课件-可降阶方程

可分离变 dyg(x)h(

dy

y'P(x)yQ(yeP(x)dx[CQ(x)eP(x)dxdx]

dyf(y

uyx

duf(u)u dyP(x)yQ(x)yn

(n

zy1n

1ndz(1n)P(x)z(1n)Q(x),例

求方程dy

的通解

xyx2y3dxxyx2y3

即dxyxy3x2x，

x2dxyx1y3zx1

dzyzy3zx1eydy[C(y3)eydydy]xdyylnyx2y;

x.dylnyx2

1.dylnyx 令zln xdzzx2dz1z dy

y xsin2( 解：整理 yxdy sin2(令z 则dzyxdy dz sin2dy x 令xy

则dydu 代入原式du11

duu 总结方程形如dyf(axbyc).通常可作变量代 uaxby yf

axby

aa1xb1yc1

ab aa1,b a1xb1y

a1b1y得y

yua1xb1ya 1xb1yc1a

ua1fu uc 1bfu u

uc可分离变量方 可分离变量方 例

yyxyx解 yx

y1 yu1u u所 1u25u4x2

du u 1yx25yx4x2例20.设y(x)在[1,)内有连续导数且 y(t)dtx1 ty(t)dt,y(1)1求y解：等式两端同时关于x求导 x1 y(t)dtxy(x)1 ty(t)dt(x1)xy(x),x整理得

1 y(t)dt

xty(t)dtx2y(1再求导得yx)xyx2xyxx2y整理得：x2yx(3x1yx小

yfy 令yx方程令y1n一.y(n)f( 二.yfx,三.yfy,

一.y(n)f( 型方yn)fx)两边积分yn1)fx)dxC1 再积分y(n2)[f(x)dxC1]dxC例:y3)sinx2逐次积分得 ycosx ysinxx CxC x412ycosx12

C2xC 求方程xy(5

y(4

0的通解设y4

P(

y(5

P(代入原方 xPP P解线性方程,

PC1

即y(4)C1两端积分,

y1Cx2

C y x5C2x3C3x2Cx

ydx5dx3dx2dx 二.yfx,y)令y

特点：二阶方程不显含因变量则ydp

pf(x,解出这个一阶方程的通解:pxC1则原方程的通解为 y(x,C1)dx例 y'y''x满足初始条件y(0)2,y'(0)1的特解yp,则

ypdp pdp积分得 x2 p2x2 y|x01,C1

p2x2y|x01

p

即yx2x2x2例 xyyln解：令yp,则y

xdppln

1积分得lnlnplnxln

pln 即peC1yeC1

y1eC1x2C12例 (1x2)y2 y|x01,y|x0解：令yp,

y

2

d(1x2(1x2 2

1

dx

1积分得lnpln(1x2ln1

ypC1(1x2 y|x0

C y3(1x21则2yx33x 1则2

y|x0 C2所求特解为 yx33x三.yfy,y)

特点：方程不显含自变量令yp

则y

dpdy

pdp方程变为:pdpfy,y为自变量的一阶方程的通解:pyyC1

(y,C1

xC2例 yyy2 解：令yp

ypdp则则

ypdpp2即 ydpp pdp

积分得lnplnyln ydpp pC1yC1其通解为

dyC CyC2eC

积分得lnyC1xlnCp

y 其通解为:y

yC2eC1 yy''(y')2y2ln解：令yp

ypdp则则

ypdpp2y2ln令up2du2pdp du2u2yln

利用公式可得uy2

ln2p

dyC1C1ln2Cln21 C Cln21CCln21

d(ln

ln(lny

)xC1C1ln2一.y(n)f(x 二.yfx,y)令yp 则ydpp三.yfy,y)令yp

则y

dpdy

pdp皆可,例 yy2 皆可,解：令yp

ydp则则

dpp2 ptan(xcp2 ytan(x 例有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索解：以绳索的 MTcosH Tsinmg 可得tan Ha

1y'2求导即 ay'' 1y y(0)0,y'(0)1y1y令yp

则y

y(0)0,y'(0)1a1

1dx1积分1

)1xln11由y'(0) C1ln(p

)sh1p11

pshaa最后y'sh 直接积分即a要使垂直向上发射的物 离maF(r

O d2r mdt

r

d2r mg

方程简化为dt r且r(0Rr'(0)d2r

且r(0Rr'(0) r d

dv.

dt

v v r

vdv

2gRr 2gR

v(R) v2 0

v0 t,x