(完整版)物体运动的描述

第一章第一章 物体运动的描述§1-1描述质点运动状态的物理量【基本内容】一、位置矢量r1、1、质点如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响，则可将物体看成一y个具有质量的点。2、2、参照系为了确定物体P的位置而选作参考的物体称为r参照系。/3、3、位置矢量r如图1.1r(t+所t)示，从坐标原点O到运动质点P0 xz

的有向线段OP称为质点P的位置矢量。图1.2rOPxiyjzk运动方程质点的位置矢量与时间的函图1.1数关系。r(t)x(t)iy(t)jz(t)k轨迹方程运动方程消去时间参量t后，各坐标间的关xx(t)Syy(t)v系式，即由zz(t)消去t得轨迹方程f（x，y，z）=0。v(t)(t)/v二、位移矢量rvr(t+t)设t时刻，质点处于P点，位置矢量为v(rt(t)+t)。经时间t后于t+t时刻运动到P/点，位置矢量为r(tt)，则从/v(图1.4图1.2初位置P到未位置P的有向线段：t+t)r(t)rr(tt)叫质点在ttt时间内的位移，如图1.2。它描述质点位置的图变1.化3。说明：（1）r与r的区别r——位移的大小，r——位矢长度的改变量。（2）位移r与路程S的区别路程S表示质点在ttt时间内越过的轨迹，即曲线PP/的长度。r是矢量，S是标量，且 r S当t 0时，dr ds,但dr dr三、速度1、平均速度 v定义：质点在 t t t时间内的位移 r与时间 t的比值，叫质点的平均速度：rvt其方向与 r的方向相同，如图平均速率v：质点在t t率：S/v(t)v(t)t+t)v(t+t)v(t+t)图1.3vdxidt

1.3。t时间内的位移s与时间t的比值，叫质点的平均速vvst2、速度vnv定义：t0时的平均速度。vlimrdr0tdtt图1.4方向：沿轨迹切线且指向质点前进的方向。vdrdsvrdtdtt一般，但在直角坐系下的表示dyjdzkvxivyjvzkdtdt四、加速度a1、平均加速度a设t时刻，质点的速度为v(t)。经时间t后于t+t时刻质点的速度为v(tt)，则质点的速度增量vv(tt)v(t)与时间间隔t的比值，叫质点的平均加速度。avt2、加速度a定义：t0时的平均加速度。alimvdvd2rtdtdt2t0adv大小：dt，方向：是t0时，v的方向，指向曲线凹侧。在直角坐标系下的表示dvxidvyjaxiayjadtdt大小：aax2ay2atg方向：与 X轴的夹角 a

yx【典型例题】【例1-1】一质点的运动方程为 r 2ti (19 2t2)j，求：（1）（1）轨道方程并画出其轨道；（2）（2）t1s及t2s时质点的速度和加速度；（3）（3）第2秒内质点的平均速度；（4）（4）何时质点离坐标原点最近？并求出这个距离。【解】（1）运动方程的分量形式为x2tSy192t2消去时间t后可得轨迹方程x2r(t+y192于t0，所以x不能取负值。轨道如题解例1-1由题解例1-1图图所示。图1.1图1.2（2）由速度的公式：vdr4tj2idt代入t1s和t2s，其速度分别为2i4j(m/s)和2i8j(m/s)由加速度的公式：adv4j(m/s2)（3）第2秒内的位移：dtrr(t2)r(t1)2i6j平均速度：vr2i6j(m/s)t（3）（3）质点离原点距离：rx2y24t2(192t2)dr0令dt可解出t10,t23(s),t33(s)（舍去）r(t0)19(m),r(t3)37(m)故在t3s时质点离原点最近：rmin37(m)【讨论】（1）作图时，应在图上标明特殊位置的坐标值。如本题标明图线与横坐标和纵坐标的交点值。dr02）dt表示质点的径向速度为0，它实际上是速度由正变负（或者由负变正）的转折值，因此此时所对应的r值应该是局部最大或最小。在数学中，为确定是极大值还是极小值，需进一步求二阶导数。此题中，已经确定必无极大值，故将“驻点”代入比较就可求出极小值。【分类习题】【1-1】对于质点，下列表述正确的是 ：（1） （1） 加速度恒定不变时，运动方向不变。（2） （2） 平均速度的大小等于平均速率。v1v2（3）（3）平均速率表达式可写我为2（v1、v2分别表示始末时刻的速率）。（4）（4）速度不变时，速率不变。【1-2】一人自原点出发，25s内向东走30m，又10s内向南走10m，再15s内向正西北走18m。求在这50s内：（1）（1）平均速度的的大小和方向（2）（2）平均速率。【1-3】一质点的位置矢量为rat2ibt2j(SI)（a、b为常量）。则该质点作（填匀速、变速）（填直线、曲线）运动。【1-4】质点运动方程为r10cos5ti10sin5tj(SI)，求（1）（1）此质点的轨迹方程；（2）t时刻质点的速度和加速度。【1-5】在质点运动中，已知xaekt,dybkekt,yt0bdt。求质点的加速度和它的轨道方程。§1-2、直线运动【基本内容】一、直线运动的分类=0 匀速直线运动a与v同向——匀加速直线运动a =c 匀变速直线运动a与v反向——匀减速直线运动≠c 非匀变速直线运动二、运动图线表示质点在运动过程中，位置、速度随时间的变化关系。1、位置——时间图线（ x—t图）速度：由曲线的斜率表示。平均速度：由曲线中相应割线的斜率表示。2、速度——时间图线（ v—t图）由v—t图求a：由曲线的斜率求出。由v—t图求位移：v—t图线与t1、t2两纵坐标之间的面积。【典型例题】【例

1-2】有一小球沿斜面向上滚动，小球离开初位置向上滚动的距离与时间

t

的关系为

s

9t

t3(SI)，求：（1）（1）初速度v0；（2）（2）小球何时开始下滚；（3）（3）在05s内的位移和路程。【解】（1）由vds/dt93t2代入t0得小球的初速度为v09(m/s)（2）小球开始返回时，即运动方向的转折点，对应速度为0，故3t2vds/dt0即90所以小球开始下滚的时间为t1.73s（3）05s内的位移rst5st080m由于在t1.73s时速度方向改变，因此05s内的路程应为01.73s和1.73s5s两段时间内位移大小之和：s(st1.73st0)(st1.73st0)100.8m小结：本题中，速度v0表示速度方向的转折点，从而求得了小球返回处的时间。【例1-3】一质点在x轴上作加速运动，开始时xx0,vv0。（1）aktc，求任意时刻t的速度和位置，其中k,c均为常量；（2）akv，求任意时刻t的速度和位置，其中k均为常量；（3）akx，求任意位置x的速度其中k均为常量。adv得dvadt(ktc)dt【解】（1）由加速度的定义式dt两边积分，并代入初始条件得：vt1kt2dv0(ktc)dtvv0ctv02dxv由速度的定义式dt得：dxvdt(v0ct1kt2)dt2两边积分，并代入初始条件得：xtct1kt2)dtxx0v0t1ct21kt3dx(v0x00226advkvdvkdt（2）（2）dt由可得v两边积分：vdvtkdtvv0ektv0v0，可得再由vdx/dt可得dxvdtv0ektdt两边积分：xtv0dxv0ektdtxx0(ekt1)x00kdvdvdxvdv（3）由于adtdxdtdx，于是vdvadxvvdvxv0kxdxx0两边积分有：v2v02k(x2x02),故vv02k(x2x02)【讨论】（1）由于是一维运动，不必写出矢量形式，因为可以视直线运动为复杂运动中的一个分运动。2）常见错误：不管加速度的形式，盲目使用中学的匀变速直线运动的三个公式。综合上面两例题：运动学的习题有两种基本类型：（1）已知运动方程，求速度、加速度、位移及轨迹方程；（2）已知加速度，求速度、运动方程。前者用微分法，后者用积分法。注V意积分时应正确运用初始条件。0【例1-4】在离水面高为h的岸边上，有人以匀速v0拉船靠岸（例1-4图）。求船距岸边s处h时，船的速度和加速度。O【解】以O为坐标原点，指向船的方向为xSx轴正方向建立坐标系。由勾股定理有例图s2h2l2两边对时间求导，得xdsldldtdtdsv0dludt，故明显，船速dt，绳子速率uldsh2s2v0sdts式中负号表示船的速度方向与0x方向相反。1(h211dus2)22sdxs(h2s2)2dsa2dtdtv0dt加速度s22h3v02s【讨论】这类题看似无从下手，但某时刻三边构成明显的几何关系（本题是勾股定理），对等式两边求导就求出了速度间的关系，于是，路子就通了。说明：对一边求导时，要求只有一端运动，另一端静止，此时求导所对应的速度才为移动端的速度。【分类习题】【1-6】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s54tt2(SI)，则t时小球达到最高点。【1-7】一质点运动方程为x6tt2(SI)，求t由0至4s内，质点位移和所经历的路程。【1-8】两车A与B同时出发，沿直线作同向运动，其行使距离随时间变化关系分别为xA4tt2(SI)和xB2t23t3(SI)。则刚出发时运动在前的是；出发后，t时两车行驶相同的距离；出发后，t时两车等速。【1-9】一质点作直线运动，其运动规律为dv/dtkv2t(k为常量），当t0时v(t)vv(t+t)

v0，求t时刻的速度v。【1-10】一质点沿ox轴运动，其加速度与时间的关系为a32t(SI)，如质点的初速度为5m/s，求t3s时质点的速度。【1-11】一质点沿ox轴运动，其vt图如（图1-11）所示。如t0时质点位于原点，则t4.5s时质点在x轴上的位置。【1-12】一质点沿直线运动，其xt图如图1-12。则该质点第秒的瞬时速度为0，第秒至之间速度与加速度同向。（提示：分析曲线切线斜率的增量）。1-13】灯距地的高度为h1，身高为h2的人在灯下以匀速v沿水平直线行走（图1-13），求他头顶影子M点沿地面移动的速度。提示：建立坐标系，找出 M点所遵守的几何关系，再由速度的定义通过求导而得图1-11 图1-12 图1-13【1-14】距河岸（看成直线） D处有一艘静止的船，船上的探照灯以匀角速度 旋转照射河岸，求当光束与岸边成 角时，光沿岸边移动的速度。§1-3曲线运动【基本内容】一、曲线运动1、自然坐标系v研究曲线运动时，把坐标原点取在运动质点上，该点处的yy1.4。切线与法线构成正交坐标轴，如图nrS切线坐标轴正方向：规定为质点前进的方向，其单位矢量为。00R0r00/x法线坐标轴正方向n：规定为指向曲线凹侧的方向，其图1图1.4单位矢量为n。图1.6图1.5和n是随时间变化的。显然：2、位置的自然坐标表示设质点沿曲线L运动，t=0时，位于P0点，t时刻位于P点。则在时间t内，质点运动的路程（弧长）能确定质点的位置s s(t)3、速度的自然坐标表示vdsvdt4、加速度的自然坐标表示dvv2andtdva其中：切向加速度dt反映速度大小的变化。anv2法向加速度反映速度方向的变化。大小：aa2an2方向：a与tgana夹角：二、圆周运动的角量描述如图1.5，质点在O-XY平面内作圆周运动。质点的运动状态yy/y可以用线量r,vP,a描述，也可用另一类物理量（角量）描述。1、角位置θ——确定运动质点的位置r//rθ的正负：rSr逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。单位：弧度（rad）/0r000x(x)0x/2、角位移Δθ——描述质点位置的变化(tt)(t)图1.7Δθ的正负：与θ规定一致。图1.5 图1.63、角速度 ——描述质点转动的快慢d大小： dt方向：由右手定则确定单位：rad/s 或1/s4、角加速度β ——描述质点角速度变化的快慢dd2大小：dtdt2方向：作加速转动时，与同方向；作减速转动时，与反向。单位：rad/s2或1/s2三、角量与线量的关系yy/Pv1、Δθ与s的关系，如图1.6rsRRS2、与v的关系r//00r00v0R//x(x)x3、β与a关系图1.7

北0南图1.6anv2R2,advRRdt四、刚体的运动1、平动刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。2、定轴转动刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。描述刚体转动的物理量角位移角速度角加速度刚体匀变速转动公式0t1t2202 20

t2【典型题例】【例1-5】质点作半径为Sbt1ct2R的圆周运动，其运动方程为2，ｂ、ｃ均为大于０的常数，求其切向加速度和法向加速度。【解】由速度定义式，得vdsbctdt切向加速度为advcdt法向加速度为v2(bct)2anRR【讨论】对于圆周运动，无论求切向加速度还是法向加速度，应首先速率的表达式。【例1-6】热气球在无风时以速度v0从地面匀速上升。但由于风的影响，随着高度的增加，气球的水平速度按vxby的规律增大（b为大于0的常数），求任一时刻气球的切向加速度、法向加速度和轨道的曲率分别与气球高度的关系。【解】由题意：vxby,vyv0可知yv0t,vxbv0t又axdvx/dtbv0,aydvy/dt0所以在任一时刻（高度），加速度的大小为 bv0，方向沿x轴，与高度无关。任一时刻气球的速度大小为v vx2 v2y (bv0t)2 v02由此可求出切向加速度为：adv/dtd((bv0t)2v02)/dtv0b2t/b2t21将ty/v0代入上式，可得at与高度的关系：atb2v0y/b2y2v02而法向加速度可由式aan2at2求出：ana2at2bv02/b2y2v02再由anv2/，可得轨道曲率半径为(b2y2v02)3/2bv02【讨论】对于一般曲线运动，写出速率的表达式，就可以方便地求出切向加速度。但是，anv2在求法向加速度时，因为曲率半径的数学计算比较复杂，一般不按定义式来求，而是根据总加速度、法向加速度和切向加速度的关系进行计算。【例1-7】质点作半径为Ｒ的圆周运动，其角运动方程为32t2，求质点的法向加速度和角加速度。d4t(rad/s)【解】角速度：dtd4(rad/s2)角加速度：dt法向加速度：anR216Rt2(m/s2)【例1-8】一质点从静止开始作半径为１米的圆周运动。且12t26t，求其角速度和切向加速度。dddt【解】由角加速度的定义：dtdtdt4t33t2(rad/s)00advR12t26t(m/s2)切向加速度：dt【讨论】综合【例1-7】和【例1-8】两例题，由求求用微分；反之，由求求用积分，积分时，要求正确运用初始条件。注意：对于圆周运动，由于角量的方向均在一直线(转轴)上，因此，求角量间的关系时不必用矢量形式。【分类习题】【1-15】质点作变速圆周运动，已知圆周半径为R，t时刻质点速率为v。求t时刻其加速度的大小。【1-16】以初速度v0，抛射角斜抛一物体，求其轨道最高点处的曲率半径。Sbtct2【1-17】质点作半径为R的圆周运动，其路程2（b、c为大于0的常数，且b2Rc）。则t时刻质点的切向加速度大小at，法向加速度的大小an；当t时atan。【1-18】半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相对滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在4s内从动轮角速度达8rad/s。求在这4s内主动轮转过多少圈。【1-19】飞轮作匀角减速转动，角速度在5s内由40rrad/s减少到10rad/s。飞轮在这内5s共转过圈，再经过时间才停止转动。【1-20】一质点作半径为0.10m的圆周运动，角位移24t2(SI)。求t2s时其法向加速度大小an和切向加速度大小at。【1-21】一质点以60Rev/min绕z轴转动，此质点某时刻的位置矢量r3i4j5k(SI)。求该时刻质点的速度v。提示：利用角量与线量间的矢量关系vr。§1-4相对运动【基本内容】yy/P一、位矢相对性yr北'V，等于质点在Ｓ／中的位矢r//Sr质点P在Ｓ系的位矢r0'／与Ｓ系的坐标原点相对于Ｓ系的位矢roo'ut的矢量和。R0r00/0/x(x)/如图1.7：0u'roo'图1.7南rr'二、速度的相对性例1-6图／'／质点P相对于Ｓ系的速度v，等于质点相对于Ｓ的速度v与Ｓ系相对于Ｓ系的速度的矢量和。v v' u三、加速度的相对性质点相对于Ｓ系的速度a，等于质点相对于Ｓ／的速度a与Ｓ／系相对于Ｓ系的速度a0的矢量和。duaa'a0a0dt／若Ｓ系相对于Ｓ系作匀速运动，则在相对作匀速运动的参照系中，观察同一质