2023年新高考数学大一轮复习真题源大题分类讲义之专题03 裂项相消法求数列的前n项和（解析版）

3.裂项相消法求数列的前项和一．边角问题【例1】（2017年·全国卷）设数列满足.（1）求的通项公式（2）求数列的前项和．【解析】（1）数列满足时,∴，∴，当时,,上式也成立，∴.（2），∴数列的前n项和.【方法技巧】1.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．2.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)，eq\f(1,anan＋2)＝eq\f(1,2d).3.记住常用的裂项公式(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2).(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).二．结构不良问题【例2】（黑龙江省双鸭山市第一中学2021-2022学年高三上学期期末）已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：①；②是等差数列；③（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；（2）利用（1）中的条件，证明数列的前项和.【解析】（1）将①②作为条件，③作为结论；设等差数列的公差为，则由得，，解得，因为，所以等差数列的通项公式为.所以，所以，又因为，所以，即证；所以③成立；将①③作为条件，②作为结论；由及，得，联立，解得，所以，所以，所以数列是以首项为，公差为1的等差数列.所以②成立；将②③作为条件，①作为结论；设等差数列的公差为，则，，由，得，解得，所以等差数列的通项公式为.所以，即证，所以①成立；（2）由（1）知，，所以，因为数列的前项和为，所以，当时，，，所以，即证数列的前项和.【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的.【演练提高】1.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷）数列的前项和记为，已知，且对，点都在函数图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：．【解析】（1）由题意得，∴，两式相减得，∴．又满足上式，∴．（2）∵，∴．2.（山东省临沂市2022届高三下学期一模）已知数列的前n项和为，，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前2k项和.【解析】（1）因为，，当时，，解得，当时，所以，即，显然，所以，所以是以为首项为公差的等差数列，是以为首项为公差的等差数列，所以，所以（2）因为，所以，所以3.（华大新联盟2021-2022学年高三上学期1月教学质量测评）已知等差数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式以及前n项和；（2）若，求数列的前2n－1项和.【解析】（1）依题意，，则，故，解得d＝2，∴，故，.（2）依题意，得，故，故4.（辽宁省丹东市五校2020-2021学年高三上学期联考）已知等差数列为递增数列，且，都在的图像上.（1）求数列的通项公式和前项和（2）设，求数列的前项和，且，求取值范围.【解析】（1）由题意得，即是方程的两个根，即是方程的两个根，又数列为递增数列，解得，所以等差数列的公差，所以，所以，；（2）由（1）得，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以.由，即，得，令，当n为奇数时，，且，当n为偶数时，，且，又，，所以，故取值范围为.5.（四川省德阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，､､成等比数列.（1）求；（2）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（1）设公差为，则，解得，所以.（2）∵，∴当时，，当时，，且当时，，所以，所以∴.6.（江西省景德镇市2022届高三第二次质检）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小值.【解析】（1）在等差数列中，设公差为，则，由已知得，解得，.（2）由（1）知，，则，∴，，∴要使恒成立，只需，解得，∴的最小值为2.7.（内蒙古自治区2021-2022学年高三上学期12月月考）己知数列的前项和为，，数列为等差数列，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）时，，∴∵当时，，两式相减得：，∴，∵∴.数列是以1为首项，2为公比的等比数列.因为为等差数列，设公差为，，∴又，，∴（2）由（1）可得所以.8.（THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三月考）已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，.（1）求，的通项公式；（2）设，，求证：.【解析】（1）由题意，数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，设的公差为，由可得，或，，可得：,.（2）且故不等式得证.9.（浙江省2022届高三毕业生“极光杯”线上综合测试）已知数列的首项为正数，其前项和满足．（1）求实数的值，使得是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）当时，，，解得；当时，把代入题设条件得:，即，很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴；（2）由（1）知是首项为，公比的等比数列，所以，．故数列的前项和为：.10.已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，（1）证明：是等比数列；（2）若，求数列的前n项和Sn.【解析】（1）∵，，∴，，又，，解得，，∴是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，则，∴，∴.11.（吉林省长春市东北师大附中2022届高三第二次摸底）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列．已知，，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求的前项和．【解析】（1）记的公比为，的公差为，由题知：，解得或（舍去），故又，即，解得，故（2）由（1）知：所以.12.（河南省六市重点高中2021-2022学年高三上学期11月联合）已知数列{}的前项和为，在①＝，②＝这两个条件中任选一个，并作答．（1）求数列{}的通项公式；（2）设＝，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）若选择①＝，则当时，，则，又当时，，解得，故是首项为，公比为的等比数列，则；若选择②＝，则当时，，则，又当时，，满足，则.（2）因为＝，则，故.即数列的前项和.13.（甘肃省嘉陵关市第一中学2020-2021学年高三下学期七模）在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，__