2020高中数学 第三章 直线与方程 2 两点间的距离练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精第26课时两点间的距离对应学生用书P71知识点一两点间距离公式1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位,它的一个端点是A(2,1），则它的另一个端点B的坐标是()A．(－3，1)或（7,1)B．（2，－4）或(2,6)C．(－3，1)或（5，1)D．（2,－5）或（2,5）答案A解析因为AB平行于x轴，所以B点的纵坐标为1．因为线段的长度为5，所以B点的横坐标为7或－3．2．已知点A(x，5)关于点C（1，y)的对称点是B(－2,－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．4B．eq\r（13)C．eq\r(15）D．eq\r（17）答案D解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f（x－2，2），，y＝\f(5－3,2)，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝4，,y＝1。））∴d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)．3．如图所示，已知A（4，0)，B(0，4），从点P（2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（）A．2eq\r(10)B．6C．3eq\r（3)D．2eq\r（5)答案A解析由题意知,点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为｜CD｜＝2eq\r(10）．故选A．知识点二最值问题4．已知M（1，0)，N(－1，0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则｜PM｜2＋｜PN｜2的最小值为________．答案eq\f(12,5）解析设P的坐标为（t，2t－1)，则|PM|2＋｜PN｜2＝（t－1)2＋（2t－1)2＋（t＋1）2＋(2t－1）2＝10t2－8t＋4＝10eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（t－\f（2，5)））2＋eq\f(12，5）≥eq\f(12,5)．知识点三两点间距离公式的应用5．已知△ABC的三个顶点坐标是A（1,－1），B（－1,3），C(3，0)．(1）判断△ABC的形状；（2)求△ABC的面积．解(1)如图,△ABC为直角三角形，下面进行验证：解法一：∵|AB｜＝eq\r（－1－12＋［3－－1]2）＝eq\r（20)＝2eq\r(5），|AC|＝eq\r(3－12＋[0－－1]2）＝eq\r（5），｜BC｜＝eq\r（［3－－1］2＋0－32）＝eq\r(25）＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2,即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵kAB＝eq\f(3－－1,－1－1)＝－2，kAC＝eq\f（0－－1，3－1)＝eq\f(1,2）,∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．（2）∵∠A＝90°，｜AB|＝2eq\r（5）,|AC|＝eq\r(5）,∴S△ABC＝eq\f（1，2)|AB|·|AC｜＝5．6．求证:若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．证明以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图所示）．设A(－a,0)，B(0,－b)，C（c，0)，D(0，d)，分别取CD和AB的中点E，F，圆心为M，∴Eeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（c，2）,\f（d,2））)，Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(a，2），－\f(b,2)））．设M（x,y)，∵点M到点A，C的距离相等，∴eq\r(x＋a2＋y2）＝eq\r（x－c2＋y2），∴x＝eq\f（c－a，2）．又∵点M到点B,D的距离相等，∴eq\r（x2＋y＋b2)＝eq\r（x2＋y－d2），∴y＝eq\f（d－b，2)，即Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(c－a,2），\f(d－b,2）））．∴｜OF｜＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a，2)））2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（b,2)))2)＝eq\f（\r(a2＋b2),2)，｜ME|＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(c－a,2）－\f(c，2））)2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(d－b，2）－\f（d,2）)）2)＝eq\f(\r（a2＋b2)，2)，∴｜OF|＝｜ME｜．知识点四运用解析法解决平面几何问题7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：｜AC|＝｜BD|．证明如图，建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（a，0）,C(b，c），则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r（b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2），|BD｜＝eq\r（a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2）,故｜AC｜＝|BD|．8．在△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B,C不重合），且|AB｜2＝|AD｜2＋|BD｜·｜DC｜．求证：△ABC为等腰三角形．证明作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴,建立直角坐标系（如图所示)．设A(0,a），B(b，0）,C（c,0），D(d，0）．因为|AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD|·｜DC|,所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)（c－d)，即－(d－b）(b＋d）＝（d－b)（c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c．所以|AB|＝|AC|,即△ABC为等腰三角形．对应学生用书P72一、选择题1．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5）,B（－2,－1)，C(4，7），则BC边上的中线AM的长为（）A．eq\f(\r（2)，2)B．eq\r（2)C．eq\f(3\r（2）,2）D．2eq\r(2）答案D解析设点M(x，y）．∵点M是线段BC的中点，∴x＝eq\f(－2＋4,2）＝1,y＝eq\f(－1＋7,2)＝3，即点M的坐标为（1，3)．由两点间的距离公式，得｜AM|＝eq\r（［1－－1]2＋3－52）＝2eq\r(2)．∴BC边上的中线AM的长为2eq\r（2）．2．过点A(4，a）和B（5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB｜的值为()A．6B．eq\r（2）C．2D．不确定答案B解析由题意可知直线AB的斜率与y＝x＋m的相同,∴eq\f(b－a,5－4)＝1，∴b－a＝1，∴|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(2）．3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1），则｜AB|等于（）A．5B．4eq\r（2）C．2eq\r(5）D．2eq\r(10）答案C解析设A(a，0),B(0，b)，则eq\f(a，2)＝2，eq\f(b,2）＝－1，解得a＝4,b＝－2，∴|AB|＝eq\r（4－02＋0＋22）＝2eq\r(5）．4．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A（2,3）的距离为eq\r（13),则点P的坐标是(）A．（5,5)B．（－1,1)C．（5，5)或(－1,1)D．(5，5）或（1，－1）答案C解析设点P（x，y),则y＝eq\f（2x＋5,3)．由|PA|＝eq\r(13)，得（x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2x＋5，3）－3）)2＝13，即（x－2）2＝9，解得x＝－1或x＝5．当x＝－1时,y＝1;当x＝5时，y＝5，∴P(－1，1)或(5,5）．5．设x,y为实数,则eq\r(x2＋y－22)＋eq\r（x－32＋y－12)的最小值为（）A．3eq\r(2)B．5C．eq\r（10）D．eq\r（2)答案C解析由平面内两点间的距离公式，知原式表示动点P（x,y）到定点A（0，2）和B（3，1)的距离之和．由“两点之间线段最短”，得点P(x，y）在线段AB上时，eq\r(x2＋y－22)＋eq\r（x－32＋y－12)取得最小值，最小值为|AB|＝eq\r(0－32＋2－12)＝eq\r(10）．二、填空题6．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：（2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________．答案eq\f(13，5）解析直线l1:y＝3ax－2过定点A（0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－（x＋1）＝0过定点eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋5y＝0，，x＋1＝0，)）即Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1，\f（2,5)）)．由两点间的距离公式得｜AB｜＝eq\f（13，5)．7．已知A（1,2),B(－1，1)，C(0，－1），D（2，0），则四边形ABCD的形状为________．答案正方形解析∵kAB＝eq\f（1,2)，kCD＝eq\f(1,2），kBC＝－2，kAD＝－2,∴AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC,∴四边形ABCD为矩形．又∵|AB|＝eq\r（1＋12＋2－12)＝eq\r（5），|BC|＝eq\r（－1－02＋1＋12)＝eq\r（5），∴|AB｜＝|BC|，故四边形ABCD为正方形．8．已知A(1，6)，B(5，2），点P在x轴上，则使｜AP|＋|BP|取得最小值时点P的坐标为________．答案(4，0)解析∵A（1，6)关于x轴的对称点为A′（1,－6)，则｜PA|＝|PA′｜，当P点为A′B与x轴的交点时，|PA｜＋|PB|取得最小值，又A′B的方程为eq\f(y＋6，2＋6）＝eq\f（x－1,5－1），即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴P（4，0）．三、解答题9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A（1,－1）,过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且｜AB|＝5，求直线l2的方程．解∵点B在直线l1上，∴设B(x0，6－2x0)．∵|AB｜＝5，∴eq\r（x0－12＋7－2x02)＝5，整理,得xeq\o\al（2，0）－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5，∴点B的坐标为(1，4）或（5，－4)．∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．10．在直线l:3x－y＋1＝0上求一点P,使点P到两点A（1,－1）,B(2,0)的距离相等．解解法一:设P点坐标为(x，y），由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y＋1＝0，,\r(x－12＋y＋12）