第三章曲线凹凸性、拐点与函数图形描绘

第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描第五 曲线的凹凸性、拐 中值 曲线的凹凸性与拐定导 函数图形的描数-1第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 曲线的凹凸性和 第章 问题:如何研究曲线的弯曲方向章 yf(oo 用

yf(yCBAoxyCBAox图形上任意弧于所张弦的

图形上任意弧于所张弦的上-2第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描定义1设fx)在(a,b内连续如果对(a,bx1,x2第 f

x1x2)

f(x1)f(x2) f(x)在(a,b内的图形是上凹的(也称为下凸的值 x f(x)f(x) f( 2) 数 数 f(x)在(a,b内的图形是上凸的(也称为下凹的应 如果f(x)在[a,b内连续,且在(a,b)内的图形是上(上凸)的,那末称fx)在[a,b]内的图形是上凹(上凸)-3第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描yyyyfBAoabxyyyyBAoabx f(x)递 y理

f(x)递 y导 定理1如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导的数,若在(a,b)的用 (1)f(x)0,用(2)fx0

fx)在[a,b]上的图形是上凹的fx)在[a,b]上的图形是上凸的-4第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描例1判断曲线yx3的凹凸性第 ∵y3x2 y6章 当x0 y值理 曲线在(,0]为上凸理 当x0时，y 曲线在[0,)为上凹的应 注意到,点(0,0)是曲线由上凸变上凹的分界点-5第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描定义 连续曲线yf(x)上凹凸的分界点称为三章三章中注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.中值 定 定理2如果f(x)在(x0,x0与

数导则点x0,f(x0)是拐点的必要条件 f(x0)数 ∵f(x)二阶可导 f(x)存在且连续应用又∵x0fx0是拐点则fx)fx)]在x0两边变号fx)在x0取得极值,由可导函数取得极值的条件f(x)-6第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描根据定理2可知:如果yfx)在x0处连续,x0fx0为曲线的拐点,则fx00fx0三值 如果函数yf(x)在x0处连续,在x0值定理某个去心邻域内二阶导数存在 与

的两侧f数应导异号,则(x0,f(x0))为曲线的在 x0的两侧f(x)同号, yf(x)的拐点.数应

yf(x)的拐点 则x0fx0-7第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描例2求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 ∵D:(,)三 y12x312x2三

y36x(x3 令y应

得

0,

2.))(23拐拐f(00f((2323(0,23)0x用上凹区间为(,0],[23),上凸区间为[02(0,0211)3-8第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描第-9第五

曲线的凹凸性、拐点与函数图形的2例 求曲线yx(x 定义域为第章 y章

5x1

y

10x4 3(x

9(x定 x1,y不存在；x6,y定xx1565(650y2(6,6(1)3 -10第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 661上凸区间

),上凹区间 ,),拐点为 ()3 55 第

若fx0不存在,点x0fx0也可能是连曲线yfx的拐点章3x 求曲线y3x中值

5 当x0时,y x3 y x3 与 x0是不可导点,y,y均不存在数应 但在(,0),y0,曲线在(,0]上是向上凹的应用在(0,)y0,曲线在[0,)上是向上凸的点(0,0)是曲线y -11第五

曲线的凹凸性、拐点与函数图形的设函数fx在x0的邻域内三阶可导,f(x0)0,而f(x0)0,那末(x0,f(x0))是曲线y f(第的拐点.中 求曲线ysinxcosx([0,2)的拐点中 ycosxsinx,ysinxcosx定 ycosxsinx与 令y0,得x3 744 44的22用 f(3)22用4

f(7)4

在[0,2内曲线有拐点-12

(34

(74第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 确定常数a,b,c,使得函数yx3ax2bx有拐点(1,-1)，且在x=0处的切线斜率为第章 由于曲线有拐点(1,1),因章 (x3ax2bx 1abc 定 y (6x 62a定 导 x0处切线的斜率为零所导数应 应用

(3x22ax

b a3;b1;c-13第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 函数图形的描三 定义3当曲线yf(x)上的一动点P沿着曲三中移向无穷点时,如果点P到某定直线L中于零,那么直线L就称为曲线yfx)的一条渐近线定与 (1)铅直渐近 (垂直于x轴的渐近线与导0 如果limf(x)或limf(x),那么xx就0 x x 应用yfx)的一条铅直渐近线-14第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描章

y(x2)(x3)1 1x2x2x值理定 理 x3(x2)(x导数的有铅直渐近线两条:应 x x-15第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描水平渐近线(平行于x轴的渐近线第如 limf(x)b limf(x)b(b为常数 章yb就 yf(x)的一条水平渐近线中定值例 yarctan定与 limarctanx与导 应 limarctanx应用 有水平渐近线两条:

y2

y2-16第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描首先注意到:yaxb是yfx)在xx第时的一条斜渐近线,则必有limfx(axb (x)事实上,设直线yax 中

yf(值的倾角为C定C 导yfx)的一条斜渐近线导 在曲线上取动点M 应用直线的垂线,垂足为点N

yax lim|MN|-17第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描过点M作x的垂线, 直线的交点为P,C第 |PM||MN |cos值中 lim|MN|值

yf(M x与导数

lim|PM|

yax 应的如果点Mx,fx)),Px,ax应

lim|f(x)(axb)|-18第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描即lim[f(x)(axb)]即 如果直线yaxb是曲线yf(x)三第xx时的一条斜渐近线,三 中中 (x)

f(x)a,

lim[f(x)ax](x) lim[f(x)(axb)] 与导 lim

f(

a

b] 的应用

lim[f(x)ab]

limf(x)

-19第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描将求出的a代入limfx(axb0lim(f(x)ax) 反之,如果limf(x) lim(f(x)ax)b章 章

lim[f(x)(axb)] 定值所以yaxb是yfx)的渐近线定 注意 与 f( (1) 应 (2)

xf(x)

a存在但limfxax不存在可以断定yfx不存在斜渐近线-20第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 求f(x)2(x2)(x3)的渐近线 解D:(,1)解第 ∵limf(x) limf(x) x1是曲线的铅直渐近线定 又∵limf(x)lim2(x2)(x3)定

x(x与 的

2(x2)(x3)(x1)

2应

2(x2)(x3)2x(x1)xy2x4是曲线的一条斜渐近线-21第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描fx2x2x3) x-22第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描三第(1确定函数yfx)的定义域,三

fx)中定

f(理(2)求出方程f(x)0和f(x) 导域内的全部实根,导的的应 (3)确定在这些部分区间内f(x)和f(x)的符号-23第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描三 (5)描出与方程f(x)0和f(x)0的根对应三章中定值讨论的结果画出函数的图形定理 例8作函数f(x)导数

4(x

2的图形 D:x 非奇非偶函数,且无周期性 4(x2)

8(x3) f(x) f(x) 令f(x)0,得驻点x2,令f(x) 得点x-24第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描limfx)lim[4(x1)2]2,得水平渐近线y 第limf(x)lim[4(x1)2] 得铅直渐近线x三 章中极值)拐极值)拐3,9(f(0f(0f(x-25第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描补充点y6B1Cy6B1C 12xA三

C

A B-26第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 作函数(x)

三 D:三章

W:0(x)

偶函数 图形关于y轴对称(x(x1)(xx理 (x)理

2

(x)

2数 令(x)数的 令(x)用∵lim(x)

得驻点x得特殊点x1,x 0,得水平渐近线y-27第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描xx01(0 ( (

0拐

极 1 2o-28

拐,1, 第五 曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描 作函数f(x)x3x2x1的图形三 D