2020高中数学 第章 数系的扩充与复数 .1. 复数的几何意义讲义 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精3。1.3学习目标核心素养1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．（易混点）2．掌握复数的几何意义,并能适当应用．（重点、易混点)3．掌握复数模的定义及求模公式。通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.一、复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．x轴的单位是1，y轴的单位是i。实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0,0)对应复数0.二、复数的几何意义1．复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z（a，b）．2．复数z＝a＋bi一一对应平面向量eq\o（OZ，\s\up8(→)）。三、复数的模、共轭复数1．设eq\o(OZ，\s\up8(→）)＝a＋bi(a，b∈R），则向量eq\o（OZ,\s\up8（→))的长度叫做复数a＋bi的模（或绝对值),记作|a＋bi｜,且｜a＋bi｜＝eq\r（a2＋b2).2．如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示．1．判断(正确的打“√"，错误的打“×")(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上． (）（2）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． ()（3）复数的模一定是正实数． ()［答案]（1)√（2)×（3)×2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．（1,i) B．(1，－i)C．(1，1) D．（1，－1）[解析］复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为（1，－1)．［答案］D3．已知复数z＝3＋2i，则eq\x\to(z）＝________；|z|＝________.［解析]∵z＝3＋2i，∴eq\x\to（z)＝3－2i,|z|＝eq\r（32＋22)＝eq\r(13).[答案］3－2ieq\r(13)复数与复平面内点的关系【例1】（1）复数z＝－1＋2i所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)已知复数z＝x＋1＋(y－1)i在复平面内的对应点位于第二象限，则点（x，y）所成的平面区域是（)（3）复数eq\x\to(z）＝1＋eq\r（3）i和z＝1－eq\r（3)i在复平面内的对应点关于(）A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称[解析］(1）由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1，2），而（－1,2）是第二象限中的点，故选B。（2)由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋1<0，，y－1>0,））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x〈－1，,y>1，））故点（x，y）所成的平面区域为A项中的阴影部分．（3）复数eq\x\to（z）＝1＋eq\r（3)i在复平面内的对应点为Z1(1，eq\r（3)）．复数z＝1－eq\r(3）i在复平面内的对应点为Z2(1，－eq\r(3)）．点Z1与Z2关于实轴对称,故选A。［答案］(1）B（2）A(3）A解答此类问题的一般思路1．首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．2．根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．1．实数x取什么值时,复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋（x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；（2)位于第四象限;（3）位于直线x－y－3＝0上．［解]因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1）当实数x满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋x－6＜0，，x2－2x－15＜0，））即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．（2)当实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋x－6＞0,，x2－2x－15＜0，））即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，(3）当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15）－3＝0，即3x＋6＝0,x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上。复数与平面向量的关系【例2】（1)向量eq\o(OZ1，\s\up8（→））对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ,\s\up8(→）)2对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ,\s\up8（→)）1＋eq\o(OZ,\s\up8(→)）2对应的复数是（）A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i（2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq\o(OA,\s\up8（→）)与eq\o（OB,\s\up8(→)），则向量eq\o(AB,\s\up8（→))表示的复数是________．[思路探究]（1）先写出向量eq\o(OZ1,\s\up8(→)）,eq\o(OZ,\s\up8(→))2的坐标,再求出eq\o(OZ,\s\up8（→))1＋eq\o（OZ，\s\up8(→))2的坐标．（2)利用eq\o（AB，\s\up8(→)）＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o（OA，\s\up8（→)），求出向量eq\o（AB，\s\up8（→))的坐标，从而确定eq\o(AB,\s\up8(→）)表示的复数．［解析]（1)因为向量eq\o(OZ1，\s\up8（→）)对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ,\s\up8（→))2对应的复数是－5＋4i，所以eq\o(OZ,\s\up8(→）)1＝（5，－4），eq\o(OZ,\s\up8（→)）2＝(－5,4），所以eq\o(OZ,\s\up8（→）)1＋eq\o（OZ，\s\up8（→)）2＝(5，－4)＋（－5，4)＝(0,0),所以eq\o(OZ，\s\up8（→））1＋eq\o（OZ,\s\up8(→)）2对应的复数是0。(2）因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq\o（OA,\s\up8(→))与eq\o（OB,\s\up8(→）），所以eq\o（OA,\s\up8(→))＝(4,3），eq\o(OB，\s\up8（→)）＝(－2，－5），又eq\o(AB，\s\up8(→））＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o（OA,\s\up8（→）)＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6,－8)，所以向量eq\o（AB,\s\up8(→)）表示的复数是－6－8i。[答案](1）C（2)－6－8i上例（2）中的条件不变，试求向量－eq\f(1，2）eq\o（AB，\s\up8(→))表示的复数．[解]由上例(2）的解析知eq\o(AB,\s\up8(→)）＝(－6，－8），∴－eq\f（1,2）eq\o(AB,\s\up8（→））＝（3，4）,所以向量－eq\f(1,2)eq\o（AB,\s\up8(→）)表示的复数是3＋4i。解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标,再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．复数的模［探究问题]1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i?提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.2．若复数(a＋1）＋（a－1）i（a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？提示:a满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，，a－1＜0，)）即－1＜a＜1．【例3】（1）已知复数z的实部为1，且|z｜＝2，则复数z的虚部是(）A．－eq\r（3） B.eq\r(3)iC．±eq\r(3)i D．±eq\r(3)(2）求复数z1＝6＋8i及z2＝－eq\f（1,2）－eq\r(2）i的模，并比较它们模的大小．［思路探究](1)设出复数z的虚部,由模的公式建立方程求解．(2)用求模的公式直接计算．（1）［解析］设复数z的虚部为b，∵|z｜＝2,实部为1，∴1＋b2＝4,∴b＝±eq\r(3)，选D.［答案］D(2）解:因为z1＝6＋8i，z2＝－eq\f（1,2）－eq\r(2）i，所以｜z1｜＝eq\r（62＋82）＝10,｜z2|＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）)）2＋－\r（2)2）＝eq\f(3,2）.因为10〉eq\f（3，2）,所以｜z1|>｜z2｜.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．2．两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小．2．(1）复数z＝x＋1＋（y－2）i（x，y∈R），且｜z|＝3,则点Z(x,y)的轨迹是________．（2）已知复数z＝3＋ai,且｜z｜<4,求实数a的取值范围．（1）[解析］∵｜z｜＝3，∴eq\r(x＋12＋y－22)＝3，即（x＋1）2＋（y－2）2＝32。故点Z(x，y）的轨迹是以（－1,2)为圆心，以3为半径的圆．［答案]以（－1，2)为圆心，以3为半径的圆(2)解：∵z＝3＋ai（a∈R)，|z｜＝eq\r（32＋a2），由已知得eq\r（32＋a2)<4，∴a2〈7,∴a∈（－eq\r(7)，eq\r(7）).1．复数z＝－1＋2019i（i是虚数单位)在复平面上对应的点位于（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［解析]由－1＜0，2019＞0得复数z＝－1＋2019i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限．［答案]B2．已知复数z＝eq\r（2)－3i，则复数的模｜z|是()A．5 B．8C．6 D。eq\r（11)[解析]｜z|＝eq\r(\r(2）2＋－32）＝eq\r(11).[答案］D3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．[解析］∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2＞0,,3－x＜0，))解得x＞3。[答案](3，＋∞)4．已知复数z＝x－2＋yi（x，y∈R）的模是2eq\r（2）,则点（x，y)的轨迹方程是________．[解析］∵｜z|＝2eq\r(2），∴eq\r（x－22＋y2)＝2eq\r