2022-2023学年浙江省宁波金兰教育合作组织高一年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年浙江省宁波金兰教育合作组织高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合，则的子集有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D【分析】根据集合间的关系确定子集，即可得的子集个数.【详解】解：∵集合，∴的子集有.则的子集有4个.故选：D.2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．B【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】对于函数，则有，解得且，所以函数的定义域为，故选：B.3．下列各图中，不可能是函数图象的是（

）A． B．C． D．D【分析】根据函数的定义，可得答案.【详解】D选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.故选：D4．设，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B【分析】由包含关系判断即可.【详解】不等式：，所对集合为，不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t分钟后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一个的物体，放在的空气中冷却，2分钟后物体的温度是，那么4分钟后该物体的温度是（

）A． B． C． D．A【分析】由题意可求得，从而可求得时的温度.【详解】因为，则，得，所以4分钟后该物体的温度：.故选：A.6．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．C【分析】根据分数指数幂的运算和指数函数的单调性可得、，即可求解.【详解】∵，所以，又∵，即，因此，.故选：C.7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元超过但不超过的部分6元超过的部分9元若某户居民本月缴纳的水费为99元，则此户居民本月的用水量为（

）A． B． C． D．A【分析】由题可得水费与用水量的解析式，进而根据水费即可求得用水量.【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，则，整理得：，当时，，当时，，因此，由得：，解得，所以此户居民本月的用水量为.故选：A.8．已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（

）A． B． C． D．C【分析】由题可知时与时函数值域相等，据此可得，从而可根据求得，进而求得.【详解】设当时，的值域为A，当时，的值域为B.则根据题意可得，当时，在上单调递增，则，即，则，∵，即且，则，故选：C.二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．函数在其定义域内是减函数B．命题“，”的否定是“，”C．函数与是同一个函数D．、、为任意的实数，若，则BD【分析】利用反比例函数的单调性可判断A选项；利用存在量词命题的否定可判断B选项；利用函数相等的概念可判断C选项；利用不等式的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，函数在定义域上不单调，A错；对于B选项，由存在量词命题的否定可知，B对；对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数与不是同一个函数，C错；对于D选项，因为，由不等式的性质可得，D对.故选：BD.10．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（

）A．的最大值为1 B．在区间上单调递减C．的解集为 D．当时，ABC【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可.【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时所以当时，，故D错误；当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.故选：ABC.11．设正实数x，y，满足，则（

）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为4ACD【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.【详解】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.故选：ACD.12．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“类增函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（

）A．若为“类增函数”，则B．若为“类增函数”，则不一定是增函数C．函数在上是“类增函数”D．函数在上不是“类增函数”（表示不大于x的最大整数）CD【分析】对A选项通过条件及赋值得到，对B通过构造函数即可判断，对C举反例，通过计算即可判断，对D选项，显然取整函数满足条件（1），通过设字母，将分整数与小数部分即可证明，即可判断.【详解】对于A，若函数为“类增函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；对于B，若，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法正确；对于C，当时，，不满足条件（2），所以不是“类增函数”，故C说法错误；对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“类增函数”，故D说法错误.故选：CD.关键点睛：本题为新定义函数，对于A,B选项通过合理赋值即可求出，而从B,C选项的判断可以给我们一些启示，对于一些新定义问题，我们可以通过举一些正例或是反例来判断选项，本题C选项和D选项融合了另外两个常考的新定义函数，狄利克雷函数与高斯取整函数，而C选项我们通过举例两个无理数即可反驳，D选项的难点在于其证明，其关键点在于我们需要设出数的正数部分与小数部分，结合分类讨论这样得到与，的关系.三、填空题13．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则______.【分析】由奇偶性和单调性即可确定.【详解】由题知幂函数是奇函数，故或或，又在上单调递减，则，故，即，所以.故答案为.14．若“”是假命题，则实数的取值范围是______.【分析】根据题意可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】解：∵“”是假命题，∴，为真命题，即在上恒成立，当时，，当且仅当时，等号成立，所以.故答案为.15．已知函数的图象关于y轴对称，且关于x的方程有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数______.（答案不唯一，只需满足即可）【分析】根据函数得对称性可求得，再根据方程有两个相等的实根，利用根的判别式可求得的关系式，从而可得出答案.【详解】解：已知，∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，则方程即为，即，∴，∴，当时，，∴满足条件的二次函数可以为.故答案为.（答案不唯一，只需满足即可）16．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为______.【分析】由题意可知函数的单调性，分离常数即可得取值范围.【详解】由题意为增函数，故，解得.又根据题意可得对恒成立，故在恒成立.由对勾函数性质可知：函数在区间上为增函数，故，由可得在区间上恒成立，所以，综上有，即m的取值范围为.故答案为.四、解答题17．化简下列各式：(1)；；(2)若.求.(1)(2)【分析】（1）根据根式与指数幂的关系，集合指数运算法则计算即可；（2）根据指数与对数之间的关系，将指数式化为对数，结合指数运算及对数恒等式即可.【详解】（1）解：.（2）解：，则，所以.18．设全集为，集合.(1)若，求；(2)在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.(1)或(2)【分析】（1）解出或，集合，利用交集和补集的含义即可.（2）首先得到，然后分和两种讨论即可.【详解】（1）解：因为全集为，且或，当时，，所以或∴或.（2）解：选择①②③，均可得.当时，，解得；当时，或，解得或，即.综上所述，实数的取值范围是.19．设函数.(1)若不等式的解集，求的值；(2)当时，设，满足是对任意，都有成立，求实数b的取值范围.(1)(2)【分析】（1）由不等式的解集结合韦达定理即可求解；（2）根据题意可知是R上的单调递增函数，只需每一段都是单调递增，且在临界点处满足“左不高于右”即可.【详解】（1）由题意可知：为方程的两个根，，解得：，即.（2）由已知得：，因为对任意，都有成立所以是R上的单调递增函数，∴解得.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.(1)(2)线上直播150小时可使y最小为35万元【分析】（1）由得出，再由该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和得出y关于x的函数关系式；（2）由基本不等式求解即可.【详解】（1）由题得，当时，，则，故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为（2）由（1）知，当且仅当，即时等号成立，即线上直播150小时可使y最小为35万元.21．已知函数.若为奇函数.(1)求实数m的值；(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；(3)若成立，求实数t的取值范围.(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）利用得到关于的方程解出即可；（2）对，且，，最后判定符号即可得到其单调性；（3）分离常数，，再求出值域，即可得到，最后，解出范围即可.【详解】（1）因为为奇函数，且由得所以，即.∴∴，∴（2）由（1）得，在上为递减的函数.设对，且，则∵，且，∴，∴∴，即，所以在上单调递减.（3）由题意得，因为而∵，∴∴，（令，则∴或）∴所以，∴.22．已知函数.(1)当时，求的值；(2)当时，求不等式的解集；(3)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.(1)0(2)(3)【分析】（1）直接代入，证明函数为偶函数即可；（2）将代入，分和两种讨论即可；（3）将原不等式转化为（*）对任意的恒成立，去绝对值分类讨论，所以分为，和讨论即可.【详解】（1）当时，，所以任取，则有恒成立，即为偶函数，∴.（2）当时，，∴或∴或∴或，所以不等式的解集为（3）不等式化为即：（*）对任意的恒成立因为，所以分如下情况讨论：①时，不等式（*）化为恒成立即对恒成立∵的对称轴为，故其在上单调递增，只需，∴②当时，不等式（*）化为恒成立即对恒成立.由①知，∴在上单调递减∴只需