2020高中数学 第三章 不等式 .4.1 基本不等式练习（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第26课时基本不等式知识点一利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是（）A．a＋eq\f(4，a）≥4B．a2＋b2≥4abC．eq\r（ab)≥eq\f（a＋b，2)D．x2＋eq\f（3,x2)≥2eq\r（3)答案D解析当a＜0时，则a＋eq\f(4,a）≥4不成立，故A错;a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错;a＝4，b＝16,则eq\r(ab)＜eq\f（a＋b,2）,故C错；由基本不等式可知D正确．2．已知两个不相等的正数a,b，设P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r（ab)，M＝eq\r(\f(a2＋b2,2))，则有（）A．P＞Q＞MB．Q＞P＞MC．P＞M＞QD．M＞P＞Q答案D解析由基本不等式得P＞Q，又M2－P2＝eq\f(a－b2,4）＞0，得M＞P，故M＞P＞Q．故选D．3．已知正数x，y满足xy＝36，则x＋y与12的大小关系是________．答案x＋y≥12解析由x,y为正数,得x＋y≥2eq\r（xy）＝12．知识点二利用基本不等式证明不等式4．(1）已知a，b，c∈R＋,求证：eq\f（a2，b）＋eq\f(b2，c)＋eq\f（c2,a）≥a＋b＋c．（2）已知a,b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞eq\r(ab）＋eq\r（bc）＋eq\r（ca)．证明(1)∵a，b,c∈R＋，eq\f（a2，b)，eq\f（b2,c)，eq\f(c2，a)均大于0，又eq\f（a2,b)＋b≥2eq\r(\f（a2，b)·b）＝2a，eq\f(b2，c）＋c≥2eq\r(\f(b2，c）·c）＝2b，eq\f（c2，a)＋a≥2eq\r（\f（c2,a）·a）＝2c，三式相加得eq\f(a2，b)＋b＋eq\f(b2，c）＋c＋eq\f(c2，a)＋a≥2a＋2b＋2c,∴eq\f(a2,b）＋eq\f（b2,c)＋eq\f（c2，a）≥a＋b＋c．（2)∵a＞0,b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r（ab）＞0，b＋c≥2eq\r(bc）＞0，c＋a≥2eq\r（ca）＞0．∴2（a＋b＋c)≥2(eq\r(ab）＋eq\r(bc）＋eq\r(ca）），即a＋b＋c≥eq\r(ab）＋eq\r(bc)＋eq\r(ca）．由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．∴a＋b＋c＞eq\r（ab)＋eq\r(bc)＋eq\r（ca）．5．已知a，b，c∈R,求证:eq\r（a2＋b2）＋eq\r（b2＋c2）＋eq\r（c2＋a2)≥eq\r(2）(a＋b＋c）．证明∵eq\f(a＋b，2)≤eq\r(\f（a2＋b2，2)),∴eq\r（a2＋b2)≥eq\f（a＋b，\r（2)）＝eq\f(\r(2）,2)(a＋b)（a，b∈R，等号在a＝b时成立)．同理，eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r（2)，2)（b＋c）(等号在b＝c时成立)．eq\r（a2＋c2)≥eq\f(\r(2)，2）(a＋c）（等号在a＝c时成立)．三式相加得eq\r(a2＋b2）＋eq\r（b2＋c2)＋eq\r（a2＋c2）≥eq\f（\r(2），2)（a＋b)＋eq\f（\r（2)，2)(b＋c）＋eq\f（\r(2)，2)(a＋c）＝eq\r(2）（a＋b＋c）(等号在a＝b＝c时成立)．易错点一忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论：（1)若a＞0，则a2＋1＞a．(2）若a＞0，b＞0，则eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,a）＋a）)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（b＋\f（1，b)））≥4．（3）若a＞0,b＞0，则（a＋b)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,a)＋\f（1,b））)≥4．（4）若a∈R且a≠0，则eq\f（9，a）＋a≥6．其中恒成立的是________．易错分析易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确．答案（1）(2）(3)解析因为a〉0,所以a2＋1≥2eq\r（a2)＝2a>a，故(1)恒成立．因为a＞0,所以a＋eq\f（1,a)≥2，因为b＞0,所以b＋eq\f（1，b）≥2,所以当a＞0，b＞0时，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1，a))）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（b＋\f(1，b））)≥4,故（2）恒成立．因为（a＋b)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，a)＋\f(1,b))）＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b）,又因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq\f(b,a）＋eq\f（a,b）≥2，所以(a＋b）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，a)＋\f(1，b)）)≥4,故（3)恒成立．因为a∈R且a≠0,不符合基本不等式的条件，故eq\f(9,a)＋a≥6是错误的．易错点二忽视定值的条件7．求函数f（x)＝2x(5－3x),x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(5，3）))的最大值．易错分析x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(5,3)）），∴2x＞0，5－3x＞0,∴f（x)＝2x(5－3x)＝2［eq\r（x5－3x)]2≤2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x＋5－3x，2）))2＝eq\f（5－2x2,2）．当且仅当x＝5－3x,即x＝eq\f(5，4）∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（5，3）））时，等号成立，此时eq\f(5－2x2,2）＝eq\f（25,8）．故f(x）的最大值为eq\f(25，8）．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（5,3）))，∴2x＞0，5－3x＞0,f(x)＝2x(5－3x）＝eq\f(2，3）[eq\r（3x·5－3x)］2≤eq\f（2,3）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋5－3x，2))）2＝eq\f（25,6）．当且仅当3x＝5－3x，即x＝eq\f(5，6)∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f(5，3)））时，等号成立,故所求函数的最大值为eq\f（25，6)．一、选择题1．设0＜a＜b，且a＋b＝1,在下列四个数中最大的是(）A．eq\f(1,2)B．bC．2abD．a2＋b2答案B解析∵ab＜eq\f(a＋b,2)2，∴ab＜eq\f（1,4)，∴2ab＜eq\f(1，2)．∵eq\r(\f（a2＋b2，2)）＞eq\f(a＋b,2）＞0,∴eq\r(\f（a2＋b2，2）)＞eq\f(1,2），∴a2＋b2＞eq\f(1，2)．∵b－(a2＋b2）＝（b－b2）－a2＝b(1－b）－a2＝ab－a2＝a（b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．2．下列不等式一定成立的是（）A．x＋eq\f(1,x）≥2(x≠0)B．x2＋eq\f(1，x2＋1）≥1（x∈R）C．x2＋1≤2x(x∈R)D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)答案B解析对于A，当x＞0时成立;对于B,x2＋1＋eq\f(1，x2＋1）≥2，当且仅当x＝0时等号成立；对于C，应为x2＋1≥2x（x∈R);对于D，x2＋5x＋6＝x＋eq\f（5,2）2－eq\f（1，4)≥－eq\f（1，4)；综上所述，故选B．3．若a＞b＞0,则下列不等式一定成立的是(）A．a－b＞eq\f（1,b）－eq\f（1，a)B．eq\f（c2，a）＜eq\f(c2,b）C．eq\r（ab)>eq\f（2ab,a＋b)D．eq\f（3a＋b,a＋3b)＞eq\f(a，b)答案C解析逐一考查所给的选项：当a＝2，b＝eq\f(1，3)时，a－b＝1eq\f（2，3),eq\f(1，b)－eq\f(1，a）＝2eq\f(1,2），不满足a－b＞eq\f(1，b)－eq\f（1，a）,A错误；当c＝0时,eq\f（c2,a)＝eq\f（c2，b）＝0，不满足eq\f(c2,a）＜eq\f（c2，b），B错误;当a＝2，b＝1时，eq\f（3a＋b，a＋3b)＝eq\f（7,5），eq\f(a，b）＝2，不满足eq\f（3a＋b,a＋3b）＞eq\f(a,b)，D错误；若a＞b＞0,则a＋b〉2eq\r（ab），即a＋b〉eq\f(2ab,\r（ab)）,整理可得eq\r（ab）〉eq\f(2ab,a＋b),C正确．故选C．4．设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③eq\f(a，b)＋eq\f（b,a)＞2．上述三个式子恒成立的有(）A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①a5＋b5－(a3b2＋a2b3）＝a3(a2－b2)＋b3（b2－a2)＝（a2－b2)（a3－b3)＝（a－b）2（a＋b）(a2＋ab＋b2）＝（a－b）2(a3＋b3）＞0不恒成立；（a2＋b2)－2（a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1)2＋(b＋1）2≥0恒成立；eq\f(a,b）＋eq\f(b，a）＞2或eq\f（a，b）＋eq\f(b，a)＜－2．故选B．5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4,那么()A．ab≤c＋d，且等号成立时,a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d,且等号成立时,a,b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b,c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a,b，c，d的取值不唯一答案A解析因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab），故ab≤4．又因为cd≤eq\f(c＋d2，4)，所以c＋d≥4,所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．故选A．二、填空题6．若a＞b＞c，则eq\f(a－c,2)与eq\r(a－bb－c）的大小关系是________．答案eq\f(a－c,2）≥eq\r(a－bb－c）解析因为a＞b＞c，所以eq\f（a－c,2）＝eq\f(a－b＋b－c，2)≥eq\r（a－bb－c）,当且仅当a－b＝b－c,即2b＝a＋c时，等号成立．7．若四个正数a，b，c,d成等差数列，x是a和d的等差中项,y是b和c的等比中项，则x和y的大小关系是________．答案x≥y解析∵x＝eq\f(a＋d,2）＝eq\f(b＋c，2)，y＝eq\r(bc），又∵b，c都是正数，∴eq\f(b＋c,2）≥eq\r(bc）（当且仅当b＝c时取“＝”),∴x≥y．8．设a,b＞0，a＋b＝5，则eq\r（a＋1）＋eq\r（b＋3)的最大值为________．答案3eq\r（2)解析(eq\r(a＋1）＋eq\r（b＋3))2＝a＋b＋4＋2eq\r（a＋1）·eq\r(b＋3)≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18,当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5,即a＝eq\f（7,2)，b＝eq\f（3,2）时等号成立，所以eq\r(a＋1）＋eq\r（b＋3)≤3eq\r（2)．三、解答题9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证:eq\f（bc,a）＋eq\f(ac,b）＋eq\f(ab,c）＞a＋b＋c．证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f（bc,a)＋eq\f（ac，b)≥2eq\r(\f(abc2,ab)）＝2c，eq\f（ac，b）＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(a2bc,bc））＝2a,eq\f（bc,a)＋eq\f(ab,c）≥2eq\r（\f（acb2,ac）)＝2b．又a，b，c不全相等,故上述等号至少有一个不成立．∴eq\f(bc,a)＋eq\f（ac，b)＋eq\f(ab，c）＞a＋b＋c．10．(1）已知m，n>0，且m＋n＝16，求eq\f(1，2)mn的最大值；（2）已知x>3，求f（x)＝x＋eq\f(4,x－3）的最小值．解（1)∵m，n>0