型求解推导实际求解过程实际应用时：只要确定初始的投资限额并估计出未来各期的收益率分布，就可以通过顺推的方式直接求出各期的资产配置额，而不需要进行动态规划的逆推迭代运算。2.1.2模型求解原模型求解推导辅助模型求解推导实际求解过2.1.3套头比及套保有效性最优套头比=套保有效性=其中，JtS

和JtF是现货和期货在第t期初的价格，c是保证金比例，Ct,μ,υ都是设定的中间变量。其中，a,b,c,

μ,υ都是设定的中间变量。2.1.3套头比及套保有效性最优套头比=套保有效性=其中2.2多阶段多品种套期保值现实中，很多现货没有对应的期货品种，只能使用其他价格相关性较大的品种来替代，为了增加套保的有效性，往往需要采用多种期货工具与现货进行组合对冲。由于期货的品种增加，在模型中套保比率和期货收益率就不单是一个变量，而是向量形式。但与上一节不同，本节的资金约束是考虑了如下情形：即现货头寸长期固定，而用来套保的费用有资金预算，整个期货组合的资金占用要低于投资者预算资金的约束，这种资金约束情形其实更为普遍的。2.2多阶段多品种套期保值现实中，很多现货没有对应的期货品2.2多阶段多品种套期保值（续）假设有数量为Q的现货资产需要保值，用n个期货品种进行对冲，hti是第i种期货在第t期初的投资额,Xt是第t期初所有期货资产总额，则t期初和t+1期初持有的期货资产总额：令Zt是第t期初整个套保组合资产总额，P0s为投资初期现货的价格，rTs为整个投资期内现货的总收益。则投资者在整个套期保值期间的资产变动为：

套期保值的目标是使投资末期整个套保组合资产变动的风险最小，则模型为：其中，，2.2多阶段多品种套期保值（续）假设有数量为Q的现货资产需2.2.1多品种套保模型建立表达式与模型M的解相同：建立资金约束下的多品种多阶段套保组合模型：，新模型解的将模型M的目标函数转化为与XT无关，不影响求解2.2.1多品种套保模型建立表达式与模型M的解相同：建立2.2.2模型求解以此为辅助模型的目标函数，得到辅助模型表示如下：AM(λ)的最优解转化为问题

M1的最优解的必要条件是λ*=2E(XT)-2QP0sE（rTs）。2.2.2模型求解以此为辅助模型的目标函数，得到辅助模型表2.2.2模型求解（续）辅助模型求解，将求得的必要条件代入辅助模型的解中。得到原模型的推导结果：其中，，，2.2.2模型求解（续）辅助模型求解，将求得的必要条件其2.2.3套头比及套保有效性最优套头比=套保有效性=其中，JtF期货在第t期初的价格，c是保证金比例。2.2.3套头比及套保有效性最优套头比=其中，JtF2.3模型进一步的探讨模型中资金约束条件的放宽：表面上看模型约束条件里的“等于”条件，即每期各种资产之和等于总资产的限制，过于严格，它只是所有投资情况的一种，更一般的是所需投入资金之和小于或者等于投资预算的约束。其实只要在资产组合中增加一种无风险资产，就可以达到放宽约束的效果，这样做也与现实中将多出的资金存入银行相符。实际上，加入缓冲资金后，与没有缓冲资金的情形相比，只要我们确定无风险资产在各阶段收益率的数值，就可以将原来的投资约束条件放宽至更自由的资金配置情形。2.3模型进一步的探讨模型中资金约束条件的放宽：2.4黄金套期保值实例(以单品种为例)表2.1：模型的输入变量：收益期望、方差和协方差期数t=0t=1t=2t=30.003291.07701.06191.05750.95200.003250.92260.90460.95771.0523-0.00305假设投资者有100万元准备用于黄金的实物投资和套期保值，为期4期，假设保证金率为10%。需要计算得到每个投资阶段的最优投资额和最佳套头比。选取2008年1月到2008年4月间国际黄金现货和黄金期货价格的数据进行分析，计算出各期黄金现货和期货月市场收益率的均值、方差和协方差，各期的方差、协方差为整个样本的统计值，故4期都相同。2.4黄金套期保值实例(以单品种为例)表2.1：模型的输入表2.2：各期资产配置结果和期末财富值（百万元）期数t=0t=1t=2t=3t=4S分配的资产0.90270.90450.90940.9120F分配的资产0.09730.08960.08750.0867最优套头比1.0760.9910.9630.951t期财富值10.99410.99690.99870.9963未套保的末期风险0.0164套保后的末期风险7.15*10-4套保有效性95.64%2.4黄金套期保值实例(以单品种为例)表2.2：各期资产配置结果和期末财富值（百万元）期数t=0t2.4实证分析（续）本模型与传统模型套保有效性比较：

当两者相关程度较高时，两种方法的套保有效性都很高，效果相差不明显；当相关程度降低时，两种方法的套保有效性也降低，但是本文方法相对传统方法的优越性越来越明显。所以，我们认为本文的方法能有效提高套保组合的套保有效性。相关系数本模型的套保有效性传统模型的套保有效性套保有效性提高比例0.99499.63%99.14%0.50%0.93395.64%89.72%6.59%0.87291.82%80.66%13.83%0.81188.17%71.97%22.51%0.75084.69%63.66%33.04%0.62778.25%48.26%62.13%表2.3：在相关系数变化时，套保有效性的对比2.4实证分析（续）本模型与传统模型套保有效性比较：本模型3.多阶段收益不相关复合期货组合

问题的提出：某现货有多个风险来源，而这些风险来源分别来自不同方面，波动的相关性很小。由多种材料加工而成的合成品其原材料时常是来自不同行业和不同领域的，这些原料由于影响因素完全不同，所以期货价格波动基本不相关性。由于收益不相关的期货价格之间的协方差为0，使其能够简化模型参数的估计量，简化模型的推导过程以及最终的推导结果。3.多阶段收益不相关复合期货组合问题的提出：问题的提出：Step1：多阶段多品种套保模型：将多种期货直接与现货进行套期保值，确定最优套头比和套保有效性。Step1：收益不相关复合期货组合模型：将多种期货打包为一个复合期货，确定各阶段各种期货在复合期货组合中的投资比例。Step2：多阶段单品种套保模型：

将打包的复合期货视为单品种期货与现货进行套期保值，确定最优套头比和套保有效性。收益不相关复合期货套期保值方法：多阶段多品种套保模型：与前面多品种套保组合的构建方法不同：问题的提出：Step1：多阶段多品种套保模型：Step1：收3.1模型的建立

假设需要n+1种期货进行套期保值，Xt是第t期初所有期货资产的总额，eti（i=0,1,…,n）是第t期初第i种资产的收益率，uti（i=0,1,…,n）分别是第t期初第i种资产的投资额。第t期初和第t+1期初持的期货组合资产总额为：令投资者的目标函数是如下的效用函数形式：

资金约束条件状态转移方程其中：3.1模型的建立假设需要n+1种期货进行套期保值，3.2模型推导由于协方差矩阵为对角矩阵，导致目标函数变成为一个光滑而且可分的函数，所以模型可以直接用动态规划方法求解，而不需要嵌套辅助模型。目标函数中XT用XT-1来替代，由于期货资产收益率互不相关，故可以得到投资末期总资产的期望和方差为:3.2模型推导由于协方差矩阵为对角矩阵，导致目标函数变成为3.2模型推导通过同样的动态规划方法，我们可以推出任意t阶段的最优投资比例及其效用函数的表达式：3.2模型推导通过同样的动态规划方法，我们可以推出任意t阶3.3存在无风险资产投资时的模型当投资组合中有无风险资产时，则E（et0）等于一个常量st，并且由于无风险资产在较长时间内都相对固定，故，也就是说是AT所有风险资产收益率方差的对角矩阵。此时投资末期总资产的方差变为：通过相同的步骤可以求出决策变量:投资者在t阶段（0≤t≤T-2）的最佳投资策略是全仓持有使目标函数增长最快的期货资产，而空仓剩余期货资产。3.3存在无风险资产投资时的模型当投资组合中有无风险资产时3.4数值例子例1：只含期货资产的优化模型举例

假设一家长期专门从事出口的汽车轮胎生产商，为了规避原材料橡胶、钢材和汇率的风险，选择以这三种资产作为标的的期货进行套期保值，为时4期。由于这三种期货属于不同的行业，收益率波动基本互不影响，故可以将它们视为收益不相关的期货资产组合。

表3.1：三种期货资产的各期收益率和方差资产期数ABCt=01.1621.2461.317t=11.2721.3911.191t=21.1611.2481.064t=31.2711.0631.191方差0.0040.0180.0107相关系数-0.08-0.0060.0063.4数值例子例1：只含期货资产的优化模型举例假设一家长3.4数值例子（续）令A资产为0资产，则以t=1为例，计算出模型各参数值：将计算得到的各期参数代入推导出的表达式中，就可以得到使得投资者末期的效用函数最大的投资策略，最终解得该投资组合到第3期期末的总资产期望值和方差分别为：3.4数值例子（续）令A资产为0资产，则以t=1为例，计算3.4数值例子（续）例2：现考虑期货组合中加入无风险资产的情形，投资策略将发生变化。无风险利率设为1.035，其它资产仍然是上述的3种风险资产。具体的投资策略如下：第0期，将全部资产1投资于期货C；第1期，将增值后的全部资产E(X1)=1.317投资于期货B；第2期，将全部资产E(X2)=1.832投资于期货A，末期得到期望收入E(X3)=2.286；第3期，根据ω的不同，最优投资策略不同。3.4数值例子（续）例2：现考虑期货组合中加入无风险资产的3.4数值例子（续）表3.2：不同风险偏好（ω值不同）时的最优投资策略ω值资产ω=1ω=3ω=5ω=7无风险资产-8.2665-1.23150.17550.7785资产A8.06662.68891.61331.1524资产B0.41790.13930.08360.0597资产C2.06790.68930.41360.2954E(X4)4.59943.11052.81272.6851Var(X4)1.11670.12410.04470.02283.4数值例子（续）表3.2：不同风险偏好（ω值不同）时的3.4数值例子将以上得到的不相关复合期货组合与现货进行资金约束下的套期保值。只要给出现货和复合期货组合在各期的收益率和收益的方差，就可以利用本文多阶段单品种模型和推导结果，得到套期保值各期的最优套头比和套保有效性（具体结果如下

）。

使用模型3.1得到的各期资产配置结果和期末财富值（百万元）期数t=0t=1t=2t=3t=4t=5S分配的资产0.91740.93260.92040.91200.9078－－F分配的资产0.08260.07010.07660.08410.0844－－最优套头比0.90010.75240.83370.92210.9294－－t期财富值11.00270.99700.99610.99220.9892未套保的末期风险2.0403*10-4套保后的末期风险4.130*10-5套保有效性79.76%3.4数值例子将以上得到的不相关复合期货组合与现货进行资金谢谢！谢谢！资金约束下的多阶段套期保值研究

华南理工大学张卫国资金约束下的多阶段套期保值研究华南理工大学主要内容123问题的提出单品种套期保值模型及有效性多品种套期保值模型及有效性资金约束下多阶段套期保值模型及有效性多阶段收益不相关复合期货组合套期保值模型实际应用主要内容123问题的提出单品种套期保值模型及有效性1.1问题的提出套期保值是通过在期货市场建立与现货市场数量相当、交易相反的头寸来对冲现货市场头寸,从而达到规避现货价格风险的活动。现有套期保值研究可分为静态和动态调整两大类。静态调整模型把套期保值策略看作静态不变的(单期）。动态调整模型主要是通过整体考虑多期套期保值,给出相应的优化策略。1.1问题的提出套期保值是通过在期货市场建立与现货市场数量1.1问题的提出国内外套期保值失败导致巨额亏损屡见不鲜1993年，德国金属公司（MGRM）损失42亿美元，多家银行对其进行援助，才免遭破产2008年，东航套期保值损失高达62亿元人民币2008年，中国远洋套期保值浮亏高达39.5亿元我们总结一些套保案例失败的原因如下：期货资产的波动性较大，时常会导致保证金的不足，需要投资者及时补足保证金；但投资主体短期内却没有足够的资金来维持，最终被迫平仓，套期保值的策略也就失败了。1.1问题的提出国内外套期保值失败导致巨额亏损屡见不鲜1.1问题的提出-MGRM公司案例1989年，德国排名第十四位的工业企业德国金属公司（MetallgesellschaftA.G.，以下简称MG公司）及其它在美国的若干关联子公司共获得了美国Castle能源公司49％的股份，Castle公司原先是美国的一家石油、天然气开采企业，德国金属公司参股后，通过融资帮助Castle公司建立了石油提炼加工厂。1.1问题的提出-MGRM公司案例1989年，德国排名第十四1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM与Castle公司签订了一份长期合约，包销Castle公司所有的石油提炼产品，以最近月份的原油价格加成若干美元作为购买价格。

MRGM公司在1992年与客户签订了一份10年的远期供油合同，承诺在未来10年内以稍高于当时市价的固定价格定期提供给客户总量约1.6亿桶的石油商品。1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM与Castle公1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮动的价格购入，然后以事先约定的固定价格销售，这种购销关系都是长期性。因此，MGRM公司不得不采用期货等金融衍生品进行风险管理。当时的NYMEX最远的期货合约是18个月，但几乎没有交易。MGRM这么大的头寸根本无法在冷清月份上实现。因此，MGRM公司采取的就是滚动套期保值方法进行风险管理。1.1问题的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮动的价1.1问题的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGRM公司在NYMEX建立了相当于5500万桶的德克萨斯中质原油、无铅汽油和2号取暖油期货合约头寸（相当于55000张合约）。而当时的NYMEX的无铅汽油和2号取暖油的每日交易量平均在15000－30000张

左右。这些套保头寸都是多头。

1993年底，OPEC未能在减产问题上达成协议，油价价格直线下滑，从每桶19美元跌至15美元，这使得MGRM公司持有的多头头寸面临庞大的保证金追缴。而其长期供油合约收益还未实现，所以出现了庞大的资金缺口。1.1问题的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGR1.1问题的提出-MGRM公司案例紧接着，关于MGRM公司大量亏损、资金困难的消息开始在金融市场传播，NYMEX为了防止出现违约，要求MGRM提供“超级”保证金（SuperMargin），数额是平常保证金的两倍。之后，NYMEX宣布撤销对MGRM公司头寸的套期保值豁免，这意味着MGRM不得不大量平仓。而他在现货上虽然积累了大量的潜在利润，但由于难以变现而形同虚设。MGRM在能源期货和互换交易上损失13亿美元，其后，MG公司又花了10亿美元解除与Castle能源公司的合约。150家德国和其它国际银行对MG公司采取了一个数额高达19亿美元的拯救行动，才使得MG公司避免了破产。

1.1问题的提出-MGRM公司案例紧接着，关于MGRM公司多阶段套期保值的风险多阶段套期保值风险基差风险投机风险决策风险财务风险交割风险流动性风险多阶段套期保值的风险多阶段套期保值风险基差风险1.1问题的提出（续）以往的研究往往忽视套保的成本和资金约束。但是在实际中，资金约束是较常见的情形，特别在是多阶段的套保投资中：期货浮亏，造成资金缺口：如果决策时不考虑资金约束，当资产价格出现较大变动，出现保证金不足的状况，而此时公司的资金（融资能力）有限，就会出现流动性不足的问题，严重者如德国金属公司、美国长期资本管理公司，会造成公司破产和区域银行危机的严重后果。套保成本：实际中购买期权期货的成本也比较高，不容忽略。例如：08年东航进行套保的时候，就为了节约套保成本，而利用卖出看跌期权争取期权费用来抵充昂贵的买入看涨期权费。1.1问题的提出（续）以往的研究往往忽视套保的成本和资金约所以有必要对资金约束下的多期套期保值问题进行研究。所以有必要对资金约束下的多期套期保值问题进行研究。

关于资金约束下的套期保值模型研究，包括单品种模型和多品种模型。（1）资金约束下的单品种套期保值模型：

Blank提出了套期保值资金约束下的实证模型。吴冲锋提出了连续N天出现涨跌停所需的最小资金模型。Lien研究了资金流动性约束对于套期保值的影响，结果显示资金流动性约束将导致较小的期货头寸。Wong研究了资金流动性约束下期货价差在套期保值的作用。杨万武建立了基于资金限制的最优Sharp套期比模型。Lien和Wong研究了资金流动性约束下跨国公司的外汇汇率套期保值模型。这些研究基本属于单阶段套期保值的研究，对资金约束下的多阶段套期保值问题的探讨非常少。

1.2资金约束下的套期保值关于资金约束下的套期保值模型研究，包括单品种模型1.

（2）资金约束下的多品种套期保值模型这方面的研究主要有：迟国泰建立了基于资金限制的多品种套保模型，利用多元GARCH预测多品种组合的资金需求量，确定多品种套期保值的最优策略。Wong和Xu研究了资金约束下的期货期权组合的套期保值模型。Adam-Muller和Panaretou则研究了借入资金的期货期权组合的套期保值模型。Fu和Zhang则研究了资金约束下规避逐日盯市风险的多品种交叉套期保值模型。目前，资金约束下的多品种套期保值模型只有单阶段方面的研究，尚未涉及到多阶段的问题。1.2资金约束下的套期保值（续）（2）资金约束下的多品种套期保值模型1.2资金约束下的2.1多阶段单品种套保模型考虑以下投资情形：

公司长期需要采购原材料，为了规避风险，公司决定用期货交易锁定原料成本。但有两个问题：（1）由于投资期限长，市场上没有期限相匹配的期货品种，这就需要在投资期限内展期期货合约；（2）用于采购和套保的经费固定，每个阶段需要平衡原材料现货和期货的资金占用（对现货资产和期货资产进行分配），从而实现长期套期保值的风险最小。2.1多阶段单品种套保模型考虑以下投资情形：2.1.1多阶段单品种套保模型假设现货S用期货F进行套期保值，etS和etF分别是第t期初两种资产的收益率，utS和utF分别是第t期初两种资产的投资额，Xt是第t期初的资产总额。第t期初和第t+1期初持有的套保组合资产总额：由于多期套期保值是以末期风险最小为目标，即目标函数为：建立模型：资金约束条件状态转移方程2.1.1多阶段单品种套保模型假设现货S用期货F进2.1.1多阶段单品种套保模型（续）E2(XT)使目标函数不可分，导致模型求解困难，因此我们构造辅助问题：转化条件：λ*=2E(XT)。其中，pt=etF-

etS2.1.1多阶段单品种套保模型（续）E2(XT)使目标函数

其中：2.1.2模型求解辅助模型求解将求得的必要条件代入辅助模型的解中得到原模型的推导结果：，，，其中：2.1.22.1.2模型求解原模型求解推导辅助模型求解推导实际求解过程实际应用时：只要确定初始的投资限额并估计出未来各期的收益率分布，就可以通过顺推的方式直接求出各期的资产配置额，而不需要进行动态规划的逆推迭代运算。2.1.2模型求解原模型求解推导辅助模型求解推导实际求解过2.1.3套头比及套保有效性最优套头比=套保有效性=其中，JtS

和JtF是现货和期货在第t期初的价格，c是保证金比例，Ct,μ,υ都是设定的中间变量。其中，a,b,c,

μ,υ都是设定的中间变量。2.1.3套头比及套保有效性最优套头比=套保有效性=其中2.2多阶段多品种套期保值现实中，很多现货没有对应的期货品种，只能使用其他价格相关性较大的品种来替代，为了增加套保的有效性，往往需要采用多种期货工具与现货进行组合对冲。由于期货的品种增加，在模型中套保比率和期货收益率就不单是一个变量，而是向量形式。但与上一节不同，本节的资金约束是考虑了如下情形：即现货头寸长期固定，而用来套保的费用有资金预算，整个期货组合的资金占用要低于投资者预算资金的约束，这种资金约束情形其实更为普遍的。2.2多阶段多品种套期保值现实中，很多现货没有对应的期货品2.2多阶段多品种套期保值（续）假设有数量为Q的现货资产需要保值，用n个期货品种进行对冲，hti是第i种期货在第t期初的投资额,Xt是第t期初所有期货资产总额，则t期初和t+1期初持有的期货资产总额：令Zt是第t期初整个套保组合资产总额，P0s为投资初期现货的价格，rTs为整个投资期内现货的总收益。则投资者在整个套期保值期间的资产变动为：

套期保值的目标是使投资末期整个套保组合资产变动的风险最小，则模型为：其中，，2.2多阶段多品种套期保值（续）假设有数量为Q的现货资产需2.2.1多品种套保模型建立表达式与模型M的解相同：建立资金约束下的多品种多阶段套保组合模型：，新模型解的将模型M的目标函数转化为与XT无关，不影响求解2.2.1多品种套保模型建立表达式与模型M的解相同：建立2.2.2模型求解以此为辅助模型的目标函数，得到辅助模型表示如下：AM(λ)的最优解转化为问题

M1的最优解的必要条件是λ*=2E(XT)-2QP0sE（rTs）。2.2.2模型求解以此为辅助模型的目标函数，得到辅助模型表2.2.2模型求解（续）辅助模型求解，将求得的必要条件代入辅助模型的解中。得到原模型的推导结果：其中，，，2.2.2模型求解（续）辅助模型求解，将求得的必要条件其2.2.3套头比及套保有效性最优套头比=套保有效性=其中，JtF期货在第t期初的价格，c是保证金比例。2.2.3套头比及套保有效性最优套头比=其中，JtF2.3模型进一步的探讨模型中资金约束条件的放宽：表面上看模型约束条件里的“等于”条件，即每期各种资产之和等于总资产的限制，过于严格，它只是所有投资情况的一种，更一般的是所需投入资金之和小于或者等于投资预算的约束。其实只要在资产组合中增加一种无风险资产，就可以达到放宽约束的效果，这样做也与现实中将多出的资金存入银行相符。实际上，加入缓冲资金后，与没有缓冲资金的情形相比，只要我们确定无风险资产在各阶段收益率的数值，就可以将原来的投资约束条件放宽至更自由的资金配置情形。2.3模型进一步的探讨模型中资金约束条件的放宽：2.4黄金套期保值实例(以单品种为例)表2.1：模型的输入变量：收益期望、方差和协方差期数t=0t=1t=2t=30.003291.07701.06191.05750.95200.003250.92260.90460.95771.0523-0.00305假设投资者有100万元准备用于黄金的实物投资和套期保值，为期4期，假设保证金率为10%。需要计算得到每个投资阶段的最优投资额和最佳套头比。选取2008年1月到2008年4月间国际黄金现货和黄金期货价格的数据进行分析，计算出各期黄金现货和期货月市场收益率的均值、方差和协方差，各期的方差、协方差为整个样本的统计值，故4期都相同。2.4黄金套期保值实例(以单品种为例)表2.1：模型的输入表2.2：各期资产配置结果和期末财富值（百万元）期数t=0t=1t=2t=3t=4S分配的资产0.90270.90450.90940.9120F分配的资产0.09730.08960.08750.0867最优套头比1.0760.9910.9630.951t期财富值10.99410.99690.99870.9963未套保的末期风险0.0164套保后的末期风险7.15*10-4套保有效性95.64%2.4黄金套期保值实例(以单品种为例)表2.2：各期资产配置结果和期末财富值（百万元）期数t=0t2.4实证分析（续）本模型与传统模型套保有效性比较：

当两者相关程度较高时，两种方法的套保有效性都很高，效果相差不明显；当相关程度降低时，两种方法的套保有效性也降低，但是本文方法相对传统方法的优越性越来越明显。所以，我们认为本文的方法能有效提高套保组合的套保有效性。相关系数本模型的套保有效性传统模型的套保有效性套保有效性提高比例0.99499.63%99.14%0.50%0.93395.64%89.72%6.59%0.87291.82%80.66%13.83%0.81188.17%71.97%22.51%0.75084.69%63.66%33.04%0.62778.25%48.26%62.13%表2.3：在相关系数变化时，套保有效性的对比2.4实证分析（续）本模型与传统模型套保有效性比较：本模型3.多阶段收益不相关复合期货组合

问题的提出：某现货有多个风险来源，而这些风险来源分别来自不同方面，波动的相关性很小。由多种材料加工而成的合成品其原材料时常是来自不同行业和不同领域的，这些原料由于影响因素完全不同，所以期货价格波动基本不相关性。由于收益不相关的期货价格之间的协方差为0，使其能够简化模型参数的估计量，简化模型的推导过程以及最终的推导结果。3.多阶段收益不相关复合期货组合问题的提出：问题的提出：Step1：多阶段多品种套保模型：将多种期货直接与现货进行套期保值，确定最优套头比和套保有效性。Step1：收益不相关复合期货组合模型：将多种期货打包为一个复合期货，确定各阶段各种期货在复合期货组合中的投资比例。Step2：多阶段单品种套保模型：

将打包的复合期货视为单品种期货与现货进行套期保值，确定最优套头比和套保有效性。收益不相关复合期货套期保值方法：多阶段多品种套保模型：与前面多品种套保组合的构建方法不同：问题的提出：Step1：多阶段多品种套保模型：Step1：收3.1模型的建立

假设需要n+1种期货进行套期保值，Xt是第t期初所有期货资产的总额，eti（i=0,1,…,n）是第t期初第i种资产的收益率，uti（i=0,1,…,n）分别是第t期初第i种资产的投资额。第t期初和第t+1期初持的期货组合资产总额为：令投资者的目标函数是如下的效用函数形式：

资金约束条件状态转移方程其中：3.1模型的建立假设需要n+1种期货进行套期保值，3.2模型推导由于协方差矩阵为对角矩阵，导致目标函数变成为一个光滑而且可分的函数，所以模型可以直接用动态规划方法求解，而不需要嵌套辅助模型。目标函数中XT用XT-1来替代，由于期货资产收益率互不相关，故可以得到投资末期总资产的期望和方差为:3.2模型推导由于协方差矩阵为对角矩阵，导致目标函数变成为3.2模型推导通过同样的动