高一数学：《5-5 三角恒等变换》获奖说课导学案

第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝__________________α，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝__________________α，β∈R1两角和与差的余弦公式2两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝__________________α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝__________________α，β∈R3两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝_______α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝______α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1问题探究１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z．如图5.5.1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A（１，０），以x轴非负半轴为始边作角α，β，α—β，它们的终边分别与单位圆相交于点A1（cosα，sinα），P1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，AP与A1P1

重合，从而，根据两点间的距离公式，得cosα-β-12+sinα-β2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2，

化简得:

cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ

当α=2kπ＋β（k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．

所以，对于任意角α，β有称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).典例解析例１利用公式cosα-β证明：

（１）cosπ2-α=sinα例２已知sinα=45，α∈(π2,π),cosβ=-由公式cosα-β出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式cosα-β为基础来推导其他公式例如，比较cosα-β与cosα+β，并注意到α＋α-β之间的联系：α+β＝α-（-β）则由公式cos有cosα+β=cos[α--β]

＝cos于是得到了两角和的余弦公式，简记作C（α＋β）．cosα+β=cos问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式吗？通过推导，可以得到：

sinα+β＝sinαcosβ+cosαsinβ，（S（α

sinα-β＝sinαcosβ-cosαsinβ;（S（α你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示

tanα+β，

tanα-β通过推导，可以得到：

tanα+β=

tanα+

tanα-β=

tanα-和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式．典例解析例3.已知sinα=-35，α是第四由以上解答可以看到，在本题条件下有sinπ4-α=cosπ4+α．那么对于任意角α，此等式成立吗例４利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin72°cos42°－cos72°sin42°;（２）cos20°cos70°－sin20°sin70°;（3）1+tan15°1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(1,2)2.已知α是锐角，sinα＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．－eq\f(\r(2),10)B．eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),5)D．eq\f(\r(2),5)3．已知锐角α，β满足cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，则cosβ等于()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(54,75)D．－eq\f(54,75)4．计算eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝________.5．已知α，β均为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β.让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：两角和差公式思想方法上：整体代换思想，转化思想。参考答案：知识梳理1.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ2.sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ3.eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)学习过程典例解析例１证明:(1)cosπ2-α=cosπ2cosα+sinπ2sinβsinα=0＋1×sinα=sin例２解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=-1-sinα2=-1-(45)2=-35

又由cosβ=-513，β是第三象限角，得例3.解：由sinα=-35，得cos所以

tanα=

sinαcosα=-3545cosπ4+α

tanα-π4=

例４分析：和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．解：（１）由公式S（α－β），得sin72°cos42°－cos72°sin42°=Sin(72°－42°)=sin30°=1（2）由公式C（α+β），得cos20°cos70°－sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0（3）由公式T（α+β）及tan45°=1，1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°tan45°三、达标检测1．【解析】原式＝cos(65°－35°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).【答案】C2.【解析】因为α是锐角，sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(\r(2),10).故选B．【答案】B3．【解析】因为α，β为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，所以sinα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).故选A．【答案】A4．【解析】eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1.【答案】15．【解】∵α，β均为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，∴