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文档简介

一、二次型及其对称矩阵二、二次型的标准形§4.3二次型及其标准形

三、用正交变换化二次型为标准形四、用配方法化二次形为标准形一、二次型及其对称矩阵

二次型

记

n

阶对称阵A

(aij),x(x1,,xn)T,则有表示式

称对称阵A

为二次型f(x)的矩阵.

称二次型f(x)为对称阵A

的二次型.

称秩R(A)为二次型f(x)的秩.二、二次型的标准形

在解析几何中,为了便于研究二次曲线的几何性质,可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形二、二次型的标准形

化二次型为标准形

寻求一个可逆线性变换

x=

Cy,使二次型f(x)化为只含y1,,yn

的平方项的形式:

称y

的表达式为二次型f(x)关于y的一个标准形.

如果k1,,kn

只在1,-1,0三个数中取值,则称规范形.

当变元从x

变换为y

时,二次型f

的矩阵从

A

变为

合同矩阵

设A,B

为两个n

阶矩阵,若存在可逆矩阵C,使则称矩阵A

与B合同.

矩阵的合同具有反身性、对称性和传递性.

对称阵的合同阵也为对称阵.

可逆线性变换不改变二次型的秩.

合同变换不改变矩阵的秩.

二次型的标准化问题,也即对称阵的合同对角化问题.

二次型的标准形中含有的项数,就是二次型的秩.

当变元从x

变换为y

时,二次型f

的矩阵从

A

变为

对称阵合同对角化的初等变换解法例1

求一可逆线性变换

x=Cy,化如下二次型为

y的标准形.行变换相应列变换解二次型f(x)的矩阵为所以可逆线性变换x=Cy,其中将所给二次型化成标准形三、用正交变换化二次型为标准形

定理

设

A

为对称阵,则存在正交阵P,使其中

L

为对角阵,以A的特征值为对角元素.

设二次型f(x)=

xTAx,则存在正交阵P,使其中l1,,ln

是A的特征值.令

x=

Py,则f(x)的法式(标准形)例2

求一个正交变换

x=

Py,化二次型为

y的标准形.解二次型f(x)的矩阵为由§4.2节例1,求得正交阵使取正交变换x=Py,则

二次曲面2xy

2xz2yz1通过正交变换化为标准方程此方程表示一旋转双叶双曲面.

因为正交变换保持几何形状不变,所以二次曲面也是一旋转双叶双曲面.四、用配方法化二次型为标准形

用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,但正交变换的算法较繁琐.

如果只考虑二次型的代数特点,我们可以更一般地讨论,用可逆线性变换化二次型为标准形.

拉格朗日(Lagrange)配方法

如果有xi

的平方项,则把含xi的所有项归并配方;

如果没有平方项,则把x1xi

化为其中令解令即就将所给二次型化成标准形例3

求一个可逆线性变换

x=

Cy,化二次型为

y的标准形.例

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