《结构力学》静定结构的位移计算

第三分册结构力学第一页，共五十九页。第4章静定结构的位移计算CalculationofStaticallyDisplacementStructures第二页，共五十九页。§4-1结构位移和虚功的概念§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法§4-3静定结构由荷载所引起的位移§4-4图乘法§4-5互等定理结构力学目录第三页，共五十九页。产生位移的原因：（1）荷载

（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移结构力学§4-1结构位移和虚功的概念第四页，共五十九页。计算位移的目的：(1)刚度验算，(2)超静定结构分析的基础。位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。以上都是相对位移广义位移结构力学△=△AV+△BV第五页，共五十九页。W=F

2、广义力与广义位移：作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力F。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是功。即：W=FΔ1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量。2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。3）若广义力是等值、反向、共线的一对力PPPttABΔBΔA这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。结构力学1、功：第六页，共五十九页。ΔAB这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角

3、实功与虚功

实功是力在自身引起的位移上所作的功。

实功恒为正。

虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABmmBAmmWj+j=结构力学5）若广义力是一对等值、反向、不共线的力P第七页，共五十九页。dsds

dsdsdsdsdsdsds内力虚功：位移状态力状态结构力学§4-2变形体系的虚功原理和单位荷载法第八页，共五十九页。一、变形体系虚功原理：

设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的连续变形（位移状态），则力状态的外力在变形状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作虚功（虚应变能）。外力虚功＝虚应变能结构力学虚功原理两种应用：1、虚位移原理:实际力+虚设位移2、虚力原理：实际位移+虚设力求实际力求实际位移第九页，共五十九页。二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：K1外虚功：内虚功：实际状态（位移状态）虚拟状态（力状态）结构力学第十页，共五十九页。适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。结构力学第十一页，共五十九页。三、位移计算的一般步骤:K1实际变形状态虚力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。结构力学第十二页，共五十九页。图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。

ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC

ABP=1/lP=1/ll⑤ABP=1/lP=1/ll（

）④AB杆的转角AB连线的转角AB杆和AC杆的相对转角结构力学第十三页，共五十九页。研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。一、计算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k--为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式结构力学§4-3静定结构由荷载引起的位移第十四页，共五十九页。二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架（2）桁架（3）拱（4）桁，梁混合结构梁式杆链式杆结构力学第十五页，共五十九页。qACB(a)实际状态P=1ACB(b)虚设状态AC段例1.试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）列出两种状态的内力方程：结构力学第十六页，共五十九页。CB段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段结构力学qACBP=1ACB第十七页，共五十九页。设为矩形截面k=1.2结构力学第十八页，共五十九页。3）讨论:比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式结构力学第十九页，共五十九页。PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB结构力学第二十页，共五十九页。1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG结构力学第二十一页，共五十九页。例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载PθdθdsP=1结构力学第二十二页，共五十九页。PP=1虚拟荷载3）位移公式为θdθds2）实际荷载结构力学第二十三页，共五十九页。12001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI412==DDMQR2h2GAREIk

可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略。h101<R如结构力学钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12第二十四页，共五十九页。Pl/2l/2EIABx1x2例4：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=12）MP须分段写结构力学第二十五页，共五十九页。Pl

PlMPP=1xl－xMPx试用单位荷载法求出梁的挠曲线。结构力学第二十六页，共五十九页。òkidsEIMMòÞ=kiCEIdxMMEI1åòå==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòÞBAkMdxxtgMEIi1a是直线òÞkidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα§4-4图乘法结构力学第二十七页，共五十九页。①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0取正号，否则取负号。结构力学积分常可用图形相乘来代替第二十八页，共五十九页。⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点结构力学第二十九页，共五十九页。Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例5：求梁B点转角位移。例6：求梁B点竖向线位移。3l/4结构力学第三十页，共五十九页。PPaaaPaPaMPP=13a/4a/2a/2⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。例7：求图示梁中点的挠度。？结构力学第三十一页，共五十九页。Pl/2l/2C例8：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？结构力学第三十二页，共五十九页。⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形()bcadbdacl+++=226öødcçèæ+323bl+2dcøöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211wwabdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2MiMkh1h2结构力学第三十三页，共五十九页。＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非标准抛物线乘直线形h1h2结构力学232dchl+第三十四页，共五十九页。各种曲线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。（1）3264952.5（2）326492.51结构力学第三十五页，共五十九页。2364（3）910.5（4）23690.53结构力学第三十六页，共五十九页。

E=3.3×1010N/m2

I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4

折减抗弯刚度0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例9：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m结构力学第三十七页，共五十九页。200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2结构力学第三十八页，共五十九页。例10、求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数9999999结构力学第三十九页，共五十九页。)()®¬=EI-756øö×××+3322318çèæ××××-+EI643636311øö+×××-2639632(çèæ×+×-××+××-=DEI61833631826362661结构力学36189MPP=1P=163↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数99999第四十页，共五十九页。ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MPl例11、求B点竖向位移。结构力学第四十一页，共五十九页。4kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB例12、求B端转角。5kN12844MPkN.m1kN.m结构力学第四十二页，共五十九页。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020例13、求A点水平位移。结构力学第四十三页，共五十九页。m结构力学5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510202kN10101020第四十四页，共五十九页。P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2例14、求B点的竖向位移。EIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0结构力学第四十五页，共五十九页。P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2EIql256174=lllqlEI25.023232212+×-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222úûù++êëé++lqlEIlB432831122××=Dq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8l/2ql2/32y0结构力学第四十六页，共五十九页。例15、求D点的竖向位移。PPP4m×3=12m3mABDC5P－8PP=15/3－4/30000000000－1－3P结构力学第四十七页，共五十九页。例16试求等截面简支梁C截面的转角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/5=qllqll125853225252122úûù·øöççèæ···+··-lqlEIC2183212êëé···=qEIql100333=结构力学1第四十八页，共五十九页。应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。P1P2①F1F2②N1

M1

Q1N2

M2

Q2一、功的互等定理åòøöçèæ++dsGAQkQEIMMEANN121212å=D=FW1221åò

øöçèæ++=dsGAQkQEIMMEANN212121åD=PW2112§4-5互等定理结构力学第四十九页，共五十九页。二、位移互等定理P1①P2②Δ21Δ12jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。结构力学功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21。即：W12=W21第五十页，共五十九页。P1①P2②

位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数δ21等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数δ12。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12。Δ21Δ12注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。结构力学第五十一页，共五十九页。三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。结构力学第五十二页，共五十九页。c1c2R11R21R22R12

反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。

注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。结构力学第五十三页，共五十九页。Pl/2l/23Pl/16CA①θΔC②例17：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座A的转动引起C点的挠度。解：W12=W21∵W21=0∴W12=PΔC－3Pl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16P=1①②m=1m=1ABθBθAΔ结构力学第五十四页，共五十九页。

例18、已知图a梁支座C上升0.02m引起的ΔD=0.03m/16，试绘图b的M图。PRc(b)aa/2a/2ABCDΔD0.02m(a)Wab=0=Wba=P·ΔD+RC