河南平顶山许昌济源2021-2022学年高三第三次测评数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。设i为虚数单位，则复数z 21i

在复平面内对应的点位( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限xy10若x，y满足约束条件xy30，则的最大值是（ ）x209A． B．3 292 2

C．13 D．13已知命题p：xR，x2x10；命题q：R，x22x，则下列命题中为真命题的是（ ）A．pq B．q C．pq D．pq已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（ ）sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．c1＜c1b a某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数绘制如下折线图那么下列叙述错误的是( )各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中,2C10°C5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋6．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)可以为（ ）f(x)

x33 x

f(x)

exexx

f(x)

2xx

f(x)

e|x|x已知复数z满足z1，则z2i的最大值为（ ）A．23 B．1 5 C．2 5 D．6已知各项都为正的等差数列

an 2

aa3

15a1

2，a3

4，a6

16成等比数列，则a10

（）A．19设抛物线Cy2

B．20 C．21 D．222px(p0)的焦点为F,抛物线C与圆C:x2(y 3)23交于M,N两点若|MN| 6则MNF 的面积为( ) 8

38

3 28

3 24某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）8A．8 B．3

4C．4 D．311．若向量m(0,2)，n( 3,1)，则与2mn共线的向量可以是（ ）A．( 3,1) B．(1, 3) C．( 3,1) D．(1, 3)已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）Am⊥α，n//αm⊥nC．若l⊥α，l//β，则α⊥β

B．若m//α，n//α，则m//nD．若α//β，lβ，且l//α，则l//β二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1y4x2

的单调增区间为 .x已知

n

nan 1

6，a a3

0S6

= .已知数列

满足

na

2n

．n 1 2 3 n n在△ABC中，(ABAC)⊥BC(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．6三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。117（12分）已知函数f(x)（1）fx的单调性；

ax2(1a)xlnx,aR.2若a(,1gxxex

xlnxa1

(0,2]，x2

(0,fx1

gx2

2ln2.18（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1

xacosybsin

ab0

为参数，在以O为极点， 2xC

M1,2对应的2

1 参数

，射线4

与曲线C3

交于点D1, ．3 3求曲线CC1 2

的直角坐标方程；若点A，B为曲线C上的两个点且OAOB，求 1 + 1

的值．1 |OA|OB19（12分）已知函数f(x)e

x2

2ab（xR）x0ybx（e为自然对数的底数）求ab的值；kZf(x

(3x25x2k0xR恒成立，求k的最大值.220（12分）100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．质量指标[15,20)质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计频数218481416210052件为合格品的概率；甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22列联表，并判断是否有甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计K2

bc)2 nabcd， (ad)(ad)， PPK2k00.1500.1000.0500.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.879021（12分已知椭圆G

x2a2

y2b0)上顶点为B(0,1)离心率为 直线l:ykx2交y轴于C点，2b2 22PQBPBQxMN．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求证：S S 为定值．△BOM △BCN22（10分）10020元；方案二：满100元可抽奖一次具体规则是从装有22个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款7折8折9折原价10078折优惠的概率；180元，选择哪种方案更划算？参考答案125601．A【解析】利用复数的除法运算化简z，求得z对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】

21iz21iiz21i

1

，对应的点的坐标为

，位于第一象限.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.2．C【解析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】

xy10表示可行域内的点(xy到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由x20y3x

即A2,3点A2,3到坐标原点(0,0) 的距离最大，即(x2y2

max

(2)23213．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．3．B【解析】px【详解】p可知1240，所以xRx2x10故命题p为假命题

q的真假，最后根据真值表，可得结果.命题q：x3，可知3223所以Rx22x故命题q为真命题所以q故选：B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.4．B【解析】根据函数单调性逐项判断即可【详解】A,sinasinbB,y＝cxa＞bca＞cb，正确对C,因为y＝xc为增函数故acbc ，错误；D,B．【点睛】

c 1在0,为减函数，故c bc bc a，错误本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．5．D【解析】根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；C1月，2月，3月，11月，125C正确；D2018712月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.6．A【解析】f(x)为奇函数，以及函数在0,上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】

exex首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，f(x) 为偶函数，不符合题意，排除B；x其次，在剩下的3个选项对其在0,上的零点个数进行判, f(x)

e|x|x

在0,上无零点,不符合题意，排除D；然后对剩下的2个选项进行单调性判断, f(x)故选：A．【点睛】

x在0,上单调递减,不符合题意，排除C.x本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．7．B【解析】设zabi,a,bR，z2i (a2)2(b1)2，利用复数几何意义计.【详解】zabi,abRa2b21，所以点(ab在单位圆上，而z2i(a2)(b1)i|= (a2)2(b1)2，(a2)2(b1)2表示点(a,b)到(2,1)的距离，故z2i (2)21211 5.B.【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|z2iz||2i|来解决8．A【解析】试题分析：设公差为d,a2

aa3

3a3

15a3

a2d5a1 11

52d(a1

2)(a1

5d16)(72d)(3d21)812d27d220d2d考点：等差数列及其性质.9．B

（舍）2

，故选A.【解析】由圆C过原点知M,N中有一点M与原点重合作出图形由 3，MN 6得，MN

NpF点坐标，从而得三角形面积．4【详解】由题意圆C过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M，如图，由于 3，MN 6，∴，∴4

，NOx，4∴点N坐标为( 3, 3)，代入抛物线方程得( 3)22p 3，p 3，2∴F( 3,0)，S

1MFy

1 3 33．4故选：B.

FMN 2

N 2 4 8【点睛】O点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．10．D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，∴四棱锥的体积为V12224.3 2 3【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.11．B【解析】先利用向量坐标运算求出向量2mn,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】m2,n3,12mn3,33

3 3 3故选B【点睛】属于基础题不可错位.12．B【解析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性由线面平行有关知识判断B选项的正确性垂直的判定定理，判断C选项的正确性根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【详解】n/，则在中存在一条直线l，使得l//n,

m, lml，又l//n，那么mn，故正确；m/

n//，则m//n或相交或异面，故不正确；C．若l//，则存在a，使l/，又l, a，则，故正确．D．若//，且l/，则l或l//，又由l, l//，故正确故选：B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.245201312 【解析】先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的x的集合，从而可得函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为0,.y8x

18x31，x2 x2y0x11. 22 221. 2 2【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.14．1【解析】试题分析：因为

是等差数列，所以a

0，即

0

a3d6，所以d2，n 3 5 4 4 4 1S6

6a1

15d6615(2)61．【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量，，， ， 中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式前项和公式列出关于基本量的方)来求余下的两个量计算时须注意整体代换思想及方程思想的用.15．

2,n12n11nn

,n2【解析】项和转化可得na n

2n12n1(n2)，讨论n1是否满足，分段表示即得解【详解】n1时，由已知，可得a1

2，∵a2a1 3

nan

2n，①故a2a1 3

n

2n1n2，②由①-②得na n

2n

2n1，∴a n

2n1n ．显然当n1时不满足上式，2,n1∴a 2n11nn

,n22,n1

2n11nn

,n2【点睛】Sa.n n16．1【解析】BC进行转化，用表示cosA，利用基本不等式可求实数的值.【详解】(ABAC)(ABAC)c2b2(cosA0cosA

b c 2 ( )

，解得＝1．31 c b 1 23故答案为：1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.7017（）（）.【解析】（1）f'x

1x1x

x0

a01a0aa1四种情况讨论即可；（2）问题转化为fxmin

gxmin

2ln2fx

g(x)min

即可证明.min【详解】（1）f'x

ax

a

1ax1x1x x

x0.①当a0ax10当0x1fx0；当x1时，fx0，所以，fx在0,1上是减函数，在1,上是增函数. 1 ②当1a01

1，

axa

x1.a当0x1f'x0

f'x

x当1x1a

f'x0；x1a

时，f'x0，所以，fx在0,1上是减函数，在1,1上是增函数， a a在1,上是减函数.aa③当a1

f

x

x2 0，xfx在上是减函数.④当a1时，11，a当0x1fx0；a1x1fx0；a当x1时，fx0，所以，

fx在0,1上是减函数， a a在1,1上是增函数，在1,上是减函数. a （2）由题意，得fxmin

gxmin

2ln2.由（1）a1x0,2fx

1,

2， f1f2ln1

min11ln2.

a a

a 2a hxlnx1x1ln2x0,1hx

x204e2 2x4ehx在上是减函数，有hxhln212

ln 0，

1f2fxa a

f22ln2.gxxexxlnxa，x0,，g'xx1ex

1，xx令Gxex1，显然Gx在上是增函数，xe2且G1e2

20，Ge10，x1,1使G

ex010，0 2 0 x0gx在x0

上是减函数，在x0

,上是增函数，gxmin

gx0

x0

ex0x0

lnx0

a1a0，所以gxmin

2ln21a2ln22ln2，所以fxmin

gxmin

2ln2，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.x218（） y21x2

x

y2

1（）32 2【解析】先求解a,b，消去参数，即得曲线C1

的直角坐标方程；再求解R，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线C 的直角坐标方程；2由于OAOBA,B

，代入曲线

,的关系，转化21 2 1 1 221 1

11

cos2

sin2sin2

cos2 . ，可得解|OA|2 |OB|2 2 2 2

2 1 2【详解】22 22

xacos将M1, 及对应的参数

4ybsin acos4得

a2，即 ，2 2bsin

b12 4C

x 2cos 所以曲线1的方程为ysin

，为参数，所以曲线C1

的直角坐标方程为 y21．x22x2设圆CR，由题意，圆C的极坐标方程为2 22Rcos（或xR2y2R2，D1,2Rcos，得12Rcos

R1， 3 3 所以曲线C的极坐标方程为2cos，2所以曲线C的直角坐标方程为x2y21．2由于OAOBA,B

,1 2 2代入曲线C21

直角坐标方程，2cos2可得12

2sin211

2sin222

2cos21，2所以 1 1 11|OA|2 |OB|2 2 21 2 cos2 sin2 sin2 cos2 ． 2 2 2【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对f(x)求导得fxex

2xf(x)x0ybx，列出方程组，即可求出ab（）由（）可得fxexx21，根据fx13x25x2k0对任意xR恒成立，等价于2kex1x25x1xR恒成立，构造hxex1x25x1，求出hx的单调性，由h00，2 2 2 20h10h30x

1,3，使得hx

0，利用单调性可求出 2 4

0 2 4 0hxmin

hx0

，即可求出k的最大值.（1）fxexx22ab，fxexf012ab0a1

2x.由题意知

f01b

b1.（2）由（1）fxexx21，∴fx13x25x2k0对任意xR恒成立21 5ex x2 x1k0xR恒成立1 2 1 kex x2 x1xR恒成立.2 2hxex1x25x1hxexx5.2 2 2'xex10，所以hxR上单调递增.h030

h1e30

h1e1

2

h3e3

71370又 2 ，

2 ，2 2

，4

4 ，4 4 4

13hx

0x,

x0x

,x0.即hx 0 2 4 0 0 0在x1 1

单调递减，在x0

,上单调递增.hx

h

ex

x2

1.0min 0

2 0 2 00e0又hx0，即exx50，∴ x 5x.0e010 0 2 2 11 ∴hx5x x2 x1 x27x1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0∵x1,3，∴hx27,1.0 2 4

0 32 8 kex

1x25x1xRkhx，2 2 0kZ，∴

1.max.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20（）0.008（）见解析，保留乙生产线较好．【解析】(1)52件为合格品5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出K2的观测值即可判断.【详解】（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：0.03250.08050.03250.03650.9．设AApp0.9．那么52件为合格品5A2次，C2p2(1p)35（2）22列联表：

0.0081．甲生产线乙生产线合计合格品9096186不合格品10414合计100100200200(9049610)2K2的观测值k 2.76518614100100∵2.7652.706，P22.7060.100，∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由（1）知甲生产线的合格率为0.9，乙生产线的合格率为184814160.96，100∵0.960.9，∴保留乙生产线较好．【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.SS1BCN 221（Ⅰ） y21（Ⅱ）2

BOM

，证明见解析．【解析】（Ⅰ）根据题意列出关于abc的方程组，解出abc的值，即可得到椭圆G的方程；y1 x（Ⅱ）设点P(x1

，y)，点Q(x1

，y)，易求直线BP的方程为：y1 12 x1

xy0xM

1 ，同理可得1y1xx 2 ，所以xN 1 y2S1S1BCN 2SBOM

1|xM

| |x2

|4 93k(x

1212x)k2x

|，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，【详解】

．SS1BCN 2

1 2 122b1 a222c（Ⅰ）解：由题意可知：a

，解得b1 ，2 c1a2