2020高中数学 第章 平面向量初步 .1.1 向量的概念 课时25 向量的概念练习（含解析）第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精课时25向量的概念知识点一位移与向量1。下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度;⑧功．其中不是向量的有(）A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．2．下列结论中正确的是()A．对任一向量a,｜－a｜〉0总是成立的B．模为0的向量的方向是不确定的C．向量就是有向线段D．任意两个单位向量的方向相同答案B解析若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形,而向量是带方向的量，不是有向线段,C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．3．一个人从A点出发向西走了5米到C，又向南走了5米到达B点，求此人从A到B的位移．解如下图，位移为向西南方向走了5eq\r（2)米．知识点二向量的相等与平行4.下列关于向量的说法正确的个数是()①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同,相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．A．3B．2C．1D．0答案C解析始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确;始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确;两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．5．下列四个命题：①模为0的向量与任意向量平行;②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．其中为真命题的是________．答案①③解析模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，与任意向量平行，故①正确;单位向量的方向不确定，故②不正确;两个方向相反的向量必是共线向量，③正确；两个非零向量平行，方向可能相同也可能相反,因此这两个向量不一定相等．故④不正确．6．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出:（1)向量eq\o（OA,\s\up6（→)）的起点、终点和长度；（2)与向量eq\o（OA,\s\up6(→）)共线的向量;(3)与向量eq\o（OA,\s\up6(→)）相等的向量．解(1)向量eq\o（OA,\s\up6（→）)的起点为O，终点为A，长度为2.(2)与eq\o（OA，\s\up6(→））共线的向量有eq\o(CB,\s\up6（→))，eq\o(FE，\s\up6（→)），eq\o(DO，\s\up6(→））。(3）与Oeq\o（A,\s\up6(→)）相等的向量有eq\o（CB,\s\up6(→）），eq\o(DO，\s\up6（→）).易错点对相等向量的概念把握不准致误7.在▱ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点,设点集S＝｛A，B,C，D，O｝,向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up6（→））｜M，N∈S｝，且M,N不重合，试求集合T中元素的个数．易错分析求解本题时,若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.正解S＝{A,B,C，D,O}，S中任意两点连成的有向线段有:eq\o（AB，\s\up6（→))，eq\o（AC,\s\up6(→）)，eq\o（AD，\s\up6(→)），eq\o（AO,\s\up6(→))；eq\o(BA,\s\up6(→)），eq\o（BC，\s\up6（→)),eq\o（BD，\s\up6(→）），eq\o(BO,\s\up6(→））;eq\o(CA,\s\up6(→)）,eq\o（CB，\s\up6（→)），eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o（CO,\s\up6（→)）；eq\o(DA，\s\up6（→)),eq\o（DB,\s\up6（→）），eq\o(DC，\s\up6（→))，eq\o（DO,\s\up6（→)）；eq\o（OA，\s\up6（→))，eq\o（OB,\s\up6（→)），eq\o(OC，\s\up6（→）)，eq\o(OD，\s\up6（→）)。由平行四边形的性质可知（如图），共有8对向量相等,即eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\o(CD,\s\up6（→))，eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\o(BC，\s\up6（→）)，eq\o（DA，\s\up6(→）)＝eq\o(CB，\s\up6(→)），eq\o（AO，\s\up6（→)）＝eq\o(OC,\s\up6（→）)，eq\o(OA，\s\up6(→)）＝eq\o（CO，\s\up6（→）)，eq\o(DO，\s\up6(→)）＝eq\o（OB，\s\up6(→）），eq\o（OD,\s\up6（→）)＝eq\o（BO,\s\up6（→))，又集合中元素具有互异性,所以集合T中的元素共有12个．一、选择题1．在⊙O中，以O点为始点,圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是（）A．方向 B．大小C．大小和方向 D．以上均不对答案B解析由于⊙O半径的确定性,因此该向量的长度（大小)是确定的．2．下列各命题中,正确命题的个数为（)①若|a|＝｜b｜，则a＝b；②若eq\o（AB,\s\up6（→））＝Deq\o（C,\s\up6（→)）,则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b,b＝c，则a＝c；④若0∥a,0∥b，则a∥b。A．4B．3C．2D．1答案D解析①|a|＝｜b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由Aeq\o(B,\s\up6（→）)＝Deq\o(C，\s\up6(→））可得|Aeq\o(B,\s\up6(→））|＝|eq\o(DC,\s\up6（→)）｜且Aeq\o(B，\s\up6（→)）∥Deq\o（C，\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→)）∥eq\o(DC，\s\up6(→）),A,B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行,命题不正确．3．如图，已知D，E,F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C,D，E，F六点中的两点构成的向量中与eq\o（DF,\s\up6(→））（eq\o（DF，\s\up6（→）)除外）共线的向量个数为(）A．2 B．4C．5 D．7答案D解析与eq\o(DF,\s\up6（→))共线的向量有：eq\o（AE，\s\up6（→)），eq\o(EA,\s\up6（→))，eq\o（EC，\s\up6(→））,eq\o(CE，\s\up6（→）)，eq\o（AC，\s\up6(→)）,eq\o（CA,\s\up6(→))，eq\o（FD,\s\up6(→））.4．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是(）A．a与b为平行向量B．a与b为模相等的向量C．a与b为共线向量D．a与b为相等的向量答案D解析根据题意,依次分析选项可知A，B,C均成立，对于D,a与b为反向的共线向量,则a和b不相等,D错误．5．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则eq\f(｜\o（PD，\s\up6(→)）|,｜\o（AD,\s\up6(→）)|)的值为(）A.eq\f（1,2）B.eq\f(1，3）C．1D．2答案C解析因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以eq\f(|\o（PD,\s\up6（→))｜,｜\o(AD，\s\up6(→)）｜)的值为1.如图．二、填空题6．把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．答案3π解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π。7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点,从中选取2个交点组成向量，则与eq\o（AC,\s\up6(→)）平行且长度为2eq\r（2）的向量的个数是________．答案8解析找出与AC平行的直线,确定长度为2eq\r（2)的线段，共有eq\o（FH，\s\up6（→))，eq\o（HF,\s\up6（→)),eq\o（MP,\s\up6(→）),eq\o(PM,\s\up6（→))，eq\o(AJ，\s\up6（→）），eq\o（JA,\s\up6（→))，eq\o（KC,\s\up6（→)）,eq\o(CK，\s\up6（→）)，故共有8个．三、解答题8．如图，已知平面上点C和向量eq\o(AB,\s\up6(→)），作出同时满足下列三个条件的向量．（1)以C为始点；(2)与eq\o(AB，\s\up6（→）)的模相等;（3）与eq\o（AB,\s\up6（→））平行．解如图，向量eq\o（CD,\s\up6(→）），eq\o（CE，\s\up6(→）)即为所求向量．9．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,若｜eq\o（AB，\s\up6（→）)｜＝3，求向量eq\o(EC,\s\up6（→）)的模．解在▱ABCD和▱ABDE中，易知eq\o(AB,\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，eq\o（AB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→)），∴eq\o(ED，\s\up6(→））＝eq\o(DC,\s\up6(→)），∴E，D，C三点共线．∴｜eq\o（EC，\s\up6(→）)|＝｜eq\o(ED,\s\up6（→））|＋｜eq\o(DC,\s\up6（→）)｜＝2｜eq\o(AB，\s\up6（→)）|＝6。10．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形,在图中所示的向量中：(1)分别找出与eq\o(AO,\s\up6（→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量;(2）找出与eq\o(AO，\s\up6（→))共线的向量；(3）找出与eq\o(AO，\s\up6（→））的模相等的向量．解(1）eq\o(AO,\s\up6（→）)＝eq\o（BF,\s\up6（→）），eq\o（BO,\s\up6（→))＝eq\o(AE，\s\up6（→))。(2）与eq\o(AO，\s\up6(→））共线的向量有：eq\o（BF,\s\up6（→）)，eq\o(CO，\s\up6(→))，eq\o（DE，\s\up6（→)）。（3)与eq\o(AO,\s\up6（→）)的模相等的向量有：eq\o(CO，\s\up6（→))，eq\o（DO,\s\up6（→))，eq\o（BO,\s\up6（→)），eq\o（BF,\s\up6（→）)，eq\o(CF，\s\up6（→）)，eq\o（AE，\s\up6(→）），eq\o（DE,\s\up6(→)）.11．如图所示，四边形ABCD中eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\o（DC，\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点,且eq\o(CN，\s\up6（→））＝eq\o（MA,\s\up6(→))。求证：eq\o（DN，\s\up6(→）)＝eq\o(MB，\s\up6(→)）。证明由eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o（DC，\s\up6(→））可知，AB∥CD且|eq\o（AB,\s\up6(→))｜＝|eq\o(CD，\s\up6（→）)｜,故四边形ABCD为平行四边形，∴eq\o(CB，\s\up6(→）)∥eq\o(DA,\s\up6(→))且|eq\o（CB,\s\up6（→）)|＝|eq\o(DA,\s\up6（→))|.又由eq\o（CN,\s\up6（→)）＝eq\o（MA,\s\up6(→）)同理可得，四边形CNAM是平行四边形，∴eq\o(CM，\s\up6(→))∥eq\o（NA，\s\up6（→)）且｜eq\o(CM,\s\up6（→））|＝｜eq\o（NA，\s\up6（→)）|。∵|eq\o(CM,\s\up6(→））|＝｜eq\o（CB，\s\up6（→)）|－｜eq\o（MB,\s\up6(→))｜＝｜eq\o（DA,\s\up6（→））｜－｜eq\o（MB,\s\up6(→）)｜，｜eq\o（NA，\s\up