信号与系统离散时间系统习题详解

信号与系统离散时间系统习题详解8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。图题8-21y[n1

y[n1]b2

y[n2]a0

x[n]a1

x[n1] 二阶8-3y[1]（用逐次迭代方法求。（1）[n] （2）u[n] 8-3y[n13（1）

y[n1]x[n]1n

（2）

3 11y[n]3

u[n]

y[n]( ()n)u[n]2 23y[n]32y[n]32110 1 2 3 4 n 0 1 2 3 4 n8-7 求解下列差分方程的完全解。（1）y[n]2y[n1]n2,1 （2）y[n]5y[nn, y[1]01）

[nC(2)n

[n]DnD

，代入原方程h p 1 21 4DnD 2D(n1)2D n2D ,D 1 2 1 2

1 3 2 91 4 完全响应为：[n]C2n n ，代入[]1得：C 1 4 3 9 913 1 4[n] 2n n9 3 9

[nC(5)n

[n]DnD

，代入原方程h p 1 2DnD5D

(n1)5DnD1,D51 2 1

2 1 6

2 36y[nC1n6

5，代入36

0C5361[n] 5n136

6n5]z变换解下列差分方程。（1）y[n]+0.1y[n1]0.02y[n2]=10u[n]，y[1]=4，y[2]=6（2）y[n]0.9y[n1]=0.05u[n]，y[1]=1（3）y[n]+2y[n1]=(n2)u[n]，y[0]=1解：（2）zY(z)0.9z1[Y(z)y[1]z]0.05

zz1Y(z){10.9z1}0.05

zz

0.9y[1]Y(z)

0.05z 0.9 0.05z2 0.9z(z1)(10.9z1) (10.9z1) (z1)(z0.9) (z0.9)Y(z) A B 0.5 0.45z z1 z0.9 z1 z0.90.5zy[n] Z1[

0.45

]0.5u[n]0.45(0.9) nu[n]z1 z0.9由差分方程得：y(0) 2 y(1) 2 y(1)

2 y(0) 32 2差分方程两边同时进行z变换：Y(z)2z

1[Y(z) y(1)z]

z 2 z(z1)2 z1Y(z)

z 2z

2y(1)(z1)2

(12z1) (z1)(12

1) (12z1)Y(z) z2 3z3

A B Cz (z1)

(z2) (z1)2 (z1) z23 9139 4 9 3 9139(z1)2 (z1) z213y[n](3n4 (2)n)u[n]139 9 9[n][n1]2[n2]=[n]+2[n2]y[1]2，y[2]1/2，x[nu[n]。求系统的零输入响应和零状态响应。解：差分方程两边同时进行ZY(z)z1Y(z)y[1]2z2[Y(z)z2y[2]zy[1]]X(z)2z2X(z)Y(z)[1z12z2](12z2)X(z)y[1]2y[2]2z1Y[1]Y(z) 12z21z12z2

X(z)

14z11z12z2Y(z)zi

14z11z12z2

z(z4)(z2)(z1)Y(z) A A

2 zi 1 2

z z2 z1

z2 z1y[n]2(2)nu[n]u[n]ziY(z) 12z2zs 1z12z2

X(z)

z22 z2z2

zz11223Y(z) B B 1223zs z

1 z2

2 z11

3 z13

z2

z1

z1y[n][2(2)nzs

2

28-16 y[ny[n1]x[n]所表示的因果离散系统：H(z)h[n]，并说明系统的稳定性；若系统起始状态为零，而且输入x[n]=10u[n]，求系统的响应y[n]。解1） 差分方程两边同时进行z变换：Y(z)z1Y(z) X(z)H(z) Y(z)X(z)

1 1z1

zz1h[n](1)nu[n]系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。(2) X(z)

10zz1

z 1

10z2

5z 5zY(z) X(z)H(z) (z1)(z1) z1 z1y[n]5[1(1)n]u[n]H(z)如下，试说明这些系统是否稳定。z2 1z1z2

3z4 1z1（1）2 （2）

1 2

（3）z2 （4）

1 28z 2z2 25z解：17117

2z

2 z1

1z z收敛域为z8

，包括单位圆，所以稳定。收敛域为收敛域为收敛域为

z2z2z1不包括单位圆，所以不稳定。H(z

9.5z (z0.5)(10z)，分别在z

>100.5

z<10两种收敛域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。解：H (z)

9.5

1 1z (z 0.5)( 10 z) z 0.5 z 10h[n] [(0.5) n 10 n]u[n]系统是因果，不稳定的。h[n](0.5)nu[n]10nu[n1]系统是非因果，稳定的。

z100.5 z 108-21 8-21h[n]。a）[n]13

图题8-21 y[n1]x[n] h[n]1nu[n 3 1（b）y[n]4y[n2]x[n] h[n]

22n(2)n[n]y[n]y[n]的图形（用卷积方法。（1）x[n],h[n]如图题8-23(a)所示。 （2）x[n],h[n]如图题8-23(b)所示。（3）x[n01h[n01且。图题8-231）[n][n][n1][n2][n3][n4]（2）y[n][n][n1][n2]2[n3][n4]y[n]21y[n]211230-1n4310 1 2 3 4 n(1)

y[y[n]1n1（3）y[n]

u[n]

0 1

(3)

3 4 nh[n]x[n]y[n]y[n]的图形。（1）R4

[n],x[n]R4

[n] （3）h[n](1/2)nu[n], x[n]R4

[n]1）[n][n][n1][n2][n3][n4][n5][n6]（3）y[n]10.5n1u[n]10.5n3u[n4]10.5 10.5y[ny[n]43210 1 2 3 (1)

5 6 n 0 1

(3)

3 4 5 n图题8-25系统，它们的单位样值响应分别为h1[n]和h2[n]h[n][n][n2], h[n](0.8)nu[n]，令x[n]u[n]。 图题8-251 2注：以上两种方法的结果应该相同（卷积结合律。1）[n]{[n]*h[n]}*h[n][n][n2]}*(0.8)n[n]1 2u[n]*(0.8)nu[n]u[n2]*(0.8)nu[n]10.8n1u[n]10.8n1u[n2]10.8 10.8（2）y[n]x[n]*{h[n]*h[n]}u[n]*{(0.8)nu[n](0.8)n2u[n2]}1 2u[n]*(0.8)nu[n]u[n]*(0.8)n2u[n2]10.8n1u[n]10.8n1u[n2]10.8 10.8x[n]就把这一次输入数据与前三次输入数据进行平均。试求这一运算过程的频率响应。解：x[n]，则本次与前三次数据的平均值为：y[n] 1{x[n] x[n1] x[n2] x[n4对上式进行z变换得：Y(z)

1(1z1z2z3)X(z)4H(z)

Y(z)

1(1z1

z2

z3)

1(1z1)(1z2)X(z) 4 4H(ej)H(z

zj

1(1ej)(1ej2)4e1 j1e22 (24

j ej

)ej(ejej)ej32e

2cos22

cosz频特性曲线。z 1 z0.5= z0.5 (z)= z0.5 (z)= z解：(1)jIm(z)

H(ejω)22/322/32ωω0ω00.51jIm(z) H(ejω)22/322/320 0.5 1 Re(z)ω3/20.53/20.52

jIm(z)

H(ejω)ω-0.5ω-0.501ω8-29M=8为例。（1）写出差分方程； 求系统函数H(z)； 求单位样值响应h[n]；（4）画出H(z)的零极点图； （5）粗略画出系统的幅频特性曲线。图题8-29解:(1)y[n]x[n]ax[n1]a2

x[n2]

aM1x[nM1]1ak[nk]

akx[nk]k0 k0 Y(z (2) H(z) akz

1(az1)M 1(az1)8X(z) z8a8

k0

z0

1az

1az1z7(za)(3)]Z1[H(z)]Z17k0

akzk)]7k0

ak[nk]8]}(4)

zaej8i

i1,2 8), p1

p2

0（7）为保证系统稳定，设|a |<1,则零极点图如下：jIm(z)(7) a 1 Re(z)8-36 由下列差分方程画出因果离散系统的结构图，求系统函数H(z)h[n]。（1）3y[n]6y[n1]=x[n] （2）y[n]=x[n]5x[n1]+8x[n2]（3）y[n]3y[n1]+3y[n2]y[n3]=x[n]（4）y[n]5y[n1]+6y[n2]=x[n]3x[n2]解:(1)H(z)

Y(z) 1 zh[n]

X(z) 36z11(2)nu[n]3

3(z2)1/32z11/32z1

y[n](2) H(z) Y(z) 15z18z2X(z)h[n][n]5[n1]8[n2]-5z1-5z18z1y[n](3)

H(z) 1

z3 z313z13z2(n2)

z33z23z1 (z 233z1z1z1-3(4) H(Z) Y(z)

13z2X(z) 15z16z2 z2 3 2 1 2 1(z2)( z3) z3 z2 21h[n](23n 2n1)u[n] [n]12x[n] y[n]5 z1-3-6 z1H(z

zzm

，m为常数。（1）写出对应的差分方程； （2）画出该系统的结构图；（3）m=0,0.5,1特性曲线。解:(1) H(z) z 1zm 1mz 1y[n]my[n1] x[n](2)mz1xmz1

y[n](3)

H(ej)

ej 1 1ejm 1mej (1mcos)jmsin11