XXXX动态电力系统第章

动态电力系统2012年秋季·研究生课程第四章直接法暂态稳定分析主要内容直接法基本原理能量函数构造RUEP法PEBS法EEAC法参考文献电力系统暂态稳定性的能量函数分析刘笙上海交通大学出版社1995直接法稳定分析付书裼、倪以信、薛禹胜中国电力出版社1999一、概论

从能量的角度分析稳定问题,从而快速判别稳定性。优点：可计及非线性大系统计算速度快，不必逐步仿真受扰运动轨迹能给出稳定裕度指标缺点：模型较简单结果偏于保守稳定性分析历史回顾

18世纪末，由于瓦特发明的离心式调速器有时会造成系统的不稳定﹐使蒸汽机产生剧烈的振荡。到了19世纪又发现船舶上自动操舵机的稳定性问题。这就迫使一些数学家用微分方程来描述和分析系统的稳定性问题。1867年英国物理学家J.C.麦克斯韦发表《论调速器》的文章﹐总结了无静差调速器的理论。1876年俄国机械学家维什涅格拉茨基在法国科学院院报上发表《论调节器的一般理论》的文章﹐进一步总结了调节器的理论。1877年英国数学家E.J.劳思提出代数稳定判据﹐即著名的劳思稳定判据。1895年德国数学家A.胡尔维茨提出代数稳定判据的另一种形式﹐即著名的胡尔维茨稳定判据。Maxwell,J.C.“OnGovernors”.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon，Vol.16(1867-1868):270–283.Lyapunov第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；Lyapunov第二法是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。直接法发展历程

1892年，Lyapunov经典论文

《关于运动稳定性的一般理论》发表李亚普诺夫（1857～1918）

Lyapunov，Aleksandr

Mikhailovich

俄罗斯数学家，物理学家。1857年生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。1876年入圣彼得堡大学，1892年获博士学位，1893年起任哈尔科夫大学教授。曾先后在圣彼得堡大学、哈尔科夫大学和喀山大学执教。

李亚普诺夫最初从事流体静力学理论研究，1892年开创性地提出求解非线性常微分方程的李亚普诺夫函数法，亦称直接法，由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，从而在科学技术的许多领域中得到广泛的应用和发展，奠定了常微分方程稳定性理论的基础。成为研究常微分方程定性理论的重要手段。Lyapunov第二法由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。

Lyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数（其构造可能十分困难）。若(,t0)与初始时刻刻t0无关,则称平衡态态xe是李雅普诺诺夫意义下下一致渐近稳稳定的。对于线性定定常系统来来说,上述定义中中的实数(,t0)可与初始时时刻t0无关,故其渐近稳稳定性与一一致渐近稳稳定性等价价。但对于时变变系统来说说,则这两者的的意义很可可能不同。。必要条件：：只有一个平平衡点。对于非线性性系统,渐近稳定性性是一个局局部性的概概念,而非全局性性的概念。。2x0x)(tx1x0)(002221xVCxx==+12221Cxx=+22221Cxx=+1x2x0x0)(tx线性系统的的稳定性与与非线性系系统的稳定定性比较在线性定常常系统中，，若平衡状状态是局部部渐近稳定定的，则它它是大范围围渐近稳定定的。然而而在非线性性系统中，，不是大范范围渐近稳稳定的平衡衡状态可能能是局部渐渐近稳定的的。因此，，线性定常常系统平衡衡状态的渐渐近稳定性性的含义和和非线性系系统的含义义完全不同同。如果要具体体检验一个个实际非线线性系统平平衡状态的的渐近稳定定性，则仅仅用前述非非线性系统统的线性化化模型之稳稳定性分析析，即Lyapunov第一一法法是是远远远远不不够够的的，，必必须须研研究究没没有有线线性性化化的的非非线线性性系系统统。。为为此此有有如如下下几几种种基基于于Lyapunov第二二法法的的方方法法可可达达成成这这一一目目的的。。如如克克拉拉索索夫夫斯斯基基方方法法、、Schultz-Gibson变量量梯梯度度法法、、鲁鲁里里叶叶(Lure’’)法，，以以及及波波波波夫夫方方法法等等。。在电电力力系系统统中中的的应应用用：：20年代代初初，，等等面面积积定定则则1958年，，Aylett，能能量量积积分分判判据据1966年，，Gless等，，明明确确提提出出70年代代末末，，取取得得重重大大进进展展。。三三大大主主导导流流派派：：加速速度度法法：：Ribbens-pavellaRUEP法：：Kakimoto，Athyetc.相关关不不稳稳定定平平衡衡点点法法RUEP——RelatedUnstableEquilibriumPointPEBS法：：势势能能界界面面法法PEBS——PotentialEnergyBoundarySurface80年代代以以来来：：单机机能能量量函函数数法法：：IMEF，1983结构构保保留留能能量量函函数数法法：：SPEF，1987EEAC法：：薛薛禹禹胜胜，扩扩展展等等面面积积法法，，1988EEAC——ExtendedEqualAreaCriteriaBCU法：：江江晓晓东东，，1991BoundaryofStabilitybasedControllingUnstableEquilibriumPointMethod基于于稳稳定定域域边边界界的的主主导导不不稳稳定定平平衡衡点点法法直接接法法的的简简单单类类比比：：，对于于一一个个滚滚球球系系统统，当滚滚球球系系统统无无扰扰动动时时，，滚滚球球位位于于稳稳定定平平衡衡点点SEP。受受扰扰后后，，滚滚球球位位于于高高度度h处时，其其速度为为v。设球的的质量为为m，则滚球球具有的的总能量量为当滚球到到达UEP点速度度v=0，这时滚滚球的总总能量为为Vcr称为临界界能量根据运动动学原理理，若关键：①如何对一一个实际际系统构构造一个个合适的的能量函函数。②如如何确定定与系统统临界稳稳定状态态相对应应的临界界能量，，从而通通过比较较判判别稳稳定性。。二、单机机无穷大大系统直直接法暂暂态稳定定分析XLXT2XT1若发电机机采用经经典数学学模型，，忽略原原动机和和调速器器动态，，忽略励励磁系统统的动态态，则系系统的数数学模型型可写为为：式中，为转子角角，为转子角角速度与与的的偏差M为发电机机惯性时时间常数数为机械输输入功率率为电磁功功率。受扰条件件假设为为：在t=0时线路II发生某种种短路故故障，时切除故故障线路路。故障障前、故故障期间间及故障障切除后后的电磁磁功率与与功角角的关系系如图PuSSoCPmPIPIIPIIIABC故障切除除瞬间的的动能可可表示为为：故障切除除瞬间，，系统的的势能定定义为以以故障切切除后系系统的稳稳定平衡衡点s为参考点点到故障障切除后后的点c的减速面面积，即即：从而，系系统在扰扰动结束束时的总总暂态能能量为：：将系统处处于不稳稳定平衡衡点u时，系统统以s点为参考考点的势势能作为为临界能能量，，则则：若，即面积积(A+B)<面积(B+C)或面积A<面积C则系统第第一摇摆摆稳定等面积定定则三、多机系统统直接法法暂态稳稳定分析析目标预想事故故条件下下的临界界切除时时间tcr步骤：①构造造故障后系统的Lyapunov函数或能能量函数数V(X)②对给定的的故障，，寻找V(X)的临界值值Vcr③对故障后后系统的的暂态方方程进行行仿真,直至V(X)=Vcr,对应时刻刻为tcr关键Vcr1.多机电力力系统暂暂态能量量函数经典模型型：发电机：：n+m个节点n个节点负荷：恒恒定阻抗抗网络：收收缩至发发电机内内节点电磁功率可可写为：：其中为发电机机的内电电势为仅保留留发电机机内电势势节点后后导纳短阵阵中的对对角元和和非对角角元对应的自自导纳和和互导纳纳。暂态稳定定研究的的是发电电机相对对运动，，需确定定参考坐标的相相位角。。①MAR坐标（machineanglereference）以第n台发电机机为参考考机②COI坐标（centerofinertia）以系统惯惯性中心心为参考考定义：这里，并满足足COI坐标下，定义新新的发电电机转子子角度和和角速度度显然，，COI坐标下下发电机机转子子运动动方程程为：：其中推导利利用了了关系系式：：能量函函数推推导:为简化化起见见，将将由变变量所所组成成的矢矢量表表示为为（）），也也表示示为状状态空空间的的点。。对于于故障障切除除后系系统的的稳态态平衡衡点和和不稳稳定平平衡点点，可可由下下式中中的右右端项项等于于零来来确定定，即即其中稳稳定平平衡点点用表表示不稳定定平衡衡点用用表表示示多机系系统的的暂态态能量量函数数实际际上是是单机机无穷穷大系系统中能量量函数数的一一种推推广，，即定定义为为：推导利利用了了关系系式：：注记能量函函数由由三部部分组组成：：动能项项势能项项（转子子位能能与电电磁储储能））耗散项项—与积分分路径径有关关，近近似以以线性性路径计计及或或忽略略②函函数正正定性性无法法确定定与单机机系统统类似似，系系统的的临界界能量量将由由不稳稳定平平衡点点（））处处的暂暂态势势能决决定，，即：：多机电电力系系统在在故障障后，，系统统暂态态稳定定的判判据为为：2.稳定域域估计计经典法法：又称称ClosestUEP法。求求出全全部UEP，共有（（2n-1-1）个。。每一一个失失稳模模式对对应一一个临临界势势能，取最最小者者作为为Vcr，十分分保守守，耗耗时。。不稳定定平衡衡点UEP经典法法没有有考虑虑故障障地点点对稳稳定的的影响响，因因而十十分保保守，无法法实用用。研究表表明，，对于于一特特定故故障，，在所所有种种失失稳模模式中中，必必有一一种是是真正正合理理的，，即系系统以以这种种模式式趋于于失稳稳。由由于这这种模模式所所对应应的与与故障障地点点、故故障类类型等等有着着紧密密的关关系，，因此此，在在以后后的研研究中中提出出了RUEP法等方方法为为暂态态能量量函数数法稳稳定分分析向向实用用法迈迈进了了一大大步。。加速度度法在t=0时刻求求各发发电机机的加加速度度②设设第i台发电电机加加速度度最大大，选选取近近似临临界能能量③仿仿真受受扰动动态方方程至至，，重新新计算算加速速度并并排列列。④仿仿真受受扰动动态方方程至至RUEP法又称CUEP法。RUEP—RelatedUnstableEquilibriumPointCUEP—ControllingUnstableEquilibriumPoint不稳定平平衡点UEP是方程的解。一般用Newton法求稳定平衡衡点SEP，仅一个个。用DFP法求不稳稳定平衡衡点UEP较合适。。即求标标量函数数：RUEP法步骤：：（1）对于给给定的故故障情况况，沿系系统持续续故障轨轨迹求出使函函数取取极大值值时的转转子角度度，并将它表表示为（2）由形形成一个个指向UEP的向量并规格化为为方向向向量h（3）从出发，沿沿h方向求解解一维极极小化问问题，即其中（4）以为起点，，用DFP法求解（5）仿真受扰扰动态方方程至PEBS法思路：对对复杂系系统寻求求一种低低维系统统的稳定定边界，，从空空间转转向子子空间间，即在在角度空空间寻求求势能最最大的点点，作为为Vcr的一种估估计。在空空间，是是一一族曲面面（线）），可以以映射到空空间间，并转转换成的的一族曲面面（线））—等势面（（线）PEBS定义通过各UEP，并和等势面（（线）正正交，从从而反映映Vp梯度方向向的曲面面。性质在PEBS内在PEBS上在PEBS外持续故障障轨迹与与PEBS相交的点点接近RUEP，且此时时与RUEP法的区别别：Vcr的确定。。单机无穷穷大系统统：PEBSRUEP在上上，多机系统统：RUEP难求，于于是在持续故障障轨迹上上搜索Vp最大的点点VcrPEBS法步骤：：（1）对于给给定的故故障情况况，沿系系统持续续故障轨轨迹计算每一一时段的的Vp。（2）求Vp的最大值值。①比较较与与前一一时段之之值，，若，，用用插值法法求出最最大的Vp②在每一时段段，计算算，，直至至，认为此此时的Vp最大（3）仿真受扰扰动态方方程至SEP0SEPRUEP持续故障障轨迹临界故障障轨迹tcrPEBSBCU法是Chiang等提出的的基于稳稳定域边边界的主主导不稳稳定平衡衡点方法法。用来来改进对对RUEP的识别。。该方法法先按持持久故障障轨迹积积分，直直到故障障中的角角度矢量量和故障障后的功功率失配配矢量的的内积改改变符号号为止；；然后从从该点开开始，对对一组梯梯度动态态方程积积分，并并搜索梯梯度最小小的点；；再以后后者为起起点用一一般方法法计算RUEP。BCU法是PEBS方法与主主导不稳稳定平衡衡点方法法的结合合。BCU法可以避避免给出出临界能能量的错错误估计计,改进了PEBS方法法,但仍仍然然没没有有克克服服其其保保守守性性。。ChiangH,WuFF,VaraiyaPP.ABCUMethodforDirectAnalysisofPowerSystemTransientStability.IEEETransonPWRS,1994,9(3)与PEBS法的的区区别别：：是一一种种改改进进的的PEBS法。。BCU法主主要要是是利利用用相相关关UEP处的的势势能能作作为为Vcr，而而PEBS法则则是是使使用用逸逸出出点点