2020高中数学 第章 空间向量与立体几何 .2.5 距离（选学）学案 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精3．2.5距离（选学)学习目标核心素养1.掌握向量长度计算公式．（重点）2。会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离．（重点、难点）通过学习空间距离的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养。1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中，垂线段最短．(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．3．直线与它的平行平面的距离(1）如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．(2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离,叫做直线与这个平面的距离．4．两个平行平面的距离(1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(2）两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？[提示]1．在四面体P.ABC中,PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3，6，则点M到顶点P的距离是()A．7B．8C．9D．10A[以P为坐标原点，eq\o（PA,\s\up15（→)),eq\o（PB,\s\up15(→)），eq\o（PC，\s\up15（→））的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）,由题意,得|MP｜＝eq\r（22＋32＋62）＝7.］2．设A(3,3，1）,B（1，0,5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM｜等于（）A。eq\f(\r(53），4) B。eq\f(53，2)C。eq\f(\r（53）,2） D。eq\f(\r（13),2）C［∵M点坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f（3,2)，3)），∴｜MC｜＝eq\r（2－02＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3,2)－1))2＋3－02）＝eq\f（\r(53）,2）。］3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1）,点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4）到α的距离为（）A．10 B．3C。eq\f(8，3) D。eq\f（10，3）D［eq\o(AP,\s\up15(→))＝（－1，－2，4）,d＝eq\f(｜\o（AP，\s\up15(→))·n|，｜n|)＝eq\f(10，3）。]空间两点间的距离【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1,而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0〈a<eq\r（2）)．(1）求MN的长．（2）a为何值时，MN的长最小？[思路探究]建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解．[解]（1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1,0,0)，F（1，1，0),C（0，0,1）．因为CM＝BN＝a(0<a<eq\r（2)），且四边形ABCD，ABEF为正方形,所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2)a，0，1－\f(\r(2），2)a))，Neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2），2）a，\f（\r（2),2）a,0)),所以eq\o（MN,\s\up15(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(2),2）a,\f(\r(2），2）a－1)),所以|eq\o（MN,\s\up15(→）)｜＝eq\r(a2－\r(2)a＋1）.（2)由(1）知MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r（2）,2))）2＋\f(1，2))，所以，当a＝eq\f（\r(2)，2）时，MN＝eq\f(\r（2）,2）。即当a＝eq\f(\r（2）,2)时,MN的长最小,最小值为eq\f（\r（2），2）.计算两点间的距离的两种方法(1）利用｜a｜2＝a·a，通过向量运算求|a｜，如求A，B两点间的距离,一般用｜AB｜＝eq\r（\o(｜\o（AB,\s\up15(→））｜2)）＝eq\r（\o（\o(AB，\s\up15(→））·\o（AB，\s\up15（→))））求解．(2）用坐标法求向量的长度(或两点间距离），此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．1．如图所示,在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB,垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．［解］∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(CA,\s\up15（→）)·eq\o(AB，\s\up15(→）)＝0，eq\o（BD,\s\up15(→）)·eq\o(AB,\s\up15（→))＝0，又∵二面角α.AB.β的平面角为120°，∴〈eq\o(CA，\s\up15(→)），eq\o(BD,\s\up15（→）)〉＝60°，∴|CD|2＝|eq\o（CD,\s\up15(→))｜2＝（eq\o（CA,\s\up15(→））＋eq\o（AB，\s\up15(→）)＋eq\o(BD，\s\up15（→）)）2＝eq\o(CA,\s\up15(→）)2＋eq\o（AB，\s\up15(→)）2＋eq\o（BD，\s\up15（→)）2＋2（eq\o(CA，\s\up15(→）)·eq\o（AB,\s\up15（→))＋eq\o(CA,\s\up15（→）)·eq\o(BD，\s\up15（→)）＋eq\o（BD,\s\up15（→））·eq\o(AB，\s\up15(→）））＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12。点到直线的距离［探究问题］1．如何理解与认识点到直线的距离?[提示]点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.(2)点在直线外时,点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．2．如何用向量法求点到直线的距离？[提示]设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量eq\o（PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小为|eq\o（PA，\s\up15（→))·s0｜，则点A到直线l的距离d＝eq\r(\o（|\o（PA，\s\up15(→））|2－|\o（PA，\s\up15(→))·s0|2））eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（其中s0＝\f(s,｜s|））).【例2】已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3,∠ABC＝90°，求点B到直线A1C［思路探究］建立坐标系，利用向量法求解．[解］以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4，0，1），C1(0，3,1），所以直线A1C1的方向向量为eq\o(A1C1,\s\up15（→）)＝（－4，3，0)，而eq\o（BC1，\s\up15(→）)＝（0,3，1)，所以点B到直线A1C1d＝eq\r（\o（｜\o（BC1,\s\up15（→))|2－\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\o（BC1,\s\up15(→）)·\f（\o(A1C1,\s\up15(→））,|\o（A1C1，\s\up15（→))｜)))2))＝eq\r(10－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(9，5)）)2)＝eq\f(13，5）。1．(改变问法)本例条件不变，所求问题改为:若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到MN的距离．[解]如本例解法建系(图略)．则M(2,0,1)，Neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2,\f(3,2），0）)，C1（0,3，1)，所以直线MN的方向向量为eq\o（MN，\s\up15(→)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f(3,2)，－1））,eq\o(MC1,\s\up15（→）)＝（－2,3,0),所以eq\o(MC1,\s\up15(→)）在eq\o(MN，\s\up15（→)）上的投影为eq\o(MC1，\s\up15（→））·eq\f(\o（MN,\s\up15(→)）,|\o(MN，\s\up15(→)）|）＝eq\f(9,\r（13）)，所以C1到MN的距离为d＝eq\r（｜\o（MC1,\s\up15（→))|2－\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\o(MC1，\s\up15（→））·\f(\o（MN,\s\up15(→)),|\o(MN，\s\up15（→））|))）2）＝eq\f（\r（1144）,13）＝eq\f（2\r（286)，13)。2．(变换条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC。A1B1C1且所有棱长均为2”,如何求B到A1C[解]以B为原点,分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0,0,0），A1（2,0,2)，C1（1，eq\r(3），2),所以A1C1的方向向量eq\o（A1C1，\s\up15（→））＝（－1，eq\r（3)，0），而eq\o(BC1，\s\up15(→）)＝(1，eq\r(3),2)，所以点B到直线A1C1d＝eq\r（\o(｜\o(BC1，\s\up15（→））|2－\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\o(BC1，\s\up15（→))·\f（\o(A1C1,\s\up15（→）)，\o（|A1C1｜,\s\up15（→））））)2））＝eq\r(8－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（－1＋3＋0,2)））2）＝eq\r(8－1)＝eq\r（7)。用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：1不必找点在直线上的垂足以及垂线段；2在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;3直线的方向向量可以任取，但必须保证计算的准确性。点到平面的距离【例3】如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a,求点A到平面A1BD的距离．[思路探究]本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．[解］法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则VB。AA1D＝eq\f（1，3）×a×eq\f(1，2)×a×a＝eq\f(1,6)a3，VA。A1BD＝eq\f（1，3)×h×eq\f(\r(3),4）×（eq\r(2)a）2＝eq\f(\r（3），6)a2h，∵VA.A1BD＝VB。AA1D，∴h＝eq\f(\r（3),3）a,∴点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r（3），3）a.法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1xyz，则A1（a，0，0），A(a,0，a)，D（a，a，a），B（0,0，a），则eq\o(BD，\s\up15（→））＝（a，a，0），eq\o(A1D，\s\up15（→））＝(0，a，a），eq\o(AB，\s\up15(→））＝（－a，0，0）．设平面A1BD的一个法向量n＝（x,y，z），则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o(BD，\s\up15（→）)＝0，，n·\o（A1D，\s\up15(→））＝0，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ay＋az＝0，)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝0，,y＋z＝0。))令y＝－1,则x＝z＝1,∴n＝（1，－1,1)．∴eq\o(AB，\s\up15（→））·n＝(－a,0,0)·(1,－1,1)＝－a。∴点A到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o（AB,\s\up15（→）)·n｜,|n|)＝eq\f（｜－a|，\r（3））＝eq\f(\r（3）,3)a.用向量法求点面距的方法与步骤1建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；2求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量eq\o（AB，\s\up15（→））；3求法向量：设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；4得答案：代入公式d＝eq\f（｜\o(AB,\s\up15（→))·n｜,|n|)求得答案.提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.2．如图所示,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC,AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．[解]建立如图所示的空间直角坐标系，则N（0,2，0)，S(0,0，2），D(－1,4，0)，∴eq\o（NS,\s\up15（→))＝（0，－2，2），eq\o（SD,\s\up15（→）)＝（－1,4,－2）．设平面SND的法向量为n＝（x,y,1）．∴n·eq\o（NS,\s\up15(→）)＝0，n·eq\o（SD，\s\up15(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2＝0，，－x＋4y－2＝0，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝1.))∴n＝(2，1,1),∵eq\o(AS,\s\up15(→））＝（0，0，2）．∴点A到平面SND的距离为eq\f（｜n·\o（AS，\s\up15（→）)|,|n｜）＝eq\f(2，\r(6）)＝eq\f(\r(6)，3）。1．思考辨析（1）可以用｜eq\o(AB,\s\up15（→）)｜2＝eq\o（AB，\s\up15(→)）·eq\o(AB，\s\up15（→）)，求空间两点A、B的距离． ()（2)设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线,则点B到α的距离为d＝eq\f（｜\o（AB,\s\up15（→））·n|,｜n｜）. （)(3)若直线l与平面α平行,直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离． （)［提示](1）√（2）√(3）×直线上任意一点到平面α的垂线段的长度．2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1）,点A（x,3，0）在平面α内,则点P（－2,1，4）到平面α的距离为eq\f(10,3)，则x＝（)A．－1 B．－