2020高中数学 第三章 直线与方程 .1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精3.1。1倾斜角与斜率知识导图学法指导1。倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．2．求直线斜率的方法有：定义法、公式法等．3．用正切函数(k＝tanα)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系并熟记．4．由两点坐标计算直线的斜率,为求直线的方程奠定基础．高考导航1。已知直线的倾斜角（斜率）,求直线的斜率（倾斜角）的问题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识相结合,各种题型均有出现，分值4～6分。知识点一直线的倾斜角1．直线l的倾斜角的概念一个前提：直线l与x轴相交;一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．2．倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．1.倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正方向;②直线向上的方向;③小于180°的非负角．2．平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．知识点二直线的斜率1．定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．2．记法：斜率常用k表示，即k＝tan_α。3．斜率与倾斜角的对应关系。图示倾斜角α＝0°0°<α〈90°α＝90°90°〈α<180°斜率0k〉0不存在k<04.公式:经过两点P1(x1，y1)，P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1）.直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴（平行于y轴或与y轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确。（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率．(）（2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(）(3）若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.(）(4）直线斜率的取值范围是(－∞,＋∞)．(）答案:（1）×(2)×（3)×(4)√2．［2019·山东省枣庄市校级月考］给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°;③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝eq\f（\r（2），2），则α＝45°.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析:任意一条直线有唯一的倾斜角,倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0,故④错误，⑤中α有可能为135°，故⑤错误．答案：A3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（)A.eq\f(\r(3)，3)B。eq\r(3)C．1D。eq\f(\r（2）,2)解析:由题意可知,直线l的斜率k＝tan30°＝eq\f（\r(3)，3）.答案：A4．［2019·泰州校级月考］经过点(0,2)和点（3，0)的直线的斜率为(）A.eq\f(2,3）B。eq\f(3，2）C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(3，2)解析：斜率k＝eq\f（0－2，3－0）＝－eq\f（2，3）.答案:C类型一求直线的倾斜角例1求图中各直线的倾斜角．【解析】（1）如图（1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°,∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°。(2)如图(2），可知∠xAB为直线l2的倾斜角,易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°,∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°。(3)如图（3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°,即直线l3的倾斜角为150°。求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的定义及倾斜角的范围．方法归纳根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0°、锐角、直角和钝角四类．跟踪训练1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α〈180°时，倾斜角为α－135°解析：根据题意，画出图形，如图所示．A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知:当0°≤α〈135°时，l1的倾斜角为α＋45°;当135°≤α〈180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D.答案:D条件中未指明α的范围,画出图形考虑到倾斜角的范围,对α分类讨论．类型二直线的斜率例2（1）已知两条直线的倾斜角分别为60°,135°，求这两条直线的斜率;(2)已知A（3,2），B(－4，1)，C（0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；（3）求经过两点A(2,3），B(m,4)的直线的斜率．【解析】(1)直线的斜率分别为k1＝tan60°＝eq\r（3），k2＝tan135°＝－1；（2）直线AB的斜率kAB＝eq\f(1－2,－4－3）＝eq\f（1，7)；直线BC的斜率kBC＝eq\f(－1－1,0－－4)＝eq\f（－2，4）＝－eq\f(1,2）;直线AC的斜率kAC＝eq\f（2－－1,3－0）＝eq\f(3,3)＝1.(3）当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝eq\f（4－3，m－2)＝eq\f（1,m－2）。1．利用k＝tanα求斜率．2．当x1≠x2时，利用k＝eq\f(y2－y1，x2－x1）求斜率．方法归纳(1)求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α（α≠90°)时，可利用斜率的定义，即k＝tanα求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时,可利用过两点的直线的斜率公式计算求得．（2)使用斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1)求斜率时，要注意其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2，即两点的横坐标相等时,直线斜率不存在．（3)利用斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)时，如果两点的横坐标中含有参数，则应讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．,跟踪训练2已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1),B(1,1），C(1，－1），求直线AB,BC，AC的斜率．解析：kAB＝eq\f（1－1，1－－1）＝0,kAC＝eq\f(－1－1，1－－1）＝－1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在．已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．类型三直线的倾斜角、斜率的综合应用例3已知两点M（2，－3),N(－3，－2）,直接l过点P（3,3）且与线段MN相交,试求l的斜率k的取值范围．【解析】过点P且与线段MN相交的直线,必在PM与PN之间（含直线PM、PN）．因为kPN＝eq\f（3－－2，3－－3）＝eq\f（5，6），kPM＝eq\f（3－－3，3－2）＝6,且在过P点且与线段MN相交的直线中，不含垂直于x轴的直线，所以直线l的斜率k的取值范围为eq\f(5，6）≤k≤6。利用斜率公式找到临界条件，建立等量关系式，然后确定斜率k的取值范围．方法归纳已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解．跟踪训练3已知经过两点A(5，m）和B（m，8)的直线的斜率大于1,求实数m的取值范围．解析：由题意得eq\f(8－m，m－5）>1，∴eq\f(8－m,m－5)－1>0，∴eq\f(8－m－m＋5，m－5)〉0，即eq\f(2m－13，m－5）〈0,∴5<m〈eq\f(13，2).故m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（5,\f（13,2))）.直接依据斜率公式建立不等式,然后求解不等式，即可得到所求的结果。［基础巩固](25分钟，60分)一、选择题（每小题5分，共25分）1．已知直线过点A（0，4）和点B(1，2)，则直线AB的斜率为（)A．3B．－2C．2D．不存在解析：由题意可得AB的斜率为k＝eq\f(2－4,1－0）＝－2。答案:B2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（）A．(4，1）与（－4，－1）B．(0，1)与（1,0）C．（1，4)与（－1，4）D．(－4，1）与(－4，－1)解析:选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同,所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．答案:D3．［2019·孝感检测]已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α〈180°。答案：C4．直线l的倾斜角是斜率为eq\f（\r(3),3）的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A．1B.eq\r(3）C.eq\f(2\r（3），3)D．－eq\r（3）解析：∵tanα＝eq\f(\r（3),3），0°≤α〈180°，∴α＝30°，∴2α＝60°,∴k＝tan2α＝eq\r(3）。故选B。答案:B5．过点M(－2,m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1B．4C．1或3D．1或4解析：∵kMN＝eq\f(m－4，－2－m)＝1,∴m＝1。答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．若直线l的斜率k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(\r（3)，3)））,则该直线的倾斜角α的取值范围是________．解析:当0≤k〈eq\f（\r（3),3）时，因为tan0°＝0，tan30°＝eq\f（\r(3),3),所以0°≤α<30°.答案：［0°,30°）7．已知A（2,－3)，B（4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（5，\f（m，2)）)三点在同一条直线上，则实数m的值为________．解析：因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即eq\f(3－－3，4－2)＝eq\f（\f（m,2)－－3,5－2)，解得m＝12。答案：128．若ab<0，则过点Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，－\f（1,b）)）与Qeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a），0)）的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．解析：kPQ＝eq\f(－\f(1，b)－0,0－\f(1,a）)＝eq\f（a,b)〈0，又倾斜角的取值范围为［0，π）,故直线PQ的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）,π）)。答案：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)）三、解答题(每小题10分，共20分）9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.（1)A(2，3），B（4,5）；(2)C（－2，3)，D(2，－1);(3）P（－3，1),Q（－3,10）．解析：（1）存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f（5－3,4－2)＝1，即tanα＝1,又0°≤α〈180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2）＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°,所以倾斜角α＝135°。(3）不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.10．如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1，直线l1⊥l2,求直线l1的斜率．解析：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°,所以直线l1的斜率为k＝tan30°＝eq\f（\r（3）,3）.［能力提升］(20分钟，40分）11．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角,则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任意一条直线都有倾