2022-2023学年河南省巩义市重点校高二年级上册学期第四次考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省巩义市重点校高二上学期第四次数学试题一、单选题1．抛物线的焦点到准线的距离是（

）.A． B． C．2 D．4B【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，故选：B2．直线与直线平行，那么的值是（）A． B． C．或 D．或B【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得：，故选：B.3．若双曲线的一个焦点为，则（

）A． B． C．0 D．3A【分析】由题意可得，解之即可得出答案.【详解】解：因为双曲线的一个焦点为，所以，解得.故选：A.4．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（

）A． B． C．2 D．B【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.【详解】.故选：B5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为（

）A． B．C． D．D【分析】根据椭圆的定义，可得，求得，再由离心率为，求得，进而得到，即可求得椭圆的方程，得到答案.【详解】因为△AF1B的周长为12，根据椭圆的定义，可得，即，又由离心率为，即，因为，所以，则，所以椭圆C的方程为.故选：D.本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑的屋顶为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧棱长为2，且与底面所成的角为，则此正六棱锥的体积为（

）A． B． C． D．A【分析】由题意分别求得锥体的底面积和高度，然后计算其体积即可．【详解】解：将原问题抽象为如图所示的正六棱锥，设底面的中心为，连结，，由题意可得，则，即六棱锥的高，六棱锥的底面是由6个边长为的等边三角形组成的，从而其体积．故选：A．7．如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（

）A． B．C．1 D．2D【分析】根据题意可得，利用两点的坐标求出直线BA、PO的斜率、，根据可得，化简计算即可.【详解】由题意知，，则点，所以直线BA的斜率为，直线PO的斜率为，由，得，所以，即，又，所以，所以焦距为.故选：D8．现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是（

）A．这个多面体有8个面和12条棱B．这个多面体有6对棱互相平行C．这个多面体有4对面互相垂直D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上C【分析】通过数数可以判断A；通过线线平行的证明可以判断B；算出面面之间的夹角即可判断C；根据O到八个顶点的距离即可判断D.【详解】由题意，多面体是一个八面体，且棱长均为2，如图1，通过数数可知A正确；因为，由勾股定理易得，所以与全等，则，由于，所以四点共面，于是.同理可得：，故该八面体有6对平行棱，故B正确；对C，如图2，根据该八面体的对称性，只考虑面ABC与其它面的情况，分别取AC,BC,DE的中点M,N,P，过点A作BC的平行线l，容易判断l为面与面的交线.易知均垂直于AC，则是二面角的一个平面角，易知，所以，即面与面不垂直，根据对称性，面与面不垂直.易知均垂直于l，则是二面角的一个平面角，易知，所以，即面与面不垂直.而由B中推理可知，所以面面，同理面面，面面，面面，则面与该八面体其它各面均不垂直.根据对称性可知，该八面体不存在两个面互相垂直，故C错误；对D，因为O到八个顶点的距离均为，则该多面体所有的顶点在一个半径为的球面上，所以D正确.故选：C.9．以下四个命题正确的有（

）A．直线的倾斜角为B．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于C．直线关于原点对称的直线方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为B【分析】求出直线的倾斜角，可判断A选项的正误；求出圆上的点到直线的距离等于的点的个数，可判断B选项的正误；求出直线关于原点对称的直线方程，可判断C选项的正误；求出经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，A错；对于B选项，设与直线平行且与直线之间的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，圆上的点到直线的距离等于的点的个数即为直线、与圆的公共点的个数之和，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相交，直线与圆相切，故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B对；对于C选项，直线关于原点对称的直线为，在直线上任取一点，则点关于原点的对称点在直线上，则有，即，因此，直线关于原点对称的直线方程为，C错；对于D选项，若所求直线过原点，可设所求直线的方程为，则，此时，所求直线的方程为，若所求直线不过原点，可设所求直线的方程为，则，此时，所求直线的方程为.综上所述，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D错.故选：B.10．正方体中，、、、分别为、、、的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．平面平面C．平面 D．向量与向量的夹角是60°D【分析】通过线面垂直的判定和性质，可判断A选项，通过线线和线面平行的判断可确定B和选项C，建立空间直角坐标系利用向量夹角公式求向量与向量的夹角，可判断选项D.【详解】解：因为，，，平面，所以平面，又、分别为、的中点，所以，所以平面，平面，所以，故A正确，连接和，、、、分别为、、、的中点，可知，所以、、、四点共面，所以平面平面，故B正确；由题知，可设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，则所以，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，平面，所以平面，故C正确；因为向量与向量的夹角为，则，又，所以，故D错误，故选：D.11．已知椭圆上有一点，、分别为其左、右焦点，，的面积为，以下4个结论：①若，则满足题意的点有个；②若，则；③的最大值为；④若是钝角三角形，则的取值范围是．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．C【分析】求出满足条件的点的坐标，可判断①的正误；推导出焦点三角形的面积公式，可判断②的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断③的正误；求出当是钝角三角形，的取值范围，可判断④的正误.【详解】在椭圆中，，，则，则、，设点，，设，，则，且，，，因为，则，且，.对于①，，则，所以，，可得，所以，满足条件的点的坐标为、、、，共个点，①对；对于②，若，则，②对；对于③，的最大值为，③对；对于④，若为钝角，则，，此时且，则，由可得，则，由对称性可知，当为钝角时，，综上所述，当是钝角三角形，则的取值范围是，④错.故选：C.12．过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（

）A． B．6C．8 D．A【分析】根据题意设点在直线上，可得点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O的方程得出直线AB的方程，进而可得直线AB恒过定点，将问题转化为求点C、N之间的距离，结合圆C的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果.【详解】由题意知，设点在直线上，则，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则，所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：，又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为，即，因为，所以，所以，当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点，所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径，又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为.故选：A二、填空题13．若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为______．【分析】利用斜率计算公式即可得出．【详解】解：由题意可得：，解得，故．14．平面α的法向量是，点在平面α内，则点到平面α的距离为___________.【分析】直线与平面所成的角为，根据点到平面α的距离为即可得解.【详解】解：设直线与平面所成的角为，，则点到平面α的距离为.故答案为.15．点到点的距离比它到直线：的距离小，则点满足的方程是___________【详解】因为点到点的距离比它到直线：的距离小，所以点到点的距离与它到直线：的距离相等，由抛物线的定义可知点的轨迹是以点为焦点的抛物线，其中．点满足的方程是．知一动点到一定点和一定直线的距离关系，求动点的轨迹方程，应联系抛物线的定义．求动点的轨迹方程应注意特殊曲线的定义．16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截切，两个球分别与截切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为_______________．0.75【分析】作出截面，结合图像先在中求得，进而求得，再在求得，从而求得，又由为椭圆的一个焦点，得到，故得，由此椭圆的离心率可求.【详解】依题意，作截面，如图所示，圆是内切圆，圆切于，切于，，圆半径即球半径为，所以，，则在中，，所以，故在中，，所以，即，根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点可知：为椭圆的一个焦点，又因为，所以，故，所以该椭圆的离心率为.故答案为..三、解答题17．已知直线.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.（1）（2）或.【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，可求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出直线方程；（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式即可求出．【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为，即.（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以，解得或.故直线的方程为或.本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．已知圆和点.(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；(1)或(2)【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解；（2）根据垂径定理和弦长公式求解即可.【详解】(1)（1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；

当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为综上切线的方程为或.(2)点到直线的距离为，∵圆被直线截得的弦长为8，∴，∴圆的方程为.19．已知正三棱柱的底面边长为2，D是的中点，(1)求三棱柱的体积(2)求直线与平面所成角的正弦值(1)(2)【分析】（1）利用空间向量互相垂直的性质，结合空间向量数量积的运算性质、三棱柱的性质和体积公式进行求解即可；（2）利用三棱锥的等积性，结合线面角的定义进行求解即可.【详解】(1)因为，所以，因此，因为是正三棱柱，所以，平面，而平面，因此，所以有，设，D是的中点，所以，于是有：，舍去，三棱柱的体积为：，(2)设平面，设，取的中点，所以，所以，因为平面平面，而平面平面，因此平面，由，由勾股定理可知中：，，因为，所以四边形是正方形，故，所以有，在正方形中，设，D是的中点，，因为平面，所以是直线与平面所成角，所以.20．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；(3)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．(1)(2)x＝2或(3)【分析】（1）由条件可判断出抛物线的焦点在y轴正半轴，然后求解即可；（2）分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论即可；（3）设点，然后由点差法得到，即，然后可得答案．【详解】(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，将点代入可得，所以，所以抛物线的标准方程为，(2)当直线斜率不存在时，过点的直线与抛物线有一个交点；当直线斜率存在时，设直线斜率为，直线方程为由得，直线与抛物线只有一个交点，所以，解得，所以直线方程为综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线方程为和；(3)设点，直线斜率为点在抛物线上，所以所以，即，所以直线方程为经检验，直线符合题意.21．如图，在梯形ABCD中，，，，现将△ADC沿AC翻折成直二面角.(1)证明：；(2)记△APB的重心为G，若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，在侧面PBC内是否存在一点M，使得平面PBC，若存在，求出点M到平面PAC的距离；若不存在，请说明理由.(1)证明见解析(2)存在，【分析】(1)如图，取的中点，连结，根据题意可得，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质即可证明；(2)如图，取的中点，连结，由题意以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，表示出各点和线段的坐标，利用异面直线夹角的向量法得出的值，进而得到重心坐标，假设在侧面PBC内存在一点M，设，利用线面垂直的性质求出，即可得出结果.【详解】(1)取的中点，连结.∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，即，又平面平面，且两平面的交线为，∴平面，又平面，∴.(2)